以问题为载体提升数学思维能力

王涛（江苏省苏州高新区新升实验小学校 215011）

文章以问题为载体引导学生合理猜想，并活用数学教学策略，强化学生初步感知数学思想、分析问题的意识和能力，通过抽象概括优化学生的数学思维，立足更高层次强化教师和学生的数学思维。下面，笔者以《长方体和正方体》单元中一个“容积最大化”问题为例，探索在问题解决中如何提升教师、学生的数学思维能力。

一、分析问题，合理猜想

在数学学习中我们遇到问题后，首先要理解题意，从数学的角度分析题目中的数量关系，牢牢抓住千变万化中的不变量。如果题目中的数量关系比较复杂，问题与条件的关系不是很明确，不能一下子解决这个问题，我们可以在理解题意、初步分析数量关系的基础上，对答案合理猜想，为后续彻底解决这个问题奠定基础。

在六年级《长方体和正方体》单元中有一个“容积最大化”的问题。题目是这样阐述的：一张正方形纸，边长是20厘米，在正方形的四个角上剪掉四个完全一样的小正方形，然后折成一个无盖的长方体。长方体的容积（纸的厚度忽略不计）最大是多少？针对问题的分析、答案的猜想，笔者通过问答环节得出，知道剪去的小正方形的边长是几厘米，然后求出长方体的容积。

二、活用策略，初步感知

学生理解题意、分析数量关系之后进行合理猜想，接下来正式着手解决问题。解决这样稍复杂的实际问题，我们一般会运用一些策略，如列表策略、画图策略、列举策略等。为了进一步解决问题、活用策略，初步锻炼学生数学思维，师生间进行了以下交流。

师：我们已经知道，要想让容积尽可能大，剪去的小正方形的边长的大致范围，那我们怎样精确获知剪去多少厘米时容积最大？

生1：我们可以运用一些策略。

生2：用列举的策略，把剪去的可能长度一个一个列举出来，再求出对应的容积，看看哪个最大。

生3：生2说得有一定道理，但操作起来比较困难，剪去的长度只要比0大比10小就可以，在这一范围内有无数个数，可能是整数，可能是小数、分数。

生4：我们可以先把可能的整数列举出来，看看剪去哪一个整数厘米时容积最大，然后再往下考虑。

师：对的，我们可以先试着把可能的整数列举出来，求出对应的容积。

学生小组合作，列举出剪去的长度是整数厘米时长方体的容积情况。

师：在整数范围内，剪去3厘米时，容积最大。这与我们之前的猜测也是一致的。

师：能否说明588立方厘米就是最终的答案？

生5：588立方厘米不一定是最大的容积，刚刚我们只是研究了整数范围。

生6：观察表格可以看出，剪去2厘米到4厘米之间时，容积从512立方厘米变大成588立方厘米，之后又变成576立方厘米。在长方体容积先升高后下降的过程中，有容积比588立方厘米还大的可能。

师：我们可以继续研究2厘米到4厘米之间的小数，不妨先研究一位小数。

学生小组研究后整理了相关数据（容积保留一位小数）。

师：剪去3.3厘米时，容积最大。那如果剪去的长度是两位小数，容积是否可能会更大呢？

带着这个疑问，学生继续这一研究过程，得出剪去的长度是两位小数3.33厘米时，容积最大是592.592立方厘米，比剪去3.3厘米时略大。这时，班上有几个学生突然明白过来，3厘米、3.3厘米、3.33厘米，按照这个规律，剪去3.333厘米时容积会再略大。学生再往下思考，就想到了无限循环小数3.3●。通过教师的引导，学生发现这个熟悉的无限循环小数就是10/3。通过以上的不完全归纳，学生得出了剪去长度是10/3厘米时，容积最大，是16000/27立方厘米。在这不完全归纳过程中，学生的数学思维能力得到了提高。

三、抽象概括，提升小学生数学思维能力

不完全归纳之后，问题其实已经得到了解决，学生的数学思维能力也得到了一定的锻炼，但是这还远远不够，为了进一步提升学生的数学思维能力，笔者又设计了相应的教学过程，抽象概括出了问题的模型。

我们不妨假设剪去的长度是x厘米，则高就是x厘米，长和宽都是（20-2x）厘米，容积V=（20-2x）（20-2x）x。这时，我们就把问题转化成了求一个含有字母的式子的最大值。在这个式子里，随着高的变大，长和宽在变小，那有没有什么是不变的呢？这个不由让我们想起另外一个类似的问题：一根20厘米的铁丝围成一个长方形，长与宽的差距越小，面积越大，当围成的长方形是正方形时面积最大。这也可以概括成：两个数的和一定，它们的差越小，积就越大。但是，现在是长、宽、高三个变量，而且这三个量的和是40-3x，不是一个定量。那我们就先解决第一个问题：如果三个数的和一定，是不是当三个数相等时，它们的积最大。

笔者让学生用不完全归纳法（由于小学生思维、知识、能力等的限制，此处用不完全归纳比较适合），通过列举学生发现：无论三个数的和是整数、小数、分数等，当这三个数相等时，它们的乘积是最大的。现在我们确定了三个数的和一定，它们相等时积最大。

下面我们解决第二个问题，怎样让这三个量的和一定。我们再次观察这个式子：V=（20-2x）（20-2x）x。（20-2x）+（20-2x）+x的和不一定，我们只需运用等式的基本性质，两边同时乘4，变成：4V=（20-2x）（20-2x）×4x，（20-2x）+（20-2x）+4x=40，和一定，只需让三个量（20-2x）=（20-2x）=4x，4V就最大，此时x=10/3，4V=64000/27，V=16000/27。

通过以上师生共同交流、思考的过程，小学生的数学思维能力进一步得到提升。

四、高屋建瓴，提升教师教学思维能力

在以上思考过程中，用不完全归纳法得出三个量的和一定，当它们相等时乘积最大。这种方法对小学生而言比较适合，而且打通了知识之间的联系。学生也学会了类比，提升了他们的数学思维能力。但是，这对于一个数学教师而言，理解到这一层还远远不够，还要继续深入研究，找到问题的本质。

从高观点视角下分析小学数学知识的本质，小学生不需要掌握也无法掌握。但对于当前小学数学教师而言，它却是必须具备的数学素养，我们只有从更高的视角审视、分析小学数学问题，才能不断提升教师的数学思维能力，从而更好地为数学教学服务，提升小学生的数学思维能力。

“好的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学”，正是陶行知先生所提出的“教学生学”，我们在今后的教学中，应以问题为载体，提高学生分析问题的能力、活用数学策略的意识；剖析问题的本质，提升小学生的数学思维能力、学习能力；让他们能够高屋建瓴，高观点下分析小学数学问题，提升数学教师的数学教学思维。