从一题多解到多题一解,发散思维,发展素养
——以2022年全国甲卷文科第12题为例
2022-11-30四川王奋际
四川 张 君 王奋际
“双减”背景下高考数学全国卷的命题,要求减少“机械刷题”,加强学科核心素养的考查.本文以2022年高考数学全国甲卷文科第12题为例,从一题多解着手,研究比较大小类题目的通性通法,寻求解题本质,发散数学思维,最后形成多题一解,发展数学学科核心素养.
1.真题再现
【例】(2022·全国甲卷文·12)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则( )
A.a>0>bB.a>b>0
C.b>a>0 D.b>0>a
2.试题分析
罗增儒教授把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段,结论预告需知并诱导解题方向”,解题的本质是找条件与结论的关系,故本题从两种角度思考解题方案:一是综合考虑条件与选项,做等价变形;二是直接从条件出发,推导结论.
观察已知条件,a,b均为指数式与常数之差,作差后不易比较大小,又由于a,b无法判断正负,作商也不易比较;再观察选项发现,a,b都需要与0比较,故可考虑等价变形为三个对数值log1011,log910,log89的大小比较,即思路1.
等价变形为三个对数值的大小比较,此时可以直接作差(解法1),作商(解法2)比较,利用数列单调性(解法3),函数单调性比较(解法4).解法1,2,3都可以使用均值不等式将对数乘法转化为加法,解法4则利用函数求导寻找单调性.
由于条件中的三个表达式结构类似,可以考虑构造函数,利用函数单调性比较,即思路2.此时可转化为函数零点和单调性问题(解法5),也可转化为两个函数图象分析问题(解法6),也可转化为幂函数图象增长速度问题(解法7).
若将9m作为整体,避开对数运算,适当放缩,转化为寻找a的下界和b的上界的问题(解法8).
上海市特级教师文卫星老师主张以思维导图对解题思路以形象总结,此题可表示为如下思维导图.
3.一题多解
3.1 思路1:综合条件与选项,恒等变形转化
由9m=10知m=log910,比较a=10m-11与0的大小,等价于比较10m与11的大小,等价于比较m=log910与log1011的大小;同理,比较b=8m-9与0的大小,等价于比较m=log910与log89的大小;至此,本题转化为比较log1011,log910,log89三个数的大小.要比较这三个数又可以有如下几种方案.
同理可证log910
解法3:将这三个数看作数列{logn(n+1)}的第8,9,10三项,先研究数列的单调性,比较logn(n+1)与logn+1(n+2),其中n∈N,n≥2的大小.
所以ln2(n+1)-lnn·ln(n+2)>0,即logn(n+1)>logn+1(n+2).
由此可得,log89>log910>log1011,下同解法1.
点评:上述三种方法,先将对数化同底,基于同底对数没有乘法,但可以相加,不约而同的利用均值不等式,最终完成解题.
解法4:令f(x)=logx(x+1)(x>1),则通过求导易得f(x)单调递减.
由1 所以xlnx<(x+1)ln(x+1). 因此,当x>1时,f′(x)<0,所以f(x)=logx(x+1)在(1,+∞)上单调递减, 所以f(10) 解法5:令f(x)=xm-x-1(m=log910), 则f′(x)=mxm-1-1,令f′(x)=0, 又因为m=log910>1, 又因为f(9)=0,所以a>0>b,故选A. 解法6:f(x)=xm-x-1(m=log910), 则f(9)=0.则函数y=xm(m=log910)与y=x+1的交点为(9,10)如图所示. 由图可知,当0 当x>9时,xm>x+1,所以8m<9,即b=8m-9<0,10m>11,即a=10m-11>0.所以a>0>b,故选A. 解法7:如图,从下到上分别是y=8x,y=9x,y=10x的图象,直线x=1与三条曲线分别交于点A,B,C, 直线x=m(m=log910)与三条曲线分别交于点E,G,P, 分别过点A,B,C作x轴的平行线依次交直线x=m于点D,F,H.因为y=8x,y=9x,y=10x的图象上升速度依次加快,则DF 所以8m-8<9m-9=1<10m-10,∴8m-9<9m-10=0<10m-11,故选A. 点评:解法4至解法7都构造了函数,但构造的函数各不相同,构造函数后,利用的函数性质也不同,可见,通法之下也有很多变化. 解法8:显然,m>1. 所以a>0>b,故选A. 比较大小类题目是近年高考常考题,入口低,方法灵活,能全面考查学生数学思维能力.常见的方法主要有直接或变形后作差、作商比较;构造函数利用单调性比较;构造函数利用函数图象比较;放缩法.此题中每一种通法都可以切入试题,而每种方法又不是独立存在.通法之间可以交叉混合使用,比较log1011,log910,log89三个数不仅可以用基本不等式,还可以使用加糖不等式等方法(见5课本溯源).试题多角度、多层次进行考查,兼顾基础性、综合性. 事实上,比较大小的题目还可以采用估值的方法,如果考生手上有计算器,直接输入计算即可得出答案.考场上学生要估计一个数的大小,通常可以考虑放缩法、利用常见的对数值(如lg2≈0.3,lg3≈0.477,ln2≈0.69,ln3≈1.1)、泰勒展开等. (2019年人教A版《数学必修第一册》第141页13题)比较下列各题中三个值的大小: (1)log0.26,log0.36,log0.46;(2)log23,log34,log45. 我们来研究一下第(2)问. 所以log23>log34. 同理可得log34>log45. 综上所述,log23>log34>log45. 点评:作差、通分后,利用基本不等式即可判断ln23-ln2×ln4的符号,如果掌握了这种思想方法,那么考题中a-b的符号就容易联想到利用基本不等式来判断,此外,课本的结论还可以推广为logn(n+1)>logn+1(n+2)(证明见上文解法3). 这说明这道考题源于课本高于课本,因此,指导高三复习要立足课本,适当提高,就能提质减负! 国务院《深化新时代教育评价改革总体方案》提出要“改变相对固化的试题形式,增强试题开放性,减少死记硬背和‘机械刷题’现象”,这要求教学中要重视通性通法,寻找解题本质,落实核心素养. 本文对2022数学甲卷文科12题解法研究中,主要提出了三大类通法,一是综合考虑条件和结论,等价变形后,作差、作商比较大小;二是结构相似,构造函数,利用函数性质,如单调性、图象,增长趋势等比较大小;三是利用放缩,特殊值,甚至泰勒展开等估计参数值的范围比较大小. 这些“通法”当然也能迁移到其他高考题目,例如: 1.(2020·全国卷Ⅲ理·12)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( ) A.a C.b ∴b 点评:以上解析用到了两种通法,a,b的比较采用作商法,b,c的比较采用放缩法. A.a C.b 所以a 点评:以上解析用到了放缩法. A.c>b>aB.b>a>c C.a>b>cD.a>c>b 点评:以上解析用到了两种通法,b,c的比较采用作商法,b,a的比较采用构造函数的方法. 从以上三个高考题的解析可以看到,高考题强调通性通法的考查,教学中教师应注重通法的教学.学生在理解掌握通性通法之后,根据题目的具体呈现形式,灵活选择并做适当变形,就能完成解题. 在高考题基础上,笔者进行了一些变式,读者可以尝试从通法入手,完成解题. 【变式1】已知a=101.1-6,b=91.1-5,c=81.1-4,则a,b,c的大小关系是( ) A.a3.2 思路2:形式同构,构造函数,逆用单调性,数形结合
3.3 思路3:化异为同,适当放缩
4.一题多思
5.课本溯源
6.通法迁移
7.一题多变