无法做决断?你只需要一个“数学期望”
2022-12-10刘嘉
刘嘉
假如有一只股票,现在的价格是50 元,未来有40% 的概率涨到60 元,有30% 的概率保持不变,还有30% 的概率跌到35 元。看完这一描述,你觉得这只股票值不值得买呢?
我想你可能无法判断。所以这时候,光靠概率是没法帮助决断的,我们还需要了解另一个指标——数学期望。
数学期望是对事件长期价值的数字化衡量。其方法很简单,就是对随机事件不同结果的概率加权求平均。回到开头的例子,這只股票到底值不值得买呢?
我们可以计算下股票盈利的数学期望值:E(profit)=(60-50) 40%+(50-50) 30%+(35-50) 30%=-0.5(元)。
也就是说,虽然这只股票上涨的可能性比下跌的可能性更大,但从整体上看,这只股票趋向于亏钱,谨慎起见最好不买。
我们再举一个使用数学期望进行决策的案例。篮球有三种得分方式:篮下投篮、中距离投篮和三分球。篮下投中和中距离投中都得2 分,而三分球距离更远,投中得3 分。篮下和中距离投篮命中率高,但是得分低;三分球命中率低,但是得分高。哪种得分方式更有效率呢?
这时,我们可以用数学期望来帮助判断。每种得分方式的数学期望值,可以用得分情况和平均命中率来计算。具体来说,篮下每投中一球得2 分,如果平均命中率是55%, 那篮下出手的数学期望值就是:E=2×55%+0×45%=1.1(分)。
这个1.1 分的意思就是指平均每次篮下进攻可以得到1.1分。数学期望,就是用来衡量这种长期的平均价值的。
与此类似,中距离投篮也是得2 分,球员的平均命中率是45%,那中距离投篮的数学期望值就是:E=2×45%+0×55%=0.9(分)。三分球得分是3 分, 平均命中率是35%, 那三分球投篮的数学期望就是:E=3×35%+0×65%=1.05(分)。
每种投篮方式的价值原本没办法衡量,但计算完数学期望,就可以比较了。篮下进攻和三分球的数学期望都比中距离投篮高,所以应尽可能多地投篮下球和三分球,少投中距离球。
在美国职业篮球联赛中,不少球队就是按照这个思路建队的,即重视优秀的中锋或者有突破能力上篮的外线球星,囤积有防守能力的三分球选手。这个思路就是当下流行的“魔球理论”。
用数学期望衡量长期价值有一个前提,就是所有随机出现的结果都必须数值化。只有这样,我们才能计算。
比如,你问“回老家工作好,还是留在北京工作好”?如果只停留在“留在北京工作机会多,但竞争压力大;回老家生活压力小,但发展机会少”这些条件上,就没法计算每种结果的数学期望并做出比较。只有给每个结果赋予一个具体的数字,比如,工作机会多对自己很重要,打10 分,竞争压力小对自己没那么重要,打5 分,这个问题才真正变得可以比较。
游戏设计中也涉及数学期望及赋值。我们知道,游戏是需要一些随机性的,否则就会非常无聊。比如网络对战游戏,游戏设计者会设置不同的技能指标,比如暴击率、格挡率等,来增加随机性。
对于游戏公司来说,怎么保证所谓的游戏平衡呢?换句话说,如何设置暴击率、格挡率等指标,才能做到不让某些角