基于观测器的飞行器鲁棒故障诊断与容错控制方法

彭 宇，林瑞仕，高晓颖，屈玉苗，白 骏

（北京航天自动控制研究所，北京，100076）

0 引 言

随着现代工业控制系统的复杂性与集成度日益提高，可靠性和安全性成为衡量系统性能的重要指标，因此对于容错控制的研究具有深远的现实意义。容错控制是建立在故障检测和估计的基础上，附加控制律以确保系统的稳定性。近二十年来，基于观测器的故障估计和容错控制一直受到广泛的关注，并已成功应用到一些实际系统中[1～5]。

自适应故障估计观测器具有能够将状态信息和故障信息同时估计出来的优点，适用于多数实际系统状态变量不完全可测的情况。近年来，学者针对该领域进行了深入的研究[6～13]，文献[7]引入适当的坐标变换，有效放松了系统严格正实（SPR）条件，拓宽了自适应故障估计观测器的适用范围，并通过提出一种比例加积分的故障估计算法提高了故障估计的准确性和快速性，但是在动态系统的建模中没有考虑未知输入扰动的影响。文献[8]设计的故障估计观测器抑制了干扰对系统的影响，具有良好的鲁棒性，但是在定义Lyapunov函数时选取了特殊的Lyapunov矩阵，造成了系统信息的缺失，具有一定的保守性，降低了故障估计的准确性。文献[9]提到了基于故障估计观测器的状态反馈容错控制器设计，依据鲁棒H∞控制理论构造LMI约束抑制干扰向量对系统性能的影响，但是在求解LMI时忽略了变量之间的关系，无法得到正确的状态反馈矩阵K，所以文献[9]转而设计了动态输出反馈容错控制器来确保系统的稳定性。

针对上述分析，本文在自适应故障估计算法的基础上，将状态估计误差和故障估计误差组成增广系统，并构造LMI约束抑制干扰对观测器设计的影响。在故障估计的基础上进一步设计了状态反馈容错控制器，采用Lyapunov稳定性理论证明了系统的稳定性。最后通过仿真实验验证了所提出方法的有效性。

1 系统描述

考虑有未知输入扰动及故障模式下的线性时不变（LTI）动态系统，其状态空间描述如下：

式中x（t），u（t）分别为状态向量、控制输入向量，x（t） ∈Rn，u（t） ∈Rm；y（t）为量测输出向量，y（t） ∈Rp；d（t） ∈Rd为未知输入扰动向量（包括外界干扰和系统内部噪声），d（t） ∈Rd且为L2范数有界即d（t） ∈L2［ 0 ,T）；f（t）为系统故障向量，f（t） ∈Rr；A，B，C，D，E均为适当维数已知确定矩阵，B，E均是列满秩矩阵。

为了检测和估计故障，对系统式（1）、式（2）构造相应的全阶故障估计观测器如下：

根据式（1）式（4）作如下定义：

则可得到误差动态方程如下：

式中ex（t）为状态估计误差，ex（t） ∈Rn；ey（t）为输出估计误差，ey（t） ∈Rp；ef（t）为故障估计误差，ef（t）∈Rr。

2 自适应增广故障估计观测器的设计

定义故障估计对时间的导数如下：

式中R为待设计的增益矩阵。

注1：从式（10）可知，故障估计的导数（t）即估计故障的变化趋势由故障估计本身（t）和系统输出估计误差ey（t）组成，具有自适应调节的功能。

本文考虑的是时变故障，即（t）≠0，则故障估计误差对时间的导数如下：

将式（8）和式（11）组成一个增广系统：

由式（12）可知，除了待设计的增益矩阵L和R以外，其他系数矩阵均为已知确定的。因此，故障估计观测器的设计问题可以描述为：设计最优的观测器增益矩阵使得增广误差系统式（12）渐近稳定，并且使状态估计误差ex（t）和故障估计误差ef（t）尽量达到最小。

注2：根据全维观测器的渐近等价条件[14]可知，本节设计的增广故障估计观测器存在的充分必要条件为被观测系统是可观测的。

定理1：考虑系统式（12），对于给定的标量 0γ＞和α＞0，如果存在对称正定矩阵和矩阵使得式（13）、式（14）成立，则增广故障估计观测器可使得状态估计误差和故障估计误差以α稳定裕度指数收敛，并且满足

证明：首先定义一个Lyapunov函数为

取其对时间的导数：

将式（16）代入式（18）可得：

由式（17）可知 0J＜即＜0Π，应用Schur补引理可得到式（13）成立。根据李亚普诺夫判据推广形式即特征值分布理论[14]可得，若式（14）成立，状态估计误差和故障估计误差是稳定的并以α稳定裕度指数收敛。

证毕

注3：在这里，假设故障及其对时间的导数均为L2范数有界即f（t）,（t） ∈L2［0,T），因此增广向量组（t）为L2范数有界。从定理1可以看出，通过选取适当的标量γ，可以使得状态估计误差和故障估计误差尽量达到最小。

注4：从文献[8]中可以看出，传统自适应故障估计观测器设计方法中选取的Lyapunov函数为

从定理1的证明中可以看出，本文设计的算法将未知待求矩阵L和R组成一个增广矩阵，误差增广系统式（12）中其他系数矩阵均为已知，使得Lyapunov矩阵可以作为一个整体代入计算，即选取的Lyapunov函数为

式中P11，P12，P22为中适当维数的子矩阵。这样充分利用了系统信息，降低了设计的保守性。

注5：从式（14）可以看出，定理1利用α稳定裕度来改善状态估计误差和故障估计误差的收敛速度。

通过定理1给出的算法可以求得自适应增广故障估计观测器增益矩阵L和R，从而同时得到系统状态估计向量（t）和故障估计向量（t）。

3 容错控制器的设计

本节将基于第2节获得的系统状态和故障的实时估计信息设计容错控制器，使得系统在出现故障时仍可确保稳定性。考虑实际系统的状态变量一般都是不可测的，因此容错控制方法采用基于故障估计观测器的反馈控制，而反馈控制通常分为状态反馈控制和输出反馈控制。

文献[9]提到了基于故障估计观测器的状态反馈控制器设计，依据鲁棒H∞控制理论构造LMI约束抑制干扰向量η（t）对系统性能的影响，但是在设计的LMI中同时出现了定义的新变量W=KP，K和P，使得在运用MATLAB中LMI工具箱求解的过程中将三者当作各自独立的变量，忽视了W=KP，无法得到正确的状态反馈矩阵K，因此给容错控制器的设计带来一定的困难。因此，文献[9]设计了动态输出反馈容错控制器来确保系统的稳定性。

为了克服上述设计过程中的难点，本文运用一种新的构造LMI约束和变量处理方法，解决了基于故障估计观测器的状态反馈容错控制器的设计问题。首先给出以下假设。

假设1：rank（B,E） =rank（B）。

由文献[8]可知，假设1相当于存在一个矩阵B*∈Rm×n使得

式中K∈Rm×n为状态反馈矩阵。

在这里，将式（20）代入式（1）可得：

将式（19）代入式（21）可得：

定理2：考虑系统式（22），对于一个给定的标量β＞0，如果存在对称正定矩阵Q∈Rn×n和矩阵M∈Rn×n使得如下LMI成立，则基于故障估计观测器的状态反馈控制可使系统式（1）状态鲁棒稳定，并且满足

式中ψ11=QA+ATQ-M-MT；M=QBK。

证明：首先定义一个Lyapunov函数为

取其对时间的导数：

将式（25）代入式（27）可得：

由式（26）可知J＜0即Ω＜ 0，应用Schur补引理可得到式（23）成立。因此系统式（1）状态x（t）鲁棒稳定，并且满足

证毕

注6：从第2节可得到，状态估计误差ex（t）和故障估计误差ef（t）是收敛的，即干扰向量η（t）为L2范数有界，所以通过选取适当的标量β，经过LMI约束可以最大限度的减小干扰向量η（t）对系统性能的影响。

注7：从式（23）可知，通过对LMI的求解可以得到两个变量的值，即M和Q。根据定义式=M QBK可知：

在这里，由于B是列满秩矩阵，B的左逆存在且唯一，即B+=（BTB）-1BT，所以在式（28）等号两边同时乘以B+，可得状态反馈矩阵K=B+Q-1M。另外，由文献[7]可知，式（20）中的B*可取为B+，即B*=B+。

4 仿真算例

考虑系统式（1）、式（2），给定系统参数如下：

本文考虑的是执行器故障，这类故障通常发生在控制输入通道。在这里假设干扰分布矩阵为D=［0.01 0.01 0.01 0.01］T，则可以构造满足式（12）中的增广系数矩阵，和。通过计算可得，是可观测的，满足增广故障估计观测器存在的充分必要条件。

第2节中的算法分析及说明：根据定理1，设H∞性能指标γ=0.325和稳定裕度α=0.2，运用MATLAB中LMI工具箱的求解器feasp，可得满足式（13）、 式（14）的解和，由可解得：

即自适应增广故障估计观测器增益矩阵为

第3节中的算法分析及说明：根据定理2，设H∞性能指标β=1.0001，求解LMI可得Q和M，然后通过式解得：

再将B*E=［ 0 .5787］代入式（20）即可得到基于故障估计观测器的状态反馈控制u（t）。

下面将通过对两种故障类型的仿真分析阐述本文所提出算法的有效性。这里假设控制输入u（t）是幅值为0.06的常值信号，未知输入d（t）是功率为0.005，采样时间为0.01 s的白噪声信号。

a）突变性故障。

定义执行器发生的故障f（t）如下：

图1给出了故障f（t）的估计曲线。图2给出了有故障时系统在容错控制作用下的输出响应曲线。

图1 故障估计曲线 Fig.1 Fault Estimation Curve

图2 系统在容错控制作用下的输出响应曲线 Fig.2 The Output Response Curve of the System under Fault-tolerant Control

b）渐变性故障。定义执行器发生的故障f（t）如下：

图3给出了故障f（t）的估计曲线。图4给出了有故障时系统在容错控制作用下的输出响应曲线。

图3 故障估计曲线 Fig.3 Fault Estimation Curve

图4 系统在容错控制作用下的输出响应 Fig.4 The Output Response Curve of the System under Fault-tolerant Control

从以上仿真结果可以看出，本文设计的自适应增广故障估计观测器可以快速准确的估计时变故障，同时在出现故障时，设计的状态反馈控制器可以使系统保持很好的稳定性。

5 结束语

本文基于自适应故障估计观测器，将系统状态估计误差与故障估计误差增广成一个系统来求取观测器增益，将状态信息和故障信息同时估计出来，并利用故障估计信息附加控制律构造状态反馈容错控制系统。本文利用了鲁棒H∞控制理论构造LMI约束以及新的变量处理方法，有效的解决了传统自适应故障估计观测器难于处理存在未知扰动的不确定性系统和无法准确、快速估计时变故障等问题。