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基于“四问驱动”的“空间向量基本定理”的教学实录与反思*

2022-12-04周德春

中学数学月刊 2022年9期
关键词:范式基底定理

周德春

(江苏省射阳中学 224300)

1 基本情况

授课对象 学生来自四星级省重点高中普通班,基础良好.

教材分析 “空间向量基本定理”是《普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-1)》(苏教版)第3章“空间向量与立体几何”中的第1节“空间向量及其运算”的第3小节内容,是空间向量线性表示、坐标表示的基础,是向量法解决立体几何问题的重要工具,是本章的核心知识点之一.

设计思想 在学习了平面向量基本定理的基础上,基于类比思想来研究空间向量基本定理.由于从平面到空间需要空间想象能力作为支撑,对于空间想象能力薄弱的部分学生学习起来还是有困难的,故在此教学设计中采取了“合作探究”的教学方法和“四问驱动”的教学范式,突出启发式教学、突出问题引领、突出数形结合、突出类比过程,以实现对空间向量基本定理的全面理解、猜想证明和简单运用.

教学目标 (1)运用类比的方法理解空间向量基本定理及其推论,体会空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示,而且这种表示是惟一的;(2)了解空间中基底的含义,并在简单问题中能用给出的一个基底来表示已知向量,初步感悟向量是研究几何问题的工具;(3)提升数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象素养.

教学重点 空间向量基本定理的理解.

教学难点 空间向量基本定理的证明.

2 过程设计

2.1 问题情境

师:在数学中,我们常用类比法研究数学问题,比如类比集合来研究向量,类比指数函数来研究对数函数,类比椭圆来研究双曲线等.今天将类比平面向量基本定理来研究空间向量基本定理.(点题:空间向量基本定理)

2.2 探究建构

●通过类比得到的空间向量基本定理的内容是什么?如何证明这个定理?这个定理有什么用处?

说明前面标注●的问题称为“启问”.所谓启问就是依据教学目标,提出问题.

问题1如何通过类比得到空间向量基本定理的?

师:请问同学们,平面向量基本定理的内容是什么?

生:如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任一向量p,存在惟一的有序实数对(x,y),使p=xe1+ye2.

师:定理中有哪些关键词?

生:平面内,e1,e2不共线,任一向量,存在,惟一.

师:类比平面向量基本定理,结合关键词,请猜想出空间向量基本定理的具体内容.

生:平面内→空间中;e1,e2不共线→e1,e2,e3不共面;任一向量→任一向量,存在惟一→存在惟一,(x,y)→(x,y,z),p=xe1+ye2→p=xe1+ye2+ze3.

(在学生回答的基础上给出下面的定理)

空间向量基本定理 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对于空间任一向量p,存在惟一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3.(用着重号标出关键词)

追问 猜想出来的结论可靠吗?

生:不可靠!需要证明.

师:证明的大致思路是什么?

生:可类比平面向量基本定理,分存在性和惟一性来证明.

问题2如何证明空间向量基本定理中的存在性?

图1

生:过点P作PP1∥OC,交平面AOB于点P1.

师:这点P1具体在什么位置?

生:点P1既在平面POC内,又在平面AOB内,故点P1在平面POC和平面AOB的交线上.

追问 上述证明存在性用的是什么方法?

生:构造图形法.

提炼 证明存在性的问题,一般都用构造法.

问题3如何证明空间向量基本定理中的惟一性?

师:证明惟一性常用什么方法?

生:反证法.

师:下面用反证法试一试如何证明?

师:说得非常棒!这就证明了惟一性.至此完成了对空间向量基本定理的完整证明.

练习 已知e1,e2,e3不共面,且xe1+ye2+ze3=0,则x=y=z=.

提炼 空间向量基本定理告诉我们,空间中任意一个向量只需用三个不共面的向量就能线性表示,而且这种表示是惟一的.

追问1 空间向量基本定理中的三个不共面向量可以构成空间的一个,这三个向量叫作.

追问2 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫作.

追问3 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直而且都是单位向量,那么这个基底叫作,通常用表示.

(在学生回答的基础上给出下面的概念)

基底、基向量、正交基底和单位正交基底 如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么{e1,e2,e3}称为空间的一个基底,e1,e2,e3叫基向量.如果空间一个基底的三个基向量两两垂直,那么这个基底叫正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.

(在学生回答的基础上给出下列推论)

问题4如何运用空间向量基本定理解决问题?

2.3 数学运用

图2 图3

(学生口答,教师板书)

变式 该正方体为平行六面体(图3),其余条件不变,结果怎样?

生:结论也不变.

追问 上述图中点M是△ABC的心(从外、内、重、垂中选一个).

分析 三个向量能否作为一个基底,关键看它们是否不共面.

生:能.

师:那又如何表示呢?

2.4 课堂小结

■本节课是如何研究空间向量基本定理的?(类比法猜想,构造法、反证法证明,运算法则法、待定系数法应用)

■空间向量基本定理、平面向量基本定理、共线向量定理有什么区别和联系?(略)

说明前面标注■的问题称为“回问”.所谓“回问”就是反思提炼,总结提升.

3 教学反思

本节课的教学设计没有采用新课程倡导的“问题情境—知识建构—知识运用—课堂小结”的模式,而是采用了原创的“四问驱动”的教学范式,主要基于以下两个原因:一是笔者目前主持的一项省规划办课题就是关于“四问驱动”范式的课题,所以采用“四问驱动”的教学范式进行授课可以丰富课题研究成果;二是倡导用“四问驱动”的范式培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力[1],因为“四问驱动”范式就是为聚焦上述“四能”而设计的教学范式.

由于“四问驱动”教学范式有相对固定的模式,所以在教学设计时如何设计“四问”就显得非常重要.那么本节课是如何设计“四问”的呢?

第一、设计启问时要依据教学目标,并注意将启问前的问题情境设计得新颖简洁明了有趣.设计探问时要依据启问,并注意各探问之间呈并列或递进关系.设计追问时要依据探问,并注意让追问的思维量适当小一些,让思维的灵动在此能体现出来.设计回问时要把握课堂立意,把握深度学习,做到既有一般性的梳理归纳,又有画龙点睛式的拔高.而本节课在设计“四问”时,就是遵循上面的设计思路来进行的.在设计启问、追问和回问时都比较顺利,唯独在设计探问时出现了一个纠结,就是“基底概念和定理的推论”这个内容是作为探问给出来还是作为追问给出来,最终是把它们作为追问给出来.其原因是坚持探问之间的关系是并列或递进关系.

第二、根据“四问驱动”的含义,“四问驱动”中的问题应该具有驱动性,那么在进行“四问”设计时,如何体现驱动性?主要做法是:一方面让所有设计出来的问题都要有一定的思维量,而且问题之间要连贯并形成一个体系;另一方面,在授课时要留有时间让学生思考或演算,而不总是教师自问自答.

总之,运用“四问驱动”教学范式进行教学是一种新的尝试,其基本特征是:教学目标明确,教学内容结构化,课堂立意较高;制作课件时重视情境设计和四问设计,课堂实施时重视合作探究和“四能”培养等.本节课不足之处表现在学生动手依然偏少,变式训练还有待加强.

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