大师的智慧与启示：从数学学习到数学研究(上)

郑毓信

(南京大学哲学系 210093)

如何才能成为数学的行家里手？本文将按照从数学学习到数学研究这一顺序对此作出简要的分析．之所以将数学学习与数学研究联系在一起，是因为两者有很多的共同点，特别是，“主动探究”或“再创造”意义上的数学学习其性质可以说是与数学研究十分一致的，尽管两者在层次或难度上有一定差异．本文还可以视为“学生如何才能学好数学”一文[1]的姐妹篇，主要的区别在于：前者所关注的主要是一般学生如何能够通过数学学习有更大的收获，而不论其将来是否会从事数学或其他与数学密切相关的工作，后者则以对数学有特别兴趣，甚至已选定数学作为未来的职业，乃至这一行业的新进入者作为主要对象．本文集中反映了笔者由阅读华罗庚、陈省身、丘成桐等著名数学家的相关论著[2-4]在这方面的主要收获，希望通过介绍、分析也能引起青年一代更多的重视．

1 从“数学学习”谈起

首先，应当清楚认识“学会学习”包括“学会自学”的重要性．这正是华罗庚先生特别强调的一点：“讲自学，实际上不是神秘的东西．对一个人来讲，一辈子总是自学的时候多，不在学校的时候多，没有老师比有老师的时候多……社会在前进，事物在发展，历史上的人才总是青出于蓝胜于蓝．为什么？就是学生除了从老师那里学以外，还多一个自学……对一个人来讲，没有老师是经常的，一般情况下大多是靠自己学习．”[2]293

联系现代社会的发展可以更好地理解“学会学习”的重要性，包括我们为什么应当牢固树立“终身学习”这样一个思想：“随着流动的速度加快，它会渐渐掏空过去给我们带来安全和财富的存量知识．”“你在学校里学到的那些知识，可能你还没有出学校的大门，就已经变得过时了．”正因为此，我们必须切实提高自身的学习能力：“你必须知道更多，你必须更加频繁地更新知识，你必须运用知识做更多创造性的工作，而不仅仅是完成常规工作．”[5]

上述引言表明，“学习”主要地被看成一种创造性的劳动，或者说，我们应将此看成“学会学习”最重要的一个涵义，包括通过学校学习为将来从事研究工作做好必要的准备．

为了清楚地说明问题，在此提及笔者先前一直持有的一个想法：由于自己所接受的大学教育是师范教育，但在后来的学术生涯中研究则可说占据了十分重要的地位，因此，这就是自己在很长时间内的一个遗憾，即觉得师范教育未能教会我如何从事研究工作，从而对于后来的发展也就有一定的影响，尽管自己在校期间的学习成绩一直不错．但是，华罗庚先生的经历在这方面为我们树立了直接的范例：他所接受的正规教育只到初中，自然就谈不上任何真正的研究，他却完全依靠自身的努力，即主要通过自学成了世界著名的数学家．由此可见，为了做好由学习向研究的转变，关键并不在于外部的引领，而是我们自身在这一方面是否具有足够的自觉性，因为，真正的学习已包含有研究的成分．

由华罗庚先生的以下论述我们可以对此有更好的理解：

“应该怎样学会读书呢？我觉得，在学习书本上的每一问题、每一章节的时候，首先应该不只看到书面上，而且还要看到书背后的东西．这就是说，对书本的某些原理、定律、公式，我们在学习的时候，不仅应该记住它的结论，懂得它的道理，而且还应该设想一下人家是怎样想出来的，经过多少曲折，攻破多少关键，才得出这个结论的．而且还不妨进一步设想一下，如果书本上还没有作出结论，我自己设身处地，应该怎样得出这个结论？……

“如果说前一步的工作可以叫作‘支解’的工作，那么，第二步我们就需要做‘综合’的工作．这就是说，在对书中的每一个问题都经过细嚼慢咽，真正懂得之后，就需要进一步把全书各部分内容串连起来理解，加以融会贯通，从而弄清楚什么是书中的主要问题，以及各个问题之间的关联．这样我们就能抓住统帅全书的基本线索，贯穿全书的精神实质……青年同学读书要学会消化．我常见有些同学在考试前要求老师指出重点，这就反映了他们读书还没有抓住重点，还没有消化．靠老师指出重点不是好办法，主要的应当是自己抓重点．”[2]170-171

华罗庚先生曾依据自己的经验对如何做好上述两个方面的工作给出了一些具体建议：

第一，想要相对独立地做出书上的发现并不容易，因此，学习中一定不要贪多，不要怕慢．

例如，华罗庚先生的一个亲身体验：“学习是艰苦的劳动，只要刻苦钻研，不怕困难，没有解决不了的问题，旁的同学用一小时能解决的问题，我就准备用两小时解决．是不是别人一小时的工作，我一定要用两小时呢？那也不见得．由于我不断地刻苦练习，后来别人要花一小时才能解决的问题，我往往只要用半小时，甚至更短的时间就解决了．”[2]110

当然，刻苦练习不是指“原地打转”，我们也不应片面地强调“钻难题”．就如华罗庚先生所指出的：“打好基础，并不是叫大家老是在原地方踱步打圈子，把同一类型的书翻来覆去看上很多遍．譬如过去有些人研究数学，把同样程度的几本微积分都收集起来，每本都从头到尾看，甚至把书上的习题都重复地做几遍，这是一种书呆子的读书方法，毫无实际意义．”“给学生出了很多难题，以‘培养’数学竞赛的优胜者．我们必须反对，因为这是贻误青年的有害的做法．很明显，从做难题入手，是不会收到好的效果的．纵使学生做了一个类型的难题，而对另一类型，却依然是生疏，并且难题是很多的，层出不穷的，又哪里做得完呢？单靠做些奇奇怪怪的难题，是锻炼不出很高的才能的．只有掌握了原则，才能无往不利，才能创造性地灵活运用，因而才能有所创造．”[2]126,136

显然，从同一角度我们可以更好地理解“做题”的作用，包括如何才能通过做题有更大的收获．“培养独立思想的第一步，还是打好基础，多做习题，肯动脑筋，深入地了解定理、定律、公式的来龙去脉，但最好再想一下，那些结论别人是怎样想出来的，如果能看得出人家是怎样想出来的，那么自己也就有可能想出新东西来了．”[2]198

第二，依据华罗庚先生关于“由薄到厚”和“由厚到薄”过程的分析我们可以对他所说的“综合性工作”有更好的了解：“要真正打好基础，有两个必经的过程，即‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的过程．‘由薄到厚’是学习、接受的过程，‘由厚到薄’是消化、提炼的过程．譬如我们读一本书，厚厚的一本，加上自己的注解，就愈读愈厚，我们所知道的东西也就‘由薄到厚’了．但是，这个过程主要是个接受和记忆的过程，‘学’并不到此为止，‘懂’并不到此为透．要真正学会学懂还必须经过‘由厚到薄’的过程，即把那些学到的东西，经过咀嚼、消化，融会贯通，提炼出关键性的问题来．我们常有这样的体会：当你读一本书或是看一叠资料的时候，如果对它们的内容和精神做到了深入钻研，透彻了解，掌握了要点和关键，你就会感到这本书和这叠资料变薄了．这看起来你得到的东西似乎比以前少了，但实质上经过消化，变成精炼的东西了．不仅仅在量中兜圈子，而有质的提高了．只有经过消化提炼的过程，基础才算是巩固了．”[2]187-188

笔者在这方面还有这样一些具体体会：

(1)在数学学习与数学研究之间不存在绝对界限，关键在于我们是否具有足够的自觉性，即能否以研究的精神从事学习，包括通过数学学习逐步地学会研究．

在笔者看来，我们或许应当从这一角度去理解这样的主张：我们应当将“做数学”或所谓的“再创造”看成学习数学的主要途径．

当然，又如前面所已提及的，想要做到这一点并不容易，因此，现实中我们必须十分重视“量”与“难度”的控制．另外，从教学的角度看，在积极鼓励学生主动探究的同时，教师也应给学生必要的帮助与指导．

进而，联系数学教育目标进行分析，特别是，考虑到并非所有学生将来都会直接从事数学或与此密切相关的工作，那么，相对于要求所有学生都能在上述方面做出很好的成绩，这就应当说是更加合理的一个要求，即要求学生在数学学习中都能做到真正的理解[1]．

(2)这里所说的“理解”的主要涵义，即我们应当使相应的思维过程成为十分自然的，从而也就是“可以学到手的和推广应用的”．当然，教师也应在这方面起到很好的示范作用，应当用思维方法的分析带动具体知识内容的教学，从而真正地做好言传身教．

再则，无论就教师的教学或是学生的自学而言，我们还应特别重视对照比较的工作，如各种不同解题方法的比较等．因为，不仅数学的发展可以视为一个不断优化的过程，后者也可以看成数学学习的本质所在[1]．

(3)正如华罗庚先生所反复强调的，我们应特别重视自身“问题意识”的提升，因为，问题正是“做数学”或数学研究的直接出发点．

更一般地说，我们应当将“问题”看成“数学活动”十分重要的一个组成成分，包括将“学会提问”看成“学数学”的一个重要涵义．当然，除去“问题”以外，我们还应对“数学活动”的内涵作出进一步的扩展，特别是，应将“方法”和“语言(概念系统)”也包括在内．通过以下的论述，相信读者可以对此有更好的了解．

后者事实上也正是所谓的“数学活动论”的主要内容，即将数学看成人类的一种创造性活动，而不应将此简单等同于这种活动的最终产物，也即各种具体的数学概念和结论；进而，我们应作广义的理解，应当将“数学(活动)”看成是由问题、语言、方法和理论等多种成分组成的一个复合体．[6]

(4)由华罗庚先生关于“由薄到厚”和“由厚到薄”过程的论述我们还可清楚地认识“总结、反思和再认识”对于数学学习的特殊重要性，包括单纯强调“经验的简单积累”与“熟能生巧”的局限性，后者是指，我们不应期望单纯依靠反复练习与经验积累就能有效地提升自己的数学水平．

我们还应注意对于“反思”的正确理解，特别是，对此不应仅仅理解成“纠错”，而应更加突出“再认识”这样一个涵义，即我们如何能够通过新的分析思考(特别是更高层次的抽象，这是众多数学家何以将数学抽象称为“自反抽象”的主要原因)实现认识的不断发展和深化．另外，按照弗赖登塔尔的观点，我们还应超出个体、从更广泛的角度把握“反思”的涵义：“它的范围已很自然地从个体扩展到了群体．”[7]这也意味着，我们应由单纯的“个体反思”过渡到“群体反思”“社会反思”，因为，其他人的想法显然可以为个体的深入思考、包括思维的不断优化提供了重要背景．

当然，又如华罗庚先生所强调的，这是“总结、反思和再认识”最重要的一个涵义，我们应当通过总体分析实现“由厚到薄”，或者说，更好地实现“化多为少”“化复杂为简单”．

最后，除去整本书的学习以外，所说的“总结、反思和再认识”显然也适用于各个具体内容的学习，我们应当通过深入思考从中提炼出相应的“主要问题”“基本方法”和“核心概念”．进而，从同一角度我们也可以更好地认识“适当放慢节奏”的重要性，更不应将简单意义上的“问题解决”看成学习的主要目标．

(6)从更高的层次进行分析，上面的论述显然十分清楚地表明了努力提升自身思维品质的重要性，特别是，我们应在以下一些方面作出切实的努力[1]：

第一，联系的观点与思维的深刻性．我们可以区分出这样两个不同的层次：①我们不应将事物和现象看成互不相干的，而应用联系的观点进行分析思考，包括通过类比联想发现问题和解决问题；②整体观点的指导，包括“分清主次，突出重点，以主带次”以及结构性认识的建构．

第二，变化的思想与思维的灵活性．特别是，我们应通过适当变化以更好地实现“化未知为已知，化难为易，化复杂为简单”，从而有效地解决问题．

第三，“总结、反思和再认识”与思维的自觉性．

由于上述的思维策略和思维品质显然具有超出数学更普遍的意义，因此，这事实上可以看成这样一个思想的具体体现：我们在数学的教学和学习中应当很好把握“入”与“出”之间的辩证关系，真正落实“努力促进学生的思维发展”这一基本目标，从而使所有的学生都能通过数学学习有真正的收获[1]．

应当提及的是，后者也可视为“数学深层教学(学习)”的主要涵义[8]，我们能够以此为背景进一步思考何者可以被看成我们做好数学教学的关键[9]．

2 走向研究

强调“研究”，主要是因为以下引文大多源自丘成桐等著名数学家的自传，从而所涉及的也就主要是较高层次的数学研究；但由于在数学学习与数学研究之间不存在绝对的界限，因此，即使是中学生也可由此获得关于如何学好数学的重要启示，包括我们如何通过基础教育阶段的数学学习为将来从事数学研究做好必要的准备．

以下就是笔者由丘成桐先生《我的几何人生》在这方面获得的主要启示：

第一，“精通方法”．

有很多数学工作就是用熟悉的方法解决新的问题．在丘成桐先生的这一著作中我们可以找到这方面的大量例子．例如，丘成桐先生在数学领域中的一个重要贡献就是将非线性偏微分方程应用到了几何研究，并由此而开拓了一个新的研究方向“几何分析”．“整个几何分析……均基于这信念：深入的几何信息除了从拓扑或几何图形直接得到外，还需要加上大量分析的方法，尤其是新近发展的非线性分析的工具，并由其成果支撑．”[4]112

丘成桐先生关于庞加莱猜想的研究可以看成这方面的又一实例，因为这一工作主要是对哈密尔顿创造的“里奇流”的创造性应用．丘先生这样写道：“他似乎找到一把能打开从未开启之门的钥匙，我立刻意识到，哈密尔顿的路走下去会开花结果……我跟他说，这些技巧可以借用来证明三维空间的庞加莱猜想，这是自20世纪以来就悬而未解的老大难问题．同样的方法，也足以解决比尔·瑟斯顿的几何化猜想……”[4]180

由此可见，对于所说的“方法”或“工具”我们应作广义的理解，有时应从这一角度去看待一个数学分支或是一个新的研究方向；进而，后者的作用又不限于某个具体问题的解决，而是提供了一个新的分析视角，或者说是一种新的语言或概念工具．

以下是丘成桐先生在这方面的一些具体建议：“你们在做学生的这段时间，最基本的工具一定要学好．若连最基本的工具都没掌握，根本就谈不上跨学科的研究……当你进入一个学科的研究领域以后，不可能通晓所有东西，但必须将其工具都掌握了，所谓精通就是对工具能运用自如，遇到困难的题目不会惧怕，懂得如何学习和思考．”“有很多工具，刚开始以为不重要、不流行，很多人不想去学，这往往是个错误的看法．”“我希望你们在做学生的时候至少掌握两门不同的工具，以后做学问的时候有两把‘板斧’，而且每一门都要精通，才能在真正去解决问题时收放自如．”[4]327-328

为了对“精通方法”有更好的了解，建议读者仔细阅读张景中院士关于“教育数学三原理”的相关论述，后者是指(1)在学生头脑里找概念；(2)从概念里产生方法；(3)方法要形成模式．

以下是张景中院士的相关说明：

“学生头脑里已有很多知识印象，它们要和新来的概念起反应、发生变化，使新概念格格不入甚至被歪曲．把学生头脑里的东西研究一番，利用其中已有的东西加以改造形成有用的概念，是个重要手段，这样，学生学起来亲切容易．

“光有概念不够，还必须有方法．数学的中心是解题，没有方法怎么解题？从概念里产生方法，就是说有了概念之后，概念要能迅速转化为方法．不能推来推去走过长长的逻辑道路学生还看不见有趣的题目，摸不到犀利的方法．

“方法不能过多，不能零乱，要形成统一的模式．像吃饭一样，光吃零食不利于肠胃吸收，不利于健康．形成模式，即形成较一般的方法，学生才能心里踏实信心倍增．

“总之，教育数学三原理很简单，无非是说概念要平易、直观、亲切，逻辑推理展开要迅速简明，方法要通用有力．”[10]

由此可见，“精通方法”的关键，就是对于“核心概念”和“基本定理”的很好把握，这是与我们先前关于“总体分析”的论述完全一致的．这里我们还可以提及张景中院士关于“面积法”的研究，因为这不仅是用熟悉的方法解决新问题的又一范例，而且这一工作的神奇之处，是这一源自初等几何研究的方法居然可以被成功地应用于现代的“机器证明”．

(待续)