二元一次方程的整数解问题探究

吴琼

沈阳市南昌初级中学任景娜老师的直播课《二元一次方程组及其应用》，选自辽宁教育学院“学到汇”公众服务平台“辽宁省初中数学学科教研核心团队名师公益学堂”，旨在引领教师专业发展，服务学生自主学习，减轻学生学业负担。

观看完任景娜老师的直播课，其中的引例引发我进一步思考. 在这里，我和同学们一起从含有参数的一元一次方程的整数解、二元一次方程的整数解、一次函数的整数点这三个角度来看待同一个问题，感受数学模型的无穷魅力.

身边实例

大连市第三十七中学的吴老师为学生购买数学计算大赛的奖品，回到学校后，向王主任交账时说：“我买了两类笔记本，共105本，单价分别为8元和12元，买本前我领取了1400元，现在还剩余318元. ”王主任算了一下说：“你肯定搞错了. ”

（1）请同学们用方程的知识给予解释；

（2）吴老师急忙拿出发票，发现多买了1支水笔，但水笔的单价写得模糊不清，吴老师只记得水笔的价格为小于6的正整数，则这支水笔的单价应该为多少元？

解析：（1）设买8元的笔记本x本、12元的笔记本（105 - x）本，

根据题意列方程：8x + 12 （105 - x） = 1 400 - 318，则x = 44.5（不符合题意），

44.5不是整数，所以吴老师肯定搞错了.

（2）设买8元的笔记本x本，买12元的笔记本（105 - x）本，1支水笔的单价为a元，

∴1400 - 8x - 12（105 - x） - a = 318，∴x = 44 + [2+a4].

∵x为正整数，且a为小于6的正整数，∴2 + a必须被4整除，∴a = 2.

∴1支水笔的价格为2元.

反思：本题也可以从列出含有a的关于8元笔记本的数量x的一元一次方程的角度求整数解；还可以建立以8元笔记本的数量为函数、水笔的价格为自变量的一次函数关系式，再去尋找一次函数的横纵坐标的整数点问题. 这三个角度都是设未知数、建立等量关系，其本质是相通的.

变式练习

表1是某次篮球联赛积分. （1）请问：胜一场积多少分？负一场积多少分？（直接写出答案）（2）若某队的胜场总积分是负场总积分的n倍，n为正整数，求n的值.

解析：（1）设胜一场积x分，负一场积y分，则[10x+4y=24，9x+5y=23，]解得[x=2，y=1.]

则胜一场积2分，负一场积1分.

（2）设该队胜a场，则负（14 - a）场，∴2a = （14 - a）n，∴n = [2a14-a].

当a = 0时，n = 0，不符合题意；

当a = 1，2，3，4，5，6，8，9，11时，n不是整数，不符合题意；

当a = 14时，等式无意义；

当a = 7时，n = 2；当a = 10时，n = 5；当a = 12时，n = 12；当a = 13时，n = 26.

综上所述，n的值为2，5，12，26.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：8分钟

表2是某校七年级、八年级、九年级某月课外兴趣小组（分文艺小组和科技小组）活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同.

（1）请你完成以下分析，求出a，b的值：观察表格，七年级、八年级科技小组活动次数相同，文艺小组活动次数相差次，活动总时间相差h，由此可知文艺小组每次活动时间为h，进而可知科技小组每次活动时间为h；根据题意可得a与b的关系式为，因为a与b是自然数，所以a = ，b = .

（2）若学校重新规定：九年级每月课外兴趣小组活动总次数为8次，在文艺小组与科技小组每次活动时间保持不变的情况下，求出九年级每月课外兴趣小组活动总时间y（h）与文艺小组活动次数x（次）之间的函数关系式（其中规定x为大于1且小于8的自然数）. （答案见第33页）

（作者单位：大连市第三十七中学）