上联下延，一以贯之：在结构和联系中学习新知——以“中心对称和中心对称图形”课时教学为例*

石树伟

(江苏省扬州市广陵区教研室 225006)

1 基本情况

1.1 授课背景

当前的数学教学零碎教零碎学现象严重，学生学到的都是碎片化的数学知识，不利于知识的记忆和存储、提取和运用，不利于数学核心素养的形成．因此，凸显知识整体性的单元教学应运而生．但梳理相关文献发现，当前单元教学的研究多关注价值意义分析、整体目标设计，课时实施则涉及较少或语焉不详，少量的所谓单元教学案例多是几节课连上或在一节课时间内大容量、高强度地灌输全单元重要知识．然而在相当长的一段时间内，数学课堂教学必须面对分课时实施的问题．为解决课时教学如何凸显知识整体性的问题，笔者提出“课时教学应力求上联下延、一以贯之，让学生在结构和联系中学习新知”[1]的教学主张，并在“中心对称和中心对称图形”的课时教学中进行了公开教学尝试．

1.2 学情分析

施教对象为区属公办初中八年级学生，学生数学基础一般，学业水平参差不齐，部分学生抽象思维能力较弱，本节内容的教学需要更多的实例观察、动手操作等直观形象手段的参与．

1.3 内容分析

“中心对称和中心对称图形”是苏科版初中数学教材八年级下册第9章《中心对称图形——平行四边形》的第2节内容[2]，是在学习了第1节“图形的旋转”后继续探究旋转特例的自然生长，后续学习的第3节“平行四边形”又是继续探究中心对称特例的自然延伸，教材教学内容的安排体现了“从一般到特殊”的研究思路．同时，中心对称也为后续平行四边形的研究提供了图形变换的视角和工具．

1.4 教学目标

(1)了解中心对称和中心对称图形的概念，掌握中心对称的性质，并能画一个简单几何图形关于一点对称的图形；(2)经历中心对称和中心对称图形概念的形成过程，发展数学抽象素养，感受数学美；(3)经历本节知识的发生发展过程，形成相应的知识结构，感悟积累“从一般到特殊考察特例”“概念是基础和核心”等数学研究思路和经验．

2 课例简录

2.1 板块一：从旋转到中心对称

问题1请你用数学的眼光观察几幅扬州剪纸(图1)，并用数学的语言介绍这几幅剪纸作品．

图1 扬州剪纸

设计意图引导学生用旋转变换的视角分析这些剪纸作品，复习旋转的同时为发现、研究旋转的特例——中心对称提供直观素材．

问题2旋转、轴对称都是图形变换方式，过去我们是如何研究旋转和轴对称的？

设计意图师生共同回顾旋转和轴对称的研究思路，揭示图形变换的一般研究路径：实例→概念→性质→应用→整体视角(即轴对称图形或中心对称图形)，为中心对称的学习规划路径．

问题3研究一个数学对象我们一般会继续考察它的特例，如一般轴对称研究后，我们继续研究了线段中垂线、角平分线、等腰三角形等特殊轴对称图形．结合剪纸作品思考，如果继续研究旋转，我们可能会研究什么？旋转有哪些特例？

设计意图引导学生结合实例(剪纸作品)研究旋转的特例——绕旋转中心旋转180°的情况，揭示中心对称课题，体会旋转与中心对称之间“一般与特殊”的关系，把中心对称置于旋转变换的整体结构体系之中．

2.2 板块二：研究中心对称

(1)从实例到概念

问题4再看双鱼剪纸(图2)，请用旋转变换的视角介绍一下这幅作品．

图2 双鱼剪纸 图3

问题5先操作：①用一张透明纸覆盖在图3上，描出四边形ABCD；②用大头针钉在点O处，将四边形ABCD绕点旋转180°，你有什么发现？

问题6你能归纳一下中心对称的概念吗？

设计意图从生活现实到数学现实，从观察分析到动手操作，让学生从实例中分析中心对称的本质属性，进而归纳中心对称的概念，结合图形介绍对称中心、对应点等概念，让学生经历概念的形成过程．

(2)从概念到性质

问题7在图3中，分别连结关于点O的对称点A和A′，B和B′，C和C′，D和D′，你发现了什么？

问题8如何说明你的发现是正确的？

设计意图让学生在操作的基础上，猜想“成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分”，并回归中心对称的概念说明猜想的正确性，从而得到中心对称的性质．

(3)从性质到应用

问题9如图(图略)，①画出点A关于点O对称的点A′；②画出线段AB关于点O对称的线段A′B′；③画出与△ABC关于点O对称的△A′B′C′．

设计意图从简单到复杂，应用中心对称性质作中心对称图形，巩固中心对称性质．

2.3 板块三：整体视角看中心对称

问题10由图4中的两幅图你想到了什么？轴对称与轴对称图形之间有什么区别和联系？

图4 轴对称与轴对称图形

设计意图问题逐步出示，通过列表回顾轴对称与轴对称图形之间的区别与联系，为后面研究中心对称与中心对称图形提供类比对象．

问题11类似地，存在中心对称图形吗？请你举例．

问题12什么是中心对称图形？中心对称与中心对称图形有什么区别与联系？

问题13观察下列图形(图略)，哪些是中心对称图形？

设计意图学生类比轴对称图形自己寻找中心对称图形实例，进而自主归纳中心对称图形概念及中心对称与中心对称图形的区别和联系．

2.4 板块四：从中心对称到……

图5

问题14本节课你有哪些收获？还有什么困惑或还想知道什么？

问题15如图5，已知△ABC和AC边中点O，如何画△ABC关于点O对称的三角形？动手画一画，画成后是一个什么图形？

设计意图通过画△ABC关于点O对称的图形，既巩固复习中心对称的概念和性质，又可以自然引出下面即将研究的中心对称的特例——平行四边形．

问题16我们是如何研究中心对称的？你有什么体会和感悟？

设计意图通过问题引导学生反思研究历程，体会图形变换主线共同的研究思路：宏观上从一般到特殊，不断考察特例，微观上遵循“实例→概念→性质→应用→整体视角”的路径，感悟图形变换内容概念学习的重要性，概念是研究性质的基础，而性质又是应用的基础．通过上述三个问题的交流，板书形成如图6所示的知识结构．

图6 中心对称的上联下延板书

3 课例启示

3.1 上联下延形成知识结构

《义务教育数学课程标准(2011年版)》在教学建议中提出：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解．[3]因此，每一节课的教学要力求上联下延，让学生明晰今天所学习的知识从哪里生长而来，又向哪里延伸而去，明晰知识的来龙去脉，让学生在一个知识结构体系中学习每一个新知．

上联下延的关键是分析、找准知识的“生长点”与“延伸点”．如“中心对称和中心对称图形”课例，宏观上，中心对称是旋转的特例，而平行四边形又是中心对称的特例，因此，中心对称的知识“生长点”是旋转，知识“延伸点”是平行四边形，从而形成“旋转→中心对称→平行四边形”宏观知识结构；微观上，实例是中心对称概念来源，中心对称概念是其性质的基础，性质又是其应用的基础，从而形成“实例→概念→性质→应用”微观脉络线索．

上联下延的类型一般有两种．一种是“瞻前顾后”，即知识与其“生长点”“延伸点”之间呈递进关系，前面的知识是后面知识的逻辑基础，如旋转、中心对称、平行四边形三个知识之间的关系，单项式乘法、多项式乘法、完全平方公式三个知识之间的关系等；另一种是“左顾右盼”，即知识与其“生长点”“延伸点”之间呈并列关系，如线段中垂线、角平分线和等腰三角形这三个特殊轴对称图形之间的关系．

3.2 一以贯之强化思想联系

《普通高中数学课程标准(2017年版)》明确指出了数学学科的课程性质：数学是研究数量关系和空间形式的一门科学．数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律．[4]这里清晰阐明了数学学科的研究对象及其来源、过程与方法以及研究结果和作用，从宏观上指明了研究一个数学对象的基本套路、思想与方法，这也是贯穿数学每一个内容领域的一条主线．因此，数学教学应一以贯之，让学生感悟贯穿于数学知识内容之中的、共同的数学研究基本思路和思想方法，强化知识之间的思想联系．

一以贯之的关键是善于挖掘蕴含于数学知识内容之中的、共同的一般观念和思想方法，充分发挥先行组织者作用，善于类比．如“中心对称和中心对称图形”课例，“旋转→中心对称→平行四边形”的宏观知识结构中蕴含着“从一般到特殊”这个一般观念，与八上《轴对称图形》一章“轴对称→线段中垂线、角平分线、等腰三角形等特殊轴对称图形”的宏观研究思路是一脉相承的；中心对称与图形的旋转、轴对称的学习一样，微观上都遵循“实例→概念→性质→应用”的研究路径，凸显了概念的基础和核心地位．因此，“中心对称和中心对称图形”课例在思想方法上一以贯之，通过类比继续贯彻执行轴对称、旋转的研究思路，使蕴含于其中的一般观念和思想方法得以再次应用、强化和明晰．

3.3 两者结合落实上联下延、一以贯之

上联下延形成的知识结构是明线，一以贯之强化的思想联系是暗线．思想联系本质上是对数学知识结构更高层次的抽象概括和更深层次的理解总结，一以贯之的思想联系蕴含于上联下延的知识结构之中；反过来，一以贯之的思想联系又是上联下延知识结构形成的指导思想，指引上联下延知识结构的形成．两者紧密结合可以保证上联下延、一以贯之的落实．如“从一般到特殊”的一般观念蕴含于“旋转→中心对称→平行四边形”的知识结构之中；反过来，教师通过问题串引导学生在一般观念“从一般到特殊”的指引下探究旋转的特例，从而生长出中心对称知识．

上联下延形成知识结构，一以贯之强化思想联系，两者紧密结合，可以增强数学知识的整体性和关联性，有利于发挥结构和联系的力量，揭示数学知识本质，增强知识的迁移应用价值，促进学生知识理解和应用能力的提升，从而促进数学学科核心素养的落实．