线性代数中一类分块矩阵的极小秩

梁 静

（安徽新华学院 通识教育部，安徽 合肥 230088）

矩阵的秩是矩阵的重要数字特征，其主要刻画保持一些不变量的线性算子形式[1,2]，而极小秩是建筑、工程、控制等方面的重要不变量之一.近年来，对矩阵极小秩的研究依然十分活跃.如，文献[3]研究了混合Sylvester 矩阵方程的极小秩，厄尔米特矩阵的极大极小秩；文献[4]讨论了极小秩矩阵的逼近问题；文献[5]利用分块矩阵秩的性质和分块矩阵变换获得最小二乘解的极大秩、极小秩公式.本文将利用分块矩阵将高阶矩阵化为低阶矩阵运算来得到一类分块矩阵的极小秩，这也是求秩常用的一种证明方法.

1 主要内容

引理设{α1,α2,…,αn}是秩为r的向量组，则它的任意线性无关组，可以扩充为向量组的一个极大无关组.即存在一个极大无关组，它包含中每个向量.

证明由向量组极大无关组和向量组秩的定义即得.

定理设数域F，若取中任意矩阵，则

且4 种情况下达到的极小秩的X满足的条件相同.

2 结语

本文利用向量组的极大无关组和线性表示，将高阶矩阵化为低阶矩阵，最后得到了一类分块矩阵的极小秩，这为后续研究分块矩阵的应用提供了便利.