引例探究抛物线焦点弦端点处的切线性质

宋扣兰

(江苏省扬州市江都区育才中学)

抛物线是解析几何的重要组成部分,与其有关的命题常出现在全国或独立命题省市的高考或模拟考试试卷中,而这些试题大多围绕着抛物线的有关性质,其中涉及较多的就是其焦点弦的性质.

例 设A,B为抛物线C:y＝x2上两个不同的点,且直线AB过抛物线C的焦点F,分别以A,B为切点作抛物线C的切线,两条切线交于点P,给出下列结论:

①点P一定在抛物线C的准线上;

②PF⊥AB;

③△PAB的面积有最大值无最小值.其中,正确结论的个数是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

本题以抛物线的焦点弦为背景,考查了在焦点弦两个端点的切线有关的性质.通过对问题进行深入探究,不难得出如下结论.

结论1 在焦点弦两端点的切线交于准线上一点.

特别地,当AB的斜率为0时,两切线的交点在抛物线C的准线上,故①成立.

结论2 过准线上一点作抛物线的两条切线互相垂直.

由结论3知PF⊥AB,所以当点P为准线与y轴的交点时,PF最小,所以△ABP的面积有最小值p2.

通过上面的一系列探究,我们得出了在抛物线焦点弦端点处的切线的相关性质,掌握了这些性质,处理相关的客观题便容易了.