以数学概率知识解决“遗传的自由组合问题”

安徽 尚丽丽

《普通高中生物学课程标准》(2017年版2022年修订)对遗传规律的要求是“阐明有性生殖中基因的分离和自由组合使得子代的基因型和表型有多种可能，并可由此预测子代的遗传性状”；学业要求为“运用统计与概率的相关知识，解释并预测种群内某一遗传性状的分布及变化(科学思维、科学探究)”。在2021年、2022年的全国理综甲、乙卷中，遗传题占的比例较大，都是一道选择题和一道12分大题(2021年全国乙卷10分)。由此可见，高考中这部分知识侧重对学生思维能力的考查，且力度较大，这部分内容在一轮复习中也同样是重点和难点。

在新课学习时，数学学科还没有学习到概率这部分知识，有很大一部分学生对自由组合定律的理解不够通彻，知其然而不知其所以然，所以在一轮复习的教学中，可以将数学概率的知识应用到孟德尔遗传规律的知识模块中。

一、数学概率基础知识

独立事件：在两个事件中，如果其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，就把它们叫做相互独立事件。若事件A和事件B相互独立，用P(A)表示A事件发生的概率，P(B)表示B事件发生的概率，P(AB)表示事件A和B同时发生的概率，则P(AB)=P(A)P(B)。

互斥事件：如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am)。

生物体在减数分裂形成配子时，非同源染色体上的非等位基因自由组合，就是独立事件，即独立遗传。在解决多对基因独立遗传的问题时，可以先逐对分析基因及其控制的性状，再用概率知识组合以求得后代各种概率。

二、解题示例

1.独立遗传的两对基因控制两对相对性状

【例1】甲、乙两种单基因遗传病分别由基因A、a和D、d控制，图一为两种病的家系图，图二为Ⅱ10体细胞中两对同源染色体上相关基因定位示意图。以下分析正确的是

( )

A.甲病为常染色体显性遗传病

B.Ⅱ6个体的基因型为aaXDXD或aaXDXd

C.Ⅲ13个体是杂合子的概率为1/2

D.Ⅲ12与Ⅲ14婚配后代正常的概率为5/48

【答案】D

【分析】本题涉及非同源染色体上的非等位基因控制的两对相对性状，是独立事件，即独立遗传，可以先逐对分析每对基因控制的性状，再用棋盘法组合以求得后代各种表现型的概率。该方法中需要使用纵横交错的表格，表头行与列中的内容是两类独立事件，行(或列)中是互斥事件(或对立事件)及概率，除表头外的格是两个相互独立事件同时发生的概率。孟德尔在表达配子随机结合形成合子时，就采用了棋盘法。虽然在两对相对性状的杂交实验中，棋盘法烦琐，但其核心思想可以在遗传类问题的解决中灵活应用。

【解答】据图一、图二可知，甲病的遗传方式为常染色体隐性遗传，乙病的遗传方式为伴X染色体显性遗传，A错误；Ⅱ6两病皆患，母亲正常，故Ⅱ6的基因型为aaXDXd，B错误；Ⅱ9的基因型为AaXDXD或AaXDXd，Ⅱ10的基因型为AaXDY，Ⅲ13患甲病，其基因型为aa，由其父母推知Ⅲ13乙病基因型为1/4 XDXd，3/4 XDXD,Ⅲ13个体是杂合子的概率为1/4,C错误；Ⅲ12的基因型为AaXdY，Ⅲ14的基因型为(1/3 AA，2/3 Aa)(3/4 XDXD，1/4 XDXd)，两种方法分析如下：

方法一：用Ⅲ12和Ⅲ14的基因型组合计算子代基因型及概率

先分析甲病的遗传，二者后代基因型及概率分别为5/6 A_,1/6 aa,如表格一，再分析乙病的遗传，基因型及概率分别为7/16 XDXd,7/16 XDY,1/16 XdXd,1/16 XdY，如表格二，最后把结果组合如表格三；

表格一

表格二

表格三

婚配后代表现正常的概率为5/6×1/16×2=5/48，D正确(其他“略”的单元格的基因型均表现患病)。

在表格一中Ⅲ14的基因型为AA和Aa是对立事件，概率和为1，Ⅲ12和Ⅲ14的基因型为独立事件，同时发生的概率为两概率之积，表格二同理。在表格三中，关于乙病，Ⅲ12和Ⅲ14后代的基因型为XDXd、XdXd、XDY、XdY是互斥事件，概率和为1，关于甲病同理，又因为A/a与D/d的遗传是独立事件，独立事件同时发生的概率是两事件的概率相乘。

方法二：用Ⅲ12和Ⅲ14产生的配子概率计算子代基因型及概率

Ⅲ12产生的配子是1/4 AXd,1/4 AY,1/4 aXd,1/4 aY;Ⅲ14产生的配子2/24 AXd,1/24 aXd,14/24 AXD,7/24 aXD；推断过程略，列棋盘如表格四：

表格四

雌雄配子随机结合的过程中，雌、雄配子的基因型是独立事件，概率相乘；各种组合产生的子代基因型为互斥事件，表格中①②③④⑤⑥单元格中的基因型均表现正常，概率之和是5/48(表格中空白单元格的基因型表现为患病)。

【变式一】(2021年，山东卷，第22题节选)番茄是雌雄同花植物，可自花受粉也可异花受粉。M、m基因位于2号染色体上，基因型为mm的植株只产生可育雌配子，表现为小花、雄性不育。基因型为MM、Mm的植株表现为大花、可育。R、r基因位于5号染色体上，基因型为RR、Rr、rr的植株表现型分别为正常成熟红果、晚熟红果、晚熟黄果。

(1)基因型为Mm的植株连续自交两代，F2中雄性不育植株所占的比例为________。雄性不育植株与野生型植株杂交所得可育晚熟红果杂交种的基因型为________，以该杂交种为亲本连续种植，若每代均随机受粉，则F2中可育晚熟红果植株所占比例为________。

【答案】(1)1/6 MmRr 5/12

【分析】本题涉及独立遗传的两对等位基因。群体自由交配时产生的配子种类多，后代基因型和表现型的种类也多，学生容易思路混乱，难度较大。建议把两对基因拆分，通过先对每对基因单独绘制棋盘进行求解，之后再组合，从而简化解题步骤，最终快速而准确求解。

【解答】(1)基因型为Mm的植株自交,F1中MM∶Mm∶mm=1∶2∶1，其中MM、Mm的植株表现为大花、可育，mm的植株只产生可育雌配子,故只有1/3 MM和2/3 Mm能够自交,则F2中雄性不育植株mm所占的比例为2/3×1/4=1/6。雄性不育植株mm与野生型植株杂交所得可育(Mm)晚熟红果(Rr)杂交种的基因型为MmRr，以该杂交种为亲本连续种植,若每代均随机受粉，即自由交配，两对等位基因自由组合。M、m这对基因自由交配后F1的基因型是1/4 MM，2/4 Mm，1/4 mm。F1产生的可育雌配子是1/2 M，1/2 m，可育雄配子是2/3 M，1/3 m，雌雄配子随机结合后如表格五：

表格五

F2的基因型是2/6 MM，3/6 Mm，1/6 mm。

R，r这对基因自由交配后F1是1/4 RR，2/4 Rr，1/4 rr。F1产生的可育雌雄配子均为1/2 R，1/2 r，雌雄配子随机结合后F2的基因型是1/4 RR，2/4 Rr，1/4 rr。再将两对性状自由组合，列棋盘如表格六：

F2中可育晚熟红果植株(基因型为M_Rr)所占比例为2/4×5/6=5/12(其他单元格略)。

在表格五中雌(雄)配子的两种基因型互为对立事件，概率和是1，雌雄配子的结合是独立事件，概率相乘，F2的基因型是2/6 MM，3/6 Mm，1/6 mm，是互斥事件，概率求和，即5/6M_。在表格六中表头的行与列中的事件是独立事件，概率相乘。

2.独立遗传的多对基因控制的性状

【例2】植物红花和白花这对相对性状同时受多对等位基因控制(如A、a；B、b；C、c......),当个体的基因型中每对等位基因都至少含有一个显性基因时(即A_B_C_......)才开红花,否则开白花。现有甲、乙、丙、丁4个纯合白花品系，相互之间进行杂交，杂交组合、后代表型及其比例如图三:

图三

根据杂交结果可知,本实验中植物的花色至少受________独立遗传的等位基因的控制。

A.2对 B.4对

C.3对 D.6对

【答案】B

【分析】本题是纯合亲本杂交得到F1，F1自交后得到F2，根据F2的性状分离比来逆推该性状由几对等位基因控制，即知道若干独立事件同时发生的概率，来推知到底是几个独立事件。借此题还可将某一事件发生的概率类比为众多子代中某一表现型所占比例。本题的思维误区是学生容易将题干信息“后代表现型及其比例”忽略或理解为“后代表现型及其个体数”而展开数据统计处理,导致“陷入泥潭”，不仅耗费大量的时间，而且会作答错误。

【解答】根据题意“当个体的基因型中每对等位基因都至少含有一个显性基因时(即A_B_C_.....)才开红花，否则开白花”可知,F1红花自交，若子代红花占3/4,说明F1含一对等位基因，若子代红花占3/4×3/4=9/16，说明F1含两对等位基因，以此类推。根据乙×丙和甲×丁两个杂交组合中,F2中红色个体占全部个体的比例为81/(81+175)=(3/4)4,可推知F1含有四对独立遗传的等位基因，F2每对等位基因中至少含有一个显性基因的概率为3/4,独立遗传的四对等位基因相当于四个相互独立事件，同时发生的概率是(3/4)4。

【变式二】(2021年，全国乙卷，第6题)某种二倍体植物的n个不同性状由n对独立遗传的基因控制(杂合子表现显性性状)。已知植株A的n对基因均杂合。理论上，下列说法错误的是

( )

A.植株A的测交子代会出现2n种不同表现型的个体

B.n越大，植株A测交子代中不同表现型个体数目彼此之间的差异越大

C.植株A测交子代中n对基因均杂合的个体数和纯合子的个体数相等

D.n≥2时,植株A的测交子代中杂合子的个体数多于纯合子的个体数

【答案】B

【分析】本题涉及独立遗传的n对基因控制n个性状，是n个独立事件的同时发生，不仅可用乘法公式计算基因型，还延伸出“基因型种类及比例的乘法”“表现型种类及比例的乘法”。

【解答】本题中n对等位基因独立遗传，n=1时，测交后代有2种表现型，每种表现型出现的概率都是1/2，纯合子概率是1/2；n=2时，测交后代有22种表现型，每种表现型出现的概率都是(1/2)2，2对基因均杂合的概率是(1/2)2，纯合子概率是(1/2)2；依此类推，植株A的n对基因均杂合，测交后代有2n种表现型，每种表现型出现的概率都是(1/2)n，n对基因均杂合的概率是(1/2)n，纯合子概率是(1/2)n，A正确，C正确，B错误；“测交后代是纯合子”与“测交后代是杂合子”是对立事件，所以后代杂合子的比例是1-(1/2)n，n≥2时，植株A的测交子代中杂合子的个体数多于纯合子的个体数，D正确。

三、小结