中考分式方程应用题题型归纳

程兰

一、行程问题

行程问题一般涉及三个数量：速度、路程和时间. 它们之间的数量关系是：速度 =路程 ÷ 时间. 具体运用时可考虑变形，应注意单位的统一.

例1 （2022·四川·乐山）第十四届四川省运动会定于2022年8月8日在乐山市举办. 为保证省运会期间各场馆用电设施的正常运行，市供电局进行了电力抢修演练. 现抽调区县电力维修工人到20千米远的市体育馆进行电力抢修. 维修工人骑摩托车先行出发，10分钟后，抢修车装载完所需材料再出发，结果他们同时到达体育馆. 已知抢修车是摩托车速度的1.5倍，求摩托车的速度.

解析：设摩托车的速度为x千米[/]小时，则抢修车的速度为1.5x千米[/]小时，

则根据题意，得[20x] - [201.5x] = [1060]，解得x = 40.

经检验，x = 40是原分式方程的根，且符合题意. 答：摩托车的速度为40千米[/]小时.

二、工程问题

工程问题一般涉及三个数量：总量、效率和时间. 其数量关系是：效率 = 总量 ÷ 时间. 工作总量可看作整体“1”，效率 = 1 ÷ 时间. 产品加工、道路建设、河道开挖等都属于工程问题.

例2 （2022·重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠. （1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米. （2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，決定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工. 甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工. 乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同. 求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米.

解析：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，原来每天修建（x - 20）米，则根据题意，得5（x - 20） + 2x = 600，解得x = 100. 答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米.

（2）∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，∴两队修建的长度都为1800 ÷ 2 = 900（米），乙施工队技术更新后，修建长度为900 - 360 = 540（米）.

设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y米，技术更新后每天修建（1 + 20%）y米，即1.2y米，根据题意得[5401.2y] + [360y] = [900100]，解得y = 90. 经检验，y = 90是原分式方程的根，且符合题意. 答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米.

三、商品销售

商品销售中的常见概念有进价、标价、售价、利润、利润率、打折. 它们之间的关系是：售价 = 标价 × 打折率；利润 = 售价 - 进价；利润率 = 利润 ÷ 进价.

例3 （2022·四川·达州）某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场，就用4000元购进一批这种T恤衫，面市后果然供不应求. 商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但每件的进价贵了4元. （1）该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元？（2）如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后缺码的40件T恤衫按7折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%（不考虑其他因素），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？

解析：（1）设购进第一批T恤衫每件的进价为x元，第二批T恤衫每件的进价为（x + 4）元，则[4000x] × 2 = [8800x+4]，解得x = 40. 经检验，x = 40是原分式方程的根且符合题意，∴x + 4 = 44，∴第一批每件的进价为40元，第二批每件的进价为44元.

（2）两批T恤衫的数量为[400040] × 3 = 300（件），设每件标价y元，则（300 - 40）y + 40 × 0.7y ≥ （4000 + 8800） × （1 + 80%），解得y ≥ 80，∴每件标价至少是80元.

四、绿色能源

绿色能源包括的问题很多，如水力发电、风力发电、太阳能、生物能、地热能等，其中涵盖许多数学问题.

例4 （2022·山西）2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.6元. 若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费.

解析：设这款电动汽车平均每千米的充电费为x元，则[200x] = [200x+0.6] × 4，解得x =0.2. 经检验，x = 0.2是原分式方程的根，且符合题意. 答：这款电动汽车平均每千米的充电费为0.2元.

（作者单位：本溪市第十二中学教育集团大峪校区）