借助数学实验 实现深度学习

吴秀兰

(江苏省常州市武进区坂上初级中学 213100)

初中数学教学中应注重借助实验引导学生进行深度学习，鼓励其参与到数学知识学习中，使学生自己发现问题、探究问题、得出结论，如此不仅能很好地提升其学习体验，而且可以留下深刻印象，更好地把握数学知识的外延.尤其对于部分数学结论教学中，借助数学实验，更容易使学生搞清楚结论成立的条件以及适用的问题情境，避免其死记硬背，张冠李戴.

1 情境铺垫

二次函数是初中数学的重要知识点，尤其有关二次函数图像方面的知识是日常测试以及中考的热门考点.为加深学生对二次函数图像的认识，并能以二次函数图像为基础，掌握特殊函数图像的画法，提高运用数形结合知识解题的意识与能力，课堂上为学生展示如下情境：

运用多媒体技术为学生展示二次函数y=x2-2x+3，要求学生回答以下问题：求该二次函数的顶点坐标以及对称轴；判断方程x2-2x+3=0是否有实数根；画出二次函数的图像.学生积极联系所学对二次函数进行变形可得y=x2-2x+1+2=(x-1)2+2，可以看到二次函数的顶点坐标为(1，2)，对称轴为直线x=1.对于方程x2-2x+3=0，因Δ=4-4×3=-8<0，因此，该方程并没有实数根.令x=0，可得y=3，其关于对称轴对称的点的坐标为(2，3)，由此，不难画出y=x2-2x+3的图像.

课堂上要求学生回答上述问题，既巩固其所学的二次函数图像知识，又能为接下来的实验开展奠定坚实基础.

2 实验开展

实验情境一：待学生画出二次函数y=x2-2x+3的图像后，提出以下实验问题，要求学生思考、探究：画出-y=x2-2x+3的图像，思考其和二次函数y=x2-2x+3的图像有什么关联？你能得出什么结论？

对-y=x2-2x+3进行变形得到y=-(x2-2x+3)=-(x-1)2-2，显然其顶点坐标为(1，-2)，图像和y轴的交点为(0，-3)，该点关于对称轴对称的点为(-2，-3)，由此学生不难画出该二次函数的图像.

而后要求学生将两个函数图像放在同一平面直角坐标系中，观察两个函数图像的联系.学生经过认真观察与讨论容易得出两个函数图像关于x轴对称.

实验情境二：课堂上给学生展示二次函数y=x2+2x+3，要求学生画出该二次函数图像，思考其与y=x2-2x+3图像、-y=x2-2x+3图像之间的联系.同样y=x2+2x+3=(x+1)2+2，其顶点坐标为(-1，2)，对称轴为直线x=-1，图像和y轴的交点为(0，3)，其关于对称轴对称的点为(-2，3)，则容易画出其图像.

观察可知二次函数y=x2+2x+3的图像和二次函数y=x2-2x+3图像关于y轴对称，和-y=x2-2x+3的图像关于原点对称.

实验情境三：在屏幕上展示y=x2-2|x|+3，要求学生联系所学，结合上述情境积累的经验画出其图像，思考该函数图像的对称轴是哪一条直线？

因该二次函数中带有绝对值，结合所学的绝对值知识可知，x的正负不确定.因此，需要进行分类讨论，即，当x≥0时，y=x2-2x+3；当x<0时，y=x2+2x+3，则该函数的图像是由两个函数图像构成，分别取y=x2-2x+3图像中x≥0的部分和y=x2+2x+3图像中x<0的部分，得出其图像.由图可清晰地看到，函数图像关于y轴对称.

实验情境四：已知方程x2-2|x|+3=t，探讨该方程根的个数.解答该题可采用转化思想，将其看成：y=x2-2|x|+3，y=t两个函数图像的交点个数即为方程根的个数.由图像可知函数的最小值为y=2，其和y轴的交点的纵坐标为3.显然其分以下四种情况：

当t<2时，方程x2-2|x|+3=t无实根；当t=2或t>3时方程x2-2|x|+3=t有两个实根；当t=3时，方程x2-2|x|+3=t有三个实根；当2

实验情境五：画出函数y=|x2-2x+3|的图像，思考其与y=x2-2x+3图像有什么关系？为什么？

学生通过画图探究，不难回答提出的问题.因二次函数y=x2-2x+3的开口向上且最小值为2.无论x取任何的实数，y>0均成立，则函数y=|x2-2x+3|的图像和函数y=x2-2x+3图像相同.

继续抛出如下问题，要求学生思考探究：二次函数y=x2-2x是由二次函数y=x2-2x+3怎样移动而来？分别画出二次函数y=x2-2x和y=|x2-2x|的图像.由二次函数图像平移规律可知，要想得到二次函数y=x2-2x需要将二次函数y=x2-2x+3上的各点向下平移三个单位.令x2-2x=0，可得x1=0，x2=2，可知该函数图像和x轴的交点分别为(0，0)，(2，0)且对称轴为直线x=1，如此便不难画出其图像.但是怎样画出函数y=|x2-2x|的图像呢？

图1

课堂训练：实践中为检验学生是否真正地理解实验内容，课堂上展示如下习题，要求学生思考作答：

已知关于x的方程|x2+ax|=4有4个不相等的实根，则a的取值范围是( ).

A.a<-4或a>4 B.a=4或a=-4

C.-4

解答该题可先画出函数y=x2+ax的图像，而后将y<0部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，画出函数y=|x2+ax|图像， 观察图像可得选择A项.从解题过程来看，学生只有真正地吃透数学实验内容以及实验结论，才能迅速找到解题思路.通过该课堂训练习题，可暴露出学生在数学实验中的不足，启发其结合自身实际情况及时查漏补缺.

3 实验结论及教学启示

3.1 数学实验结论

课堂上组织学生开展数学实验，得出以下结论：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，使用“-x”替换其中的“x”得到二次函数y=ax2-bx+c，两个函数图像关于y轴对称；使用“-y”替换其中的“y”得到二次函数y=-ax2-bx-c，两个函数图像关于x轴对称；使用“-x”、“-y”替换其中的“x”、“y”得到二次函数y=-ax2+bx-c，两个函数图像关于原点对称；图像中y>0的部分和二次函数y=|ax2+bx+c|图像一样.图像中y<0的部分需要将其关于x轴对称得到y=|ax2+bx+c|图像；判断方程根的个数的问题时可采用数形结合思想，结合方程特点，将其拆分成两个函数，参考上述结论画出函数图像.图像交点个数即为方程根的个数.

3.2 借助数学实验进行深度学习的启示

其一，做好实验铺垫.为使学生做好数学实验的心理以及知识准备，在进行实验之前应做好铺垫，注重从学生熟悉的知识切入，创设相关的问题情境，更好地激发学生参与数学实验的兴趣与积极性.在铺垫环节应注重设计问题，要求学生积极联系所学思考作答，使其主动地回顾已学知识，为实验的开展埋下伏笔.

其二，注重循序渐进.设计数学实验时应注重遵循学生的认知、学习规律，合理把握数学实验问题的难度，循序渐进，逐步深入，如此可避免学生出现畏难情绪，使其以高涨的热情投入到数学实验中.实践中按照由易到难的原则设计问题要求学生进行实验、探究，很好地满足了学生的心理预期，尤其当学生得出正确的探究结论时，成就感油然而生，在课堂上表现得更为积极、活泼.不仅如此，在完成数学实验后要设计课堂训练习题，要求学生作答进一步夯实其所学.

其三，给予启发、引导.对于部分学生而言围绕实验开展深度学习活动可能具有一定难度.为保证学生向着正确的方向思考问题，降低其实验探究难度，提高数学实验的成功率.学生实验过程中，教师应注重走下讲台了解学生的探究进度、探究思路，必要情况下使用多媒体技术给予引导，或者提出问题给予启发，使其能够顿悟，及时调整探究思路.

其四，重视实验总结.完成数学实验后应注重引导学生做好实验结论的总结，使其在以后解答相关数学习题时能够灵活应用，提高解题效率.同时，要求学生思考，实验结论的使用情境以及应用结论时应注意哪些细节等.实践中专门给学生预留实验总结时间，并鼓励学生相互交流心得，交换课堂笔记等，确保总结的内容能够涵盖所有实验内容，避免有知识上的漏洞.