清华大学强基计划校测笔试中的解析几何问题

唐浩哲

(北京市十一学校)

清华大学强基计划从2020年开始实施,截至目前共实施了3年,其校测的数学笔试考题为35道选择题,题量和难度都大于高考数学试题,因此掌握解题技巧是清华大学强基备考的关键.解析几何是高中数学的重点内容,也是清华大学强基校测笔试的重要考点,本文梳理了近3年校测考题中与解析几何相关的题目,并给出了解答过程,供读者参考.

图1

例7 (2021年清华大学)已知a,b,c成等差数列,点P(－1,0)在动直线l:ax＋by＋c＝0上的投影为M,点N的坐标为(3,2),则( ).

图2

A.直线l过定点

B.直线l与定直线垂直

C.|MN|的最大值为4 2

D.|MN|的最小值为2 2

图3

本题与例3 相似,需要在动中寻找到不动,继而确定出点M的运动轨迹,再完成后续的计算.本题还需要注意的是选项A 对于整个题目的求解有很强的提示作用,这样“台阶”性质的选项在清华强基校测中经常出现,要善于利用.

图4

本题难度不大,但要想快速并准确求解,关键在于对条件和目标式的识别和转化,以及利用好三角换元的方法和数形结合的思想.

图5

例11 (2022年清华大学)设点P在直线x－3y＋10＝0上,点A,B在圆x2＋y2＝5上.若∠APB的最大值为60°,则点P的坐标可以是( ).

A.(－4,2) B.(－1,3)

C.(2,4) D.(5,5)

图6