新高考数学多选题的考查类型剖析

◎ 海南省农垦中学 庞怡婷

新高考多选题具有无需解题过程，考试分值小、考查容量大、解题思路广、数学思想丰富等特点，题中多个正确选项的设置将会影响学生的作答时间和得分率，能对学生进行多层次区分，对学生能力的考查更加深入，要求学生具备完整、细致、全面的思维。下面就2020-2022年新高考多选题进行研究分析，从中思考其考查类型，为教育教学改革提供借鉴。

一、基本概念的考查

例1（：2021年新高考Ⅱ卷，9）下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的 离散程度的是（ ）。

A.样本x1，x2，…，xn的 标准差

B.样本x1，x2，…，xn的 中位数

C.样本x1，x2，…，xn的 极差

D.样本x1，x2，…，xn的 平均数

【点评】2021年高考题例1考查了平均数、中位数、标准差和极差的概念，为基本概念的考查。

【启示】数学概念是数学学习的起点，是数学体系的形成元素，概念中的每个符号，每句术语都有明确的含义，都是数学认知结构中的重要组成部分，尽管数学题型千变万化，里面蕴含的数学概念永恒不变。多选题中出现概念考查，体现了新高考试题注重基础知识，回归教材的特点，教师在教学中应指导学生端正态度，重视基础，认真学习研究教材中的基本概念、基本定理和基本方法等，通过持续巩固数学基础知识，可以更好地构建数学认知结构，提升问题解决能力。

二、数量关系的考查

例2：（2021年新高考Ⅰ卷，10）已知O为坐标原点，点P1（cosα，,sinα，），P2（cosβ,-sinβ），P3(cos（α，+β）sin（α，+β))，A（(1，0），则（ ）。

【点评】例2考查了向量的模长、数量积的计算以及两角差的余弦公式的化简，属于数量关系的考查。

【启示】数量关系是数学知识体系的重要组成部分，在高考中占据较大的比重，其中包含基本的数与式的运算、化简或量化等，主要考查学生的数学运算化简能力。多选题的数量关系更是从多个侧面、多个角度对学生进行多次的考查，对运算能力要求更高。教师在教学中应指导学生熟记一些常用公式、法则和数据，重视解题技巧的培养，比如运算技巧和简便方法等，还要重视培养学生良好的计算习惯，引导其细心审题，规范书写，使学生真正具备“细心、灵活、迅速、正确”的运算能力。

三、变形变式的考查

例3（：2020年新高考Ⅱ卷，11）图1是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（ ）。

例4：（2020年新高考Ⅱ卷，12）已知a＞0，b＞0，且a+b=1，则（ ）。

【点评】例3先利用周期和特殊点确定ω和φ的值，求出函数的解析式为，再利用诱导公式进行等价变形变换，即，属于变形变式的考查。

例4围绕一个不等式链展开，即

（当且仅当a=b时等号成立），不等式链是由基本不等式变形延伸而来的，内涵丰富，实际应用相对于基本不等式更为广泛，考查了学生的变形拓展能力，属于变形变式的考查。

【启示】变形变式是指同一个知识点，适当地变换条件或结构，变换表述或形式，从而出现多个变形的结果。变形变式有利于检测学生的思维深度，教师在教学中要注重培养学生的变形能力，比如在三角函数教学中，要突出诱导公式的转换、三角恒等变换、正余互化、切弦互换、和积互化、平方消元等变形技巧；在不等式教学中，要拓展基本不等式的各种不同变形，比如不等式链等；在解方程教学里，要指导分组分解、提取公因式、配方法、系数变换法等变形技巧。巧妙灵活地应用变形技巧，可以化繁为简、化难为易，提升学生对知识的灵活变换能力，进而巩固了基础知识和基本技能，起到举一反三的作用。

四、形数兼备的考查

例5：（2021年新高考Ⅰ卷，11）已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)、B(0，2)，则（ ）。

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当∠PBA最小时，

D.当∠PBA最大时，

例6:（2022年新高考Ⅱ卷，10）已知O为坐标原点，过抛物线C:y2=2px(p＞0)焦点F的直线与C交:于A(A、B两点，其中A(在第一象限，点M(p，0)，若|AF|=|AM|，则（ ）。

A.直线AB的斜率为

B.|OB|=|OF|

C.|AB|＞4|OF|

D.∠OAM+∠OBM＜180°

【点评】例5考查了点到线的距离，以及数形结合思想解决角的最值问题；例6需要利用抛物线的图像及性质来求解点、线、角等基本量，均属于形数兼备的考查。

【启示】数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，不是孤立进行，而是有分有合，辩证统一，图形中常常隐藏着代数问题，而代数问题中往往又寓有图形的问题，因此，形数兼备是高考数学中的一种重要考查题型，特别是对函数、圆、圆锥曲线、复数几何意义、取值范围等问题。教师在教学中要引导学生牢记各种方程、函数、圆锥曲线等对应的图形，并能适当拓展，绘制一些相关的特殊图形，必要时建立坐标系，建立起数与图的关联，学会观察分析数与形的关系，学会以形助数、以数解形，在讲解例题时，注重引导，传授数形结合的方法和技巧，以提升学生数形结合的能力。

五、辨析思维的考查

例7：（2020年 新 高 考Ⅱ卷，10）已 知 曲 线，（ ）。

A.若m＞n＞0，则C:是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n＞0，则C:是圆，其半径为

C.若mn＜0，则C:是双曲线，其渐近线方程为

D.若m=0，n＞0，则C:是两条直线

例8：（2021年 新 高 考Ⅱ卷，11）已 知 直 线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是（ ）。

A.若点A(在圆C:上，则直线l与圆C:相切

B.若点A(在圆C:内，则直线l与圆C:相离

C.若点A(在圆C:外，则直线l与圆C:相离

D.若点A(在直线l上，则直线l与圆C:相切

【点评】例7考查了曲线方程及其系数之间的关系，要求学生能动态分析参数的变化并加以辨别分析，例8考查了点、直线和圆之间的位置关系，也是要求学生能辨别分析各种不同的位置关系，这些属于辨析思维的考查。

【启示】辨析即辨别分析，对于一些相似或相关的知识，给出一定的发散条件，让学生进行辨别和分析。比如涉及参数变化的开放式题型，要分类讨论问题，分析动态变化的结果等。数学是逻辑学科，具有高度的抽象性和严密性，很多相似或相关的知识和结论，都需要非常严格的条件去辨别分析，任何细微条件的忽略都会引起辨别错误。教师在教学中要引导学生注重细节，注意辅助条件和隐含条件。对于带参数的类型，要深入理解参数的各种变化及其影响；对于动态问题，分析时要做到不缺不漏；对于分类讨论的问题，要能全方位地思考、研究、判断、推理等，从而提高学生观察、分析、逻辑推断和辨析的综合能力。

六、几何直观的考查

例9：（2020新高考Ⅱ卷，9）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）。

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量

例10（：2022年新高考Ⅱ卷，11）如图2，四边形ABCD为正方形，ED⊥平面ABCD，FB∥ED，AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1，V2，V3，则（ ）。

A.V3=2V2B.V3=V1

C.V3=V1+V2D.2V3=3V1

【点评】例9考查了折线图，例10考查了空间几何体的体积，属于几何直观的考查。

【启示】几何直观是指依托、利用图形描述和分析问题，它包含两个层次：一是几何，即图形，二是直观。直观不仅仅是直接看到的图形，更突出由图形得到的更深层次的思考，所以几何直观本质上是通过图形展开的想象和分析，与逻辑、推理不可分割。主要包括：利用图形图表描述分析数学问题，借助平面或空间图形认识事物的位置关系、量化特征、运动规律等。图形是数学体系的重要组成部分，几何直观是数学学习的必备思维能力，教师在教学中应该全方位、多角度地培养学生的几何直观思维，提高学生的识图能力，培养学生平面图形思维和空间图形思维，使其能从图中分析求解相关的量。

七、综合能力的考查

例11：（2021年新高考Ⅱ卷，12）设正整数n=a0·20+a1·2+…+ak-1·2k-1+ak·2k，其中ai∈{0，1}，记ω(n)=a0+a1+…+ak．则（ ）。

A.ω(2n)=ω(n)

B.ω(2n+3)=ω(n)+1

C.ω(8n+5)=ω(4n+3)

D.ω(2n-1)=n

【点评】例11属于新定义的题型，需要学生运用迁移拓展能力和思维穿透能力，对新定义的正整数n的展开公式，能理解它的本质，才能正确应用于各个选项，属于综合能力的考查。

【启示】《考试说明》中提出，“发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的把握程度，又注意考查进去高校连续学习的潜能”。2022年，教育部考试中心命题专家也表示要“发挥数学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素质”。这都说明了提升学生的综合能力是数学培养的趋势和最终目标，而多选题选项的多样性，更能反映学生的综合能力的强弱。教师需要在教学中有意识地去培养和训练学生，使其对原有的知识能融会贯通、举一反三，对新知识能突破思维定势，进行创造性地思考。教师在教学中要多理论联系实际，多拓展延伸，多探究和启发，提高学生的主观能动性，提高学生的学习反思和迁移能力。

剖析新高考多选题的考查类型，我们不仅要关注知识的变化，更要关注学生获取知识的途径，教学不能只是简单地把解法告诉学生，更应该重视知识的形成过程，正确地应用好多选题，能让学生更多角度地理解知识的内涵和外延，使其真正得到数学能力的提升。