无法做决断？你只需要一个“数学期望”

刘嘉

假如有一只股票，现在的价格是50 元，未来有40% 的概率涨到60 元，有30% 的概率保持不变，还有30% 的概率跌到35 元。看完这一描述，你觉得这只股票值不值得买呢？

我想你可能无法判断。所以这时候，光靠概率是没法帮助决断的，我们还需要了解另一个指标——数学期望。

数学期望是对事件长期价值的数字化衡量。其方法很简单，就是对随机事件不同结果的概率加权求平均。回到开头的例子，這只股票到底值不值得买呢？

我们可以计算下股票盈利的数学期望值：E（profit）=（60-50） 40%+（50-50） 30%+（35-50） 30%=-0.5（元）。

也就是说，虽然这只股票上涨的可能性比下跌的可能性更大，但从整体上看，这只股票趋向于亏钱，谨慎起见最好不买。

我们再举一个使用数学期望进行决策的案例。篮球有三种得分方式：篮下投篮、中距离投篮和三分球。篮下投中和中距离投中都得2 分，而三分球距离更远，投中得3 分。篮下和中距离投篮命中率高，但是得分低；三分球命中率低，但是得分高。哪种得分方式更有效率呢？

这时，我们可以用数学期望来帮助判断。每种得分方式的数学期望值，可以用得分情况和平均命中率来计算。具体来说，篮下每投中一球得2 分，如果平均命中率是55%， 那篮下出手的数学期望值就是：E=2×55%+0×45%=1.1（分）。

这个1.1 分的意思就是指平均每次篮下进攻可以得到1.1分。数学期望，就是用来衡量这种长期的平均价值的。

与此类似，中距离投篮也是得2 分，球员的平均命中率是45%，那中距离投篮的数学期望值就是：E=2×45%+0×55%=0.9（分）。三分球得分是3 分， 平均命中率是35%， 那三分球投篮的数学期望就是：E=3×35%+0×65%=1.05（分）。

每种投篮方式的价值原本没办法衡量，但计算完数学期望，就可以比较了。篮下进攻和三分球的数学期望都比中距离投篮高，所以应尽可能多地投篮下球和三分球，少投中距离球。

在美国职业篮球联赛中，不少球队就是按照这个思路建队的，即重视优秀的中锋或者有突破能力上篮的外线球星，囤积有防守能力的三分球选手。这个思路就是当下流行的“魔球理论”。

用数学期望衡量长期价值有一个前提，就是所有随机出现的结果都必须数值化。只有这样，我们才能计算。

比如，你问“回老家工作好，还是留在北京工作好”？如果只停留在“留在北京工作机会多，但竞争压力大；回老家生活压力小，但发展机会少”这些条件上，就没法计算每种结果的数学期望并做出比较。只有给每个结果赋予一个具体的数字，比如，工作机会多对自己很重要，打10 分，竞争压力小对自己没那么重要，打5 分，这个问题才真正变得可以比较。

游戏设计中也涉及数学期望及赋值。我们知道，游戏是需要一些随机性的，否则就会非常无聊。比如网络对战游戏，游戏设计者会设置不同的技能指标，比如暴击率、格挡率等，来增加随机性。

对于游戏公司来说，怎么保证所谓的游戏平衡呢？换句话说，如何设置暴击率、格挡率等指标，才能做到不让某些角