方次数是3的capable 3群

李志秀

(晋中学院数学系,山西 晋中 030600)

对于一个给定的群G,若存在另一个群H,使得H/Z(H)≅G,即群H的中心商群同构于G,则称G可以充当中心商,或称G为capable群．中心商问题与覆盖群的Schur理论及射影表示都有联系,capable群在各种群论问题的研究中都起着核心作用,许多学者从不同的角度对capable群进行研究,已获得丰富成果[1-4]．Seifi等[1]指出导群是p阶的capablep群;Alamshahi等[2]证明了四元数群不是c-autocapable群;Monfared等[3]给出了类2的二元生成的capable 2群;Baishya[4]给出了p2q阶的capable群．一个群G须满足什么条件才能成为capable群?这仍然是值得探索的有趣问题．借助群的扩张理论,通过复杂的换位子计算,笔者得到一些特殊的3-群为capable群[5],以及一些极大类3-群为capable群[6]．本文拟讨论一些方次数是3的35阶群G是capable群需要满足的条件,并给出方次数是3的35阶capable群的分类,为深入研究p群结构及其他一些相关数学问题提供了参考．

1 预备知识

引理1设有限交换群G=〈a1〉×〈a2〉×…×〈an〉,n>1,o(ai)=mi,o(ai+1)|o(ai),i=1,2,…,i-1,则存在群H,使得H/Z(H)≅G当且仅当m1=m2．

定义2设群G为p群,则

1) 称群G为特殊的,如果群G满足以下条件之一:i) 若群G为初等交换群;ii)G′=Z(G)=Φ(G)是初等交换的．

2) 称非交换的特殊p群G为超特殊的,如果群G又满足|Z(G)|=p．

引理3[7]设群G是超特殊p群,则群G是capable群当且仅当G≅D8或G≅Mp3,其中Mp3是p3阶方次数为p的非交换群．

引理4[8]若群G是capable群,则G×Zp是capable群．

引理5[9]设35阶群G,且G的方次数是3,则群G同构于以下群之一:

学生在中学阶段甚至小学阶段就开始接受我国的应试教育，这种传统的应试教育很容易使学生把英语学习定位为工具型和外部动机，而不是对于英语这门语言本身的喜爱，这正是限制其英语水平发展的核心因素。

1)G≅C3×C3×C3×C3×C3;

2)G≅〈c,d〉×〈a,b,e〉,其中〈c,d〉≅C3×C3,〈a,b,e〉是方次数是3的33阶非交换群;

3)G=〈c〉×〈a,b,d,e〉,其中〈c〉≅C3,〈a,b,d,e〉满足〈a3=b3=d3=e3=1,[b,a]=d,[d,a]=e,[d,b]=[e,a]=[e,b]=[e,d]=1〉;

4) 特殊3群G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=[d,c]=e〉,其中[c,a]=[c,b]=[d,a]=[d,b]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=[e,d]=1,且同于〈c,d〉*〈a,b〉;

5)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[c,a]=d,[c,b]=e〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=1;

6)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[b,e]=d=[c,a]〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,c]=[b,c]=1;

7)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=d,[c,a]=e〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,c]=[b,c]=[b,e]=1．

对这些群逐个考查可以发现,群(1)是交换群．由引理1可知,该群是capable群．由引理3可知,超特殊3群(4)不是capable群．

引理6[10]设G是群,a,b,c∈G,则:i)[ac,bc]=[a,b]c;ii) [ab,c]=[a,c]b[b,c]=[a,c][a,c,b][b,c];iii) [a,bc]=[a,c][a,b]c=[a,c][a,b][a,b,c]．

本文若无特别说明,所用的符号和概念均取自文献[10]．

2 主要结果

引理7设H1≅G1/Z(G1),H2≅G2/Z(G2)．令G≅G1×G2,则H1×H2≅G/Z(G)．

证明 考虑G≅G1×G2到G1/Z(G1)×G2/Z(G2)内的映射:σ:(g1,g2)→(g1Z(G1),g2Z(G2)),其中g1∈Z(G1),g2∈Z(G2),易证σ是同态映射,且Kerσ=Z(G1)×Z(G2)．由同态基本定理,得G1/Z(G1)×G2/Z(G2)≅G/Z(G)．

定理8群(2)G≅〈c,d〉×〈a,b,e〉,其中〈c,d〉≅C3×C3,〈a,b,e〉为方次数是3的33阶非交换群,则群G是capable群．

证明 〈a,b,e〉为方次数是3的33阶非交换群,为超特殊3群．由引理3可知〈a,b,e〉是capable群,由引理1知〈c,d〉是capable群,故由引理7知群G是capable群．

定理9若G是群(3)G=〈c〉×〈a,b,d,e〉,其中〈c〉≅C3,〈a,b,d,e〉满足〈a3=b3=d3=e3=1,[b,a]=d,[d,a]=e,[d,b]=[e,a]=[e,b]=[e,d]=1〉,则群G是capable群．

证明 〈a,b,d,e〉为34阶capable群,事实上,存在35阶群H=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[c,a]=d,[d,a]=e〉,其中[c,b]=[d,b]=[d,c]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=[e,d]=1,Z(H)=〈e〉,H/Z(H)≅〈a,b,d,e〉,由引理4可知群G是capable群．

定理10若G是群(5)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[c,a]=d,[c,b]=e〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,b]=[e,c]=1,则群G是capable群．

证明 从34阶初等交换群出发,作循环扩张可构造出群H,使得H/Z(H)≅G．设交换群A=〈c,d,e,f〉≅C3×C3×C3×C3,并令映射σ:c→ce,d→df,e→e,f→f,将其扩充到整个A上,易证σ是A的3阶自同构．设〈b〉是3阶循环群,且在A上的作用与σ相同．令B=A〈b〉=〈b,c,d〉,则|B|=35．在B中规定映射γ:b→bc,c→cd,d→d,并扩充到整个B上,易证γ是B的3阶自同构．设〈a〉是3阶循环群,且a在〈B〉上的作用与γ相同．令H=B〈a〉,有H=〈a,b,c,d,e,f|a3=b3=c3=d3=e3=f3=1,[b,a]=c,[c,a]=d,[c,b]=e,[d,b]=[e,a]=f〉,其中[d,a]=[d,c]=1,Z(H)=〈f〉,H/Z(H)≅G．

定理11若G是群(6)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=c,[b,e]=d=[c,a]〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,c]=[b,c]=1,则群G不是capable群．

证明 若群G是capable群,即存在群H,使得H/Z(H)≅G．设H=〈a,b,e,Z(H)〉,由于[b,c]在中心内,故[b,c]=[b,c]e=[be,ce],有[bd,c]=[b,c][d,c],[d,c]=1．又[b,c]=[b,c]a=[ba,ca],[bc,cd]=[b,d][b,c][c,d],有[b,d]=1．因为[c,e]在中心内,故[c,e]=[c,e]a,有[ca,ea]=[cd,e]=[c,e][d,e],[d,e]=1．由于a3∈Z(H),1=[b,a3],[b,a3]=[b,a]3[c,a]3[d,a],其中[c,a]3=[c,a3]=1．又因b3∈Z(H),[b,a]3=[b3,a]=1,故[d,a]=1,d与c,b,e,a皆交换,d属于中心．矛盾．

定理12若G是群(7)G=〈a,b,c,d,e|a3=b3=c3=d3=e3=1,[b,a]=d,[c,a]=e〉,其中[d,a]=[d,b]=[d,c]=[d,e]=[e,a]=[e,c]=[b,c]=[b,e]=1,则G是capable群．

证明 从36阶初等交换群出发,作循环扩张可构造出群H,使得H/Z(H)≅G．设交换群A=〈b,c,d,e,f,g〉≅C3×C3×C3×C3×C3×C3．作3次可裂扩张可得37阶群H=〈a,b,c,d,e,f,g|a3=b3=c3=d3=e3=f3=g3=1,[b,a]=d,[c,a]=e,[d,a]=f,[e,a]=g〉,其中[d,b]=[d,c]=[b,c]=[b,e]=[e,d]=[e,c]=1,则Z(H)=〈g,f〉,H/Z(H)≅G．群G是capable群．

综上所述,方次数是3的35阶群G共有5个群(即引理5中群 (1),(2),(3),(5),(7))是capable群．