大师的智慧与启示：从数学学习到数学研究(续)

郑毓信

(南京大学哲学系 210093)

第二，思维的开放性．

上面的讨论清楚地表明了对“我们如何能够找到合适的研究问题”进行深入思考的重要性，而思维的开放性正是实现这一目标的一个重要途径．

例如，面对需要求解的问题，我们应认真地思考：先前是否遇到过类似的问题，后者是用什么方法解决的，相关方法是否也可以用于眼前问题的求解？众所周知，这也正是波利亚所倡导的“解题策略”(数学启发法)中十分重要的一条．

丘成桐先生在这方面还有这样一个重要的建议：广泛的交流往往可以帮助我们找到大展手脚的地方，特别是，发现自己熟悉的方法可以在其他领域得到重要的应用.

“愚意以为，随意的交谈或许有意想不到的重要作用．姑勿论在讲课、讲座或下午茶的场合，有时你只需记得别人说过的片言只字．这次，随口的一句，竟印记在脑海，最后帮我完成的人生第一个有意义的证明．”“高研院(指普林斯顿高等研究院——注)是个很棒的地方，差不多每晚大家都要在一起吃饭，所以时常能碰上有趣的人物，聊聊 数学或其他大家关注的话题……大部分来高研院的人都和我一样怀着相同的目的，就是为了和别人做思想的交流，并探究自己感到有兴趣的想法．”“从听课和与师友的交流中，可以发现哪些研究方向最为合适，找到理想的方向后，就需要勇往直前．”[4]67,86,318

由以下论述读者可以更好地理解“思维开放性”的重要：“所有新的方法，尤其是和已知迥异的，在成为潮流前莫不如此”，后者是指新方法的应用往往会遭到持保守观点人士的强烈反对，后者并常常占据了主导的地位．[4]113

我们还应看到观念或思维方法在这一方面的重要作用，应当善于用联系的观点看待事物和现象．例如，正如前面所提及的，丘成桐先生关于“几何分析”的研究就是这方面的一个实例：“做研究生时，我有一个想法，微分几何毕竟是涉及分析和几何的一门学问，几何学家应该从分析着手研究几何．况且微分方程的研究已经相当成熟，这个研究方向大有可为．虽然一般几何学家视微分方程为畏途，我决定要将这两个重要理论结合，让几何和分析都表现出它们内在的美．”[4]313

进一步说，这还涉及到了更深层次的一些理念，包括数学的整体性、宏观与微观之间的辩证关系、世界的统一性等：

“我脑海中隐隐浮现一个念头，就是以偏微分方程为经纬，把几何和拓扑联系起来．几何和拓扑通常被看成两个不同的科目，但我总觉得这种区分只是表象．几何能给出的，是局部的特写，就如用放大镜检视地球的表面；而拓扑却能提供宏观的图象，就如从外层空间看地球一般．可是说到底，两者观察的都是同一个行星，不同的观点互为补益而非相冲……我视所有不同的数学领域为同一织物的各部分，不会为外人附加于科目的界限所拘束……对各部件的理解愈多，便知它们是糅合在一起的．”[4]58

“几何分析的新意，在于把非线性偏微分方程用于微分几何……在几何中，我们利用这些方程来量度曲率，并考究曲率在空间各点的变化，当空间的曲率‘局部’地(即每一小片)确定后，我们便能对空间的‘整体’有所认识．一边是曲率，即局部的几何或空间中精准的形状；另一边是拓扑，即同一空间的概括形状——两者之间的联系使我 着迷，构成我过去四十多年工作的重心……当时，人们主要用分析的角度看这问题(指极小曲面的研究——注)，而几何学者则聚焦于问题的几何性质，两者就如站在大山的对面，看到全然不同的 景象．我想把两者融汇起来，虽然前人早就有了少量偶然的尝试，我却想从事大规划而有系统的探究．”[4]59,91

“我视数学非自成一国的学问，而是和大自然息息相关的知识．从几何中呈现的完美结构，更能看到数学和自然的融合．在某些情况中，这些结构甚至能绘画出来，这令它更容易为人理解．”[4]57

根据式（16）和各层的传递函数，可求出第k次迭代的总误差梯度ΔEk，代入式（17），便可逐次修正其权值，并使总误差向减小的方向变化，直至达到所要求的误差性能为止。

显然，从后一立场出发，不同学科的交叉与渗透也就十分自然了，这是丘成桐先生研究工作又一十分重要的特色：“与物理学家合作是愉快的经验，可以有跳跃性的进展，而又不停地去反思，希望能够从数学上解释这些现象，在这个过程中往往扩展了数学的前沿．”[2]321

在其他一些著名数学家的研究工作中我们当然也可看到类似的倾向．例如，华罗庚先生也曾明确强调了拓宽视野的重要性，包括“广度”与“深度”之间的辩证关系：“鉴别一个学问家或个人，一定要同广、同深联系起来看．单是深，固然能成为一个不坏的专家，但对推动整个科学的发展所起的作用，是微不足道的．单是广，这儿懂一点，那儿懂一点，这只能欺欺外行，表现他自己博学多才，而对人民不可能做出实质性的成果来．”“数学各个分支之间，数学与其他学科之间实际上没有不可逾越的鸿沟，以往我们看到过细分割、各搞一行的现象，结果呢？哪行也没搞好．所以在钻研一科的同时，把与自己学科或分支相近的书和文献浏览浏览，也是有好处的．”[2]245

另外，由陈省身先生的以下论述我们也可以在这一方面获得直接的启示：

“黎曼……把几何局部化，可以说是几何学的第四个发展．这是笛卡儿坐标几何的自然推广……黎曼不但用坐标，他还用坐标的微分，于是便把笛卡儿几何局部化，因此，黎曼几何可说是一个局部化的几何……黎曼几何最初在二维的情形是高斯发展的……因为当时的德国政府要他主持一个测量工作，为了给这个测量工作一个理论基础，于是高斯写下了这篇在微分几何上最要紧的论文．微分几何自此诞生……在黎曼几何的情形下，我们只需要空间的一部分……不需要知道全部的空间，也就是说，在这样的一个小块里，便可发展全部的几何性质，这是黎曼几何革命性的观念，使几何局部化，这个和物理上的场论是完全符合的．

“真正使黎曼几何受到重视的是爱因斯坦的广义相对论．大致说起来，爱因斯坦的广义相对论是要把物理几何化，就是说把物理的性质变为几何的性质，因此黎曼几何就成物理学家一定要念的一门数学．到了黎曼空间一样有曲率的概念，只是因为黎曼空间是高维的，所以它的曲率概念就变得相当复杂．在爱因斯坦的广义相对论中的基本公式里，大致说起来，物理的力是一个曲率；数学家讲曲率和物理学家讲力其实是同一个观念．”[3]248-250

第三，树立远大目标．

如众所知，这常常是数学上作出重要贡献的一个重要标志．从这一角度我们可以很好理解丘成桐先生的这样一个评论：“今日有些名教授，著作等身，汗牛充栋，然而内容往往脱离现实，一生所作，不见得能比得上一些内容与实际有关的小品文，数十载后读之，犹可回味．”[4]315

当然，大问题≠重要问题，因为，“数学上最大的进步，并不在于解决难题，因为这样只会使某些研究领域完结，而在于开辟了全新的、各式各样的问题以供探索．”[4]289

“打从一开始，我便知道卡拉比猜想不一样，因为它连通着几何学的某一领域，深入而又宽广．这个猜想的破解打开了一个缺口．带我们走进了亟待开拓的数学领域．”“我的经验是，解决数学难题需要艰辛的努力，没有捷径可走，除非问题本身其实颇易．”

事实上，丘成桐先生在几何分析这一方面的工作也可以看成是这样的范例：“我和众多朋友开拓的几何分析，也差不多花了十年才成功奠基，虽不敢说是‘以血书成’，但每一次的研究都很花费工夫，甚至废寝忘食，失败再尝试，尝试再失败，经过不断的失败，最后才成就一幅美丽的图画．”[4]129,43,314

我们应清楚认识充分准备、长期规划的重要性：“我深知登山的第一步已不容易，首先要花些时间确定一条可行的路线，然后找工具在石头表面刻上记号……我需要时间、毅力和大量的运气，直至准备工作通通完成前，我都不会贸然攻顶．然而，我不会忘记这个山峰，它时时刻刻在脑海中 浮现，从未远离．”“要找到一个制高点，对整个问题有了通透的理解；然后不眠不休、废寝忘餐地 工作；最后灵光一闪，突然看到了完成证明的途径．”[4]86,124

颇有兴味的是，丘成桐先生是通过阅读文学著作和历史学习在这一方面获得了重要的启示：

“少年时最喜爱的小说是《红楼梦》……我从十岁开始阅读这部小说，被书中对18世纪中国人生活和社会的描绘所深深吸引……当时意想不到的是，却是这小说的结构，后来竟然影响了我对数学的看法．书中情节千丝万缕，角色层出不穷，要花时间和眼力，始能把情节和人物联系起来，形成纷沓而又浑成的整体．

“我看待数学，尤其是几何分析便类比．到了1977年，我已证明了好几条定理，往后更多了几条．大部分定理看来彼此之间并无关联，然而渐渐可以看出，几何分析中有某种结构，能够把这些不相干的定理联系起来．其实，整个数学领域亦复如此．数学有很多不同的分支，乍一看毫无关系，但当你站得足够远再看，就会知道它们都是一棵大树的各部分，就如《红楼梦》中贾府各人的宗谱关系一样．我努力思考，希望对整棵数学大树有整体的认识，同时亦专注于几何分析这刚发芽的新枝，它正从微分几何这更粗更长的老枝中冒出来．”[4]133-134

“除了看《红楼梦》，我也看《史记》《汉书》……历史的事实教导我们在重要的时刻如何做决断．做学问的道路往往是五花八门的，走什么方向会影响学者的一生．复杂而现实的历史和做学问有很多类似的地方，历史人物做的正确决断，往往能够为学者选择问题提供一个良好的指南针．” “做好的工作，总要放弃一些次要的工作，如何登高望远，做出这些决断，大致基于学者的经验和师友的交流．然而对我而言，历史的教训是很有帮助的．”[4]316

显然，这也更清楚地表明了拓宽视野的重要性．另外，这也是丘成桐先生特别强调的一点：“感情的培养是做大学问最重要的一部分……立志要做大学问，只不过是一刹那间的事，往往感情澎湃，不能自己，就能够将学者带进新的境界．”后者主要地是指由数学研究、包括数学学习获得的快乐和精神满足．因此，丘先生提到的以下一些弊病就应引起我们的高度重视：“一些中国学生读研究生时，都没有花工夫做学问，挣钱乃是念书的主要目的，而研习某科某目则为其次．数学上，他们只关注细小的问题，得到一丁点儿结果便急急发表，以此作为升职升等从而加薪的凭借．”当然，在这一方面我们也可清楚地看到教育制度、特别是“应试教育”的消极影响，包括这样一点：“或者这是中国教育系统始料不及的后果，过分重视把课程背得滚瓜烂熟，却把做学问的精义丢失了．”[4]129,312,157,184进一步说，这也夺走了年青学子对于数学的兴趣、乃至深入从事数学学习和研究所必须的自信．

愿有志于数学研究的年青人从一开始就能树立远大理想，并能为之终身努力，百战不殆，勇往直前！

(续完)