建模找规律 智慧学数学

福建省福州市仓山区教师进修学校 林 伟

探索规律是人们认识客观世界的主要方式之一，对小学数学教育来说，其根本目的是培养、促进教育对象——学生在知识与技能、身体与心理、情感态度与价值观方面的全面发展。小学数学新课程标准修订将“双基”调整为“四基”，着重强调了基本数学思想以及基本数学经验与数学思维之间的密切关系。甚至可以说，“四基”的核心就是数学思维，数学教育就是为了促进学生数学思维得到更好的发展。这个过程应该是一个生动、主动、自主、向上、富有个性的发展过程，更是一个基于探索、发现、验证、领悟、运用、创造的模型思想建构过程，是让学生学会借助模型所凸显“规律”辅助应用的过程。

一、数学概念的感知是探索规律的过程

数学是人们在对客观世界定性和定量刻画的基础上，逐步抽象概括形成方法和理论，并进行应用的过程。学生学习的数学内容是现实的、有趣的、富有挑战性的，这样的内容有利于他们自主从事观察、发现、猜测、验证、推理与交流。概念、定义、公式、法则、定律、规则等都是概念性知识，这些知识对于学生而言有两种获得的方式：（1）当学生学习新的数学概念时，利用已有认知结构中的概念与新概念建立联系进行认知；（2）从大量具体例子出发概括出新概念的本质属性概念，从而认知新概念。数学教学中无论哪种建立概念的形式都需要教师恰当地利用所存在现实“模型”，借助学生对“模型”所存在的感知经验，同时注重紧密联系学生生活环境。从学生经验和已有知识出发，通过创设有助于学生自主学习、合作交流的具体问题情境，逐步完成从图到形、从形到数的抽象。在此基础上对非本质属性进行引导，逐步剥离，让学生关注其本质属性从而进行概念认识学习。

例如，在教学人教版二年级“倍的认识”一课时，借助图形数量研究，利用“摆一摆”操作活动引出“倍”。接着教师以2 倍为基础，引导学生进行“倍的认识”这节课的第一次抽象跳跃。3 个三角形卡片与6 个三角形卡片，3 个正方形卡片与6 个正方形卡片，3 个圆形卡片与6 个圆形卡片，这些都存在关于2 倍的概念。紧接着从2 倍拓展到3 倍、4 倍……在学生心里建立起“一份”和“几份”的认知，明确“几份”的产生是由“一份”所决定的，利用“倍”这一概念的外延挖掘“倍”的内涵进行这节课第二次抽象跳跃。在这种逐层跳跃的基础上，借助变化形的特征，从三角形卡片到正方形卡片，再到圆形卡片，让学生逐步认识到一个本质属性——“只要存在一个数是另一个数的几份的关系，就存在倍的关系”，从形的支撑到数的抽象，凸显了数学规律的本质。

又如，在教学人教版四年级下册教学“三角形的认识”一课时，笔者让学生事先准备了小棒，5 厘米长的小棒3 根，3 厘米、4 厘米、9 厘米长的小棒各1 根。请学生先用9 厘米长的小棒去围三角形，学生发现任何两根小棒都不能围成三角形。“为什么呢？”“这根小棒太长了，另外两根小棒太短了。”“如果把它们换掉，你们能将它们围成三角形吗？”学生共同讨论，围成了各种三角形。实践活动中，学生知道了三角形中两边之和大于第三边的特性以及共同抽象出三条线段围成封闭的图形是三角形的两个本质属性，随后通过变式练习深化学生对三角形的认识。通过学生动手操作解决问题，并通过大量的实践探索从而在现象之下追寻本质，通过对数学内在规律的探索感受数学魅力，体验成功探究的乐趣。从这个意义上说，数学就是探索规律、发现规律的过程。

二、数学技能的形成是在感受规律的过程

形成运算技能是数学学习的重要部分。运算技能的形成过程要经历三个阶段：初步认知阶段，明了运算法则；发现规律阶段，发现规律，并把知识与规律进行结合连接；运用阶段，将所发现并验证的规律进行运用阶段。

例如，在教学人教版六年级数学广角“数与形”过程中，教师可以根据学生理解能力和思维特征，采用自主探究、合作交流、实践活动的教学模式，让学生充分经历观察、实践、验证、归纳、应用的自主探究与合作交流过程，发现算式中蕴含的数学规律。让学生思考怎样用图形来表示数的规律，也可以让学生寻找图形中所包含的数的规律，从而构建数学模型，同步培养学生善于观察、善于思考、善于总结、善于归纳、善于尝试的良好学习习惯。

又如在一年级“数数”活动中可以引导学生“一个一个”地数、“两个两个”地数、“三个三个”地数……“顺序”数、“倒序”数，在数数的过程中体验、发现并感受连续等差数列的规律。相对应，我们所学的20 以内加法计算表、九九乘法口诀表也蕴含着规律，在“和”“差”“积”“商”这些方面不变的条件下，发现两个数量之间存在一些函数关系。在日历表、百数图可以发掘除了“横”的、“竖”的、“斜”的排列所蕴含的规律，甚至还可以进一步探究每一行、每一列、间隔几行，间隔几列、相邻两个数、间隔几个数之间所存在的关系，这些关系在高年级教学中也可以用字母表示其存在的函数关系。这样的过程学生在操作中积累感性经验，形成丰富的动作思维，完成了整个技能形成的三个阶段。

三、数学问题的解决是在应用规律的过程

解决问题是数学活动中一种更为高级的思维活动。学生在解决数学问题的过程中，不仅需要重组自身已有数学知识，搜索所认知的数学模型，进而找到切合实际的解决方法，尝试应用模型从而解决问题，而且更为关键的是如果问题一旦解决，这个过程就成为学生的一种资源、一段经历。他们在解决问题中所形成的策略会不断积淀，不断经历优胜劣汰的过程进一步储存起来，逐步成为数学认知结构的重要组成部分。波利亚提出的“怎样解决问题”表中表示出解决问题的一般过程必须经历了解问题、找出已知问题与未知问题间的联系、制订计划、运用计划、验证并解答的步骤，其中关键步骤是找出已知问题与未知问题间的联系，可以说就是寻找在解决问题中所存在的不同数量之间的特点、联系、规律，也是一种模型思想的构建过程。

例如，在教学例题“一桶油连桶重36.5 千克，用了一半后，连桶还有20.5 千克，油桶重多少千克？”时，可以发现这类题目只要构建了相应的模型，找到解题关键步骤，即可建立起已知问题与未知问题间的联系，问题自然迎刃而解。教师给予学生充分时间进行探讨，然后获得了多种解题算式：（1）36.5－（36.5－20.5）×2；（2）20.5×2－36.5；（3）（20.5－36.5÷2）×2；（4）设油桶重为X 千克，36.5－（36.5－X）÷2 ＝20.5；（5）其他。然后让学生借助反馈器进行选择和自己一样的算式，接着随机抽选相应学生解说自己是怎么理解的，让学生在展示自己思路的过程中逐步将本题所蕴含的关键联系——“用的是油，前后两次的重量都包含桶的重量”这一已知问题与未知问题间的联系核心就浮出水面了。接着无论是用“总重量剩下的重量=半桶油的重量”“总重量油重量=桶的重量”，还是用“算出一桶油和两只桶的重量油和桶的总重量”或者用方程等假设的方式完成，都万变不离其宗。这种平等开放的交流让更多学生进行相互补充，学会了分析问题、找到规律、构建模型、应用规律的解决问题的策略和思想方法。

再如，在教学五年级“用字母表示数”时，出示例题：“爸爸的年龄比小红大30 岁，小红的年龄用a 表示，爸爸的年龄是多少？”这种题目对学生来说不难理解，但是如何通过具体数让学生进一步感受用字母的式子可以表示一个结果，同时让学生明白字母表示的数在特定情况下是有范围的这个关键步骤，极大地考验学生对于规律的探究深度。在学生充分思考讨论后，通过课堂中收集学生代表性做法：用文字表示“爸爸年龄=小红年龄+30”；用单个字母表示“爸爸年龄是X”；用字母的式子表示“小红年龄是X，爸爸年龄是X+30”；甚至用两个字母分别表示等。这时候需要教师重点引导学生交流用一个字母表示爸爸年龄与用字母的式子表示爸爸年龄之间的区别，从而得出字母的式子不仅能够表示爸爸的年龄，还能够看出爸爸年龄与小红年龄之间的关系。接着让学生尝试继续应用这个探究结果进行讨论：“X 可以表示哪些数？X 能是100、200……吗？”通过具体的数所带来的情境，让学生进一步感知找出已知问题与未知问题间的联系的重要性。

同样，解决问题过程中所了解的基本数量关系；图形的周长、面积、体积公式；总价、单价、数量；工作总量、工作效率、工作时间；路程、速度、时间甚至正比例、反比例关系都是函数关系的体现。学生在与这些数量关系的互动沟通、挖掘、理解与运用中，数学找规律的过程就变得丰富与生动起来。

四、数学智慧的应用是在构筑规律的过程

随着教育部信息技术应用能力提升工程2.0 的开展与落实，提出了三种环境，其中的智慧学习环境与数学学科的应用能够给学生构建数学模型、探索数学规律过程带来极大助力，促进学生数学学习方式的转变。

教师可以借助相关智慧课堂类教学平台，为学生构筑一个基于智慧学习环境的网络学习空间，实现资源分享、自主探究、合作与互动交流。如在教学“植树问题”一课时，为了探究其规律，即构建相关数学模型，这样就可以提出三类相关联的规律。一类是按一定的间隔规律植树，问可以植树多少棵：“棵树=间隔数+1”。一类是先确定植树棵数，然后探索植树的间隔规律：“间隔数=棵树－1”。最后一类是如果两端特别的情况：一端不种——“棵树=间隔数”；两端都不种——“棵树=间隔数－1”；甚至类似一端不种的环形首尾相连的方式——“棵树=间隔数”。由于这个规律的数学模型拓展较多，之间的变化关系学生没有通过实际操作无法很好构建，尤其是在验证方面会比较难以操作。“授之以鱼不如授之以渔”，这时教师可以把知识点微课、互动课件、类比练习等实时分享给学生，学生根据自身掌握情况借助设备进行探究、验证、总结和归纳甚至后续的拓展与巩固。若部分学生不能掌握新课内容，还可以重复观看微课、自主使用互动课件进行“拖”“摆”“移”“组”，多次进行找规律的过程，逐步构建起适宜的数学模型，也可以在遇到困难时及时寻求教师或小组成员的协助。教师可以借助平台实时了解学生学习进度与情况，进行精准推送，有效开展针对性个别辅导，课后还能对学生借助平台而留存的实时大数据进行分析，找准学生的生长点以及得到改进教育教学的方法和策略。

由此可见，教师充分借助智慧课堂的实施，构建小组合作学习的模式，采用精准化、个性化、项目式等学习方式，既能够让教学活动从传统的“以教师为中心”转换为更加适应教学规律的“以学生为中心”的教学，又能让学生由被动接受知识转为主动思考和探究知识。因此，极大地提升了学生的数学学科核心素养，更好地培养了学生的观察能力，发现问题、分析问题、解决问题的能力以及团结协作、学以致用的能力，促进学生全面发展。

从以上方面来看，数学学习过程其实是构建模型思想、借助数学模型找规律的过程。教师可以使用信息技术直观呈现、易于尝试、快速收集的特性来辅助学生形成表象，构建模型，验证规律。这个过程中，教师应该发挥引导者作用，充分引导学生找准探索规律的起点，完善探索规律的过程，拓展探索规律的体验，让学生充分进行数学思考，积累数学学习的体验和活动经验，提升数学素养，让学习数学的过程变得更加的有规律。