大学数学线上线下混合式教学模式研究与实践——以最大似然估计法为例

杨喜平，任国傲

（1.郑州航空工业管理学院数学学院，河南 郑州 450046；2.郑州航空工业管理学院管理工程学院，河南 郑州 450046)

1 教学现状分析

我校大学数学课程普遍采用模块排课大班授课的形式，这种教学形式可以保证各专业教学进度一致，有利于学校开展统一的教学活动，同时也存在一些教学痛点，主要表现如下：

（1）教学班人数较多且同一教学班由多个专业的学生组成，学生水平参差不齐、需求多元，老师难以顾及全体学生，无法对每位学生做到精准施教，导致部分学生上课时注意力分散、课堂参与度不足。

（2）目前数学课程普遍采用定义、定理、证明、例题讲解的教学模式进行，对数学知识的来龙去脉缺乏深度挖掘，数学的人文内涵融入较少，数学与生动活泼的现实世界的联系被割断，导致学生只知其然不知其所以然，难以领悟到数学的精髓，限制了学生创新性思维的培养。

（3）教学方法单一，课堂上虽有多媒体教学手段的辅助，但是由于大学数学难度较高、知识点较抽象的特点，导致部分教师上课时容易出现“满堂灌”，学生只是一味地接受，鲜少主动思考、合作探究，久而久之丢失了学习数学的热情。

鉴于此，本文以“最大似然估计法”为例[2]，采用线上线下混合式教学模式，合理整合教学资源，深入挖掘思政元素，借助现代信息技术重构教学过程，给予学生充足的自主学习空间，充分调动学生学习的主观能动性。

2 线上线下混合式教学实践

2.1 教学准备工作

2.1.1 学情分析

授课对象为2020级物流管理专业大二学生，教学班规模为120人；学生都已修完《高等数学》，具有一定的数学基础；多数学生学习态度端正，好奇心强，喜欢质疑，课堂氛围比较活跃，但学习方法倾向于机械记忆和套用公式，学习的主动性和自觉性相对欠缺。

2.1.2 教学重难点

教学重点：帮助学生理解最大似然思想，掌握最大似然估计的方法与求解步骤，并能灵活运用该方法对总体中的未知参数进行点估计。教学难点：对连续总体如何更自然地引入似然函数，如何让学生理解建立似然函数的意义，如何利用所学知识求似然函数的最大值点。

2.1.3 教学目标

知识目标：理解最大似然原理，掌握最大似然估计的方法和步骤，并能灵活运用最大似然估计法解决现实中的问题。技能目标：通过问题驱动和启发引导的教学过程，着重培养学生归纳推理能力、逻辑分析能力和创新思维能力，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力。情感目标：培养学生乐于思考、勇于创新、敢于质疑、学以致用、服务社会的品质和家国情怀。

2.2 教学过程

2.2.1 课前导学

课前，教师通过学习平台上传预习任务，发布相关学习资料和视频材料，让学生明确预习内容和学习目标。预习任务的设计在于引导学生完成学习目标[3]，同时引导学生充分利用网络资源，搜集整理线下课堂项目式、案例式教学资源，让学生为课堂的高阶活动做好充分的准备，吸引更多学生积极参与到教学活动中来，不断提高学生在教学过程中的主体地位。上课前，整理学生反馈的共性问题以及学习困惑，在线下课堂中重点突破这些重难点（见图1，P271）。

图1 预习任务表

问题1在于引导学生思考矩估计法的不足之处，从而引出最大似然估计法。从学生反馈的情况看，问题2和问题3是线下课堂需要重点突破的重难点。在线引导学生结合预习内容尝试解决问题4。思考题的设置目的在于引导学生搜集相关材料，为线下课堂的案例教学做好充分准备。

2.2.2 课中教学

课堂上教师首先要带领学生回顾课前预习内容，帮助学生梳理课前知识的基本结构，讲授多数学生留存的疑难点，然后精心组织教学，突破教学重难点，进行高阶学习活动。

图2 课堂教学设计图

运用情景教学法，结合生活实践（看病就医时要选择有经验的医生就诊），引导学生思考背后的原因，引出最大似然思想，借助雨课堂在线测试功能，了解学生对最大似然思想的理解程度。讲解连续总体的最大似然估计法时，打破常规，从概率密度函数的角度出发建立似然函数，从学生反馈情况看，这样处理思路更简洁，学生也更容易理解，至此圆满解决问题2。带领学生回顾高等数学中求函数最大值点的方法及求导法则，组织学生开展小组讨论，思考求似然函数最大值点的简便方法，在课前自学的基础上学生自然会想到利用对数函数单调递增的性质，引入对数变换，就可以简化运算过程，问题3得以解决。至此，重要的理论知识点已经基本完成，可以再次带领学生梳理知识脉络，归纳出最大似然估计法的一般求解步骤。最后，结合课前给出的探究案例材料，引导学生从中提炼出有效信息，解决杂交水稻亩产量测算问题。在解决思考题目的过程中，实时融入课程思政，激励学生向袁隆平院士学习，为梦想奋斗。

2.2.3 课后拓展提升

课后在学习平台发布作业，检测学生对最大似然估计法的掌握情况。引导学生就问题5展开线上讨论，促进学生对已学知识的内化吸收。引导学生思考问题6，为下节课──估计量的评选标准做好准备。

图3 课后拓展示意图

3 构建多维度评价体系

线上线下混合式教学坚持“以学生为中心，以教师为主导”的教学理念，重视学生在教师引导下的自主学习，所以相应的评价体系应该更关注学生学习的过程性，关注整个学习活动中学生的学习表现和学习效果，为此构建了多维度评价体系。所有学生的学习痕迹在学习平台都有详细的记载，教师可以根据学生的整体情况和个性差异，对学生的学习成效进行全面评价。学生成绩分别由课前学习任务的完成情况、线上测试、课堂参与度、小组成果展示、期中测试、书面作业及期末考试等多方面构成。评价体系从知识、能力和素养多个维度出发，对学生课前、课中、课后各阶段的学习情况进行综合评价，有助于学生数学素养和创新思维的培养，充分体现了混合式教学模式的优势[4.5]。

4 教学反思

本节课紧扣“以学生为中心，以教师为主导”的教学理念，结合学生具体情况设计教学活动，采用线上线下相结合的教学模式，简单的知识性目标放在课前引导学生自主学习，线下课堂集中解决学生反馈的重难点，体现课堂的高阶性。借助学习平台不懂、测试、讨论功能，与学生充分互动，力争每位学生都有表现的机会，做到人人都参与，人人有收获，促进学生的全面发展。