Bernoulli泛函空间上的算子构造的量子随机游荡模型Bernoulli泛函空间上的算子构造的量子随机游荡模型

◎张 银 李 唯

(吉利学院智能科技学院,四川 成都 641402)

一、引言

量子概率理论 (von Neumann) 以二元组(A,φ)为概率空间,其中A是一个von Neumann 代数,φ是A上的态 (即定义在A上的非负正规线性映射).A中的投影算子称为量子随机事件,因投影算子的乘积未必是投影算子,从而量子随机事件一般不构成σ-代数,但如果它们的乘积可交换,则构成σ-代数,于是化为经典情形.在这个意义上称量子概率论为非交换的概率论,经典概率论属于它的特殊情形.作为经典概率论的非交换推广,量子概率论中的一些概念可看作经典概率论中相应概念的直接推广,如，量子随机变量、量子随机过程、量子Markov 链、量子Markov过程等.作为另一类重要的随机过程,经典随机游荡在传统的信息技术处理领域有着非常广泛的应用.

随着量子信息理论在20世纪90年代的研究热潮，量子随机游荡(quantum random walk)成为一种新的游荡模式，这种新的模式开始被人们所关注，它在量子信息理论和量子计算等领域中有着广泛的应用.量子随机游荡简称为量子游荡，是基于量子力学原理的一种随机游荡，我们可将其看作经典随机游荡的量子类似物，由于量子随机游荡的演化速度远远快于经典的随机游荡，因此，它们的演化行为与经典的随机游荡有着极大的不同.

2008年，Privault给出了关于Bernoulli噪声泛函的两种运算——散度运算和梯度运算，并在这基础上，构建了一种Malliavin型随机分析框架.2010年，Nourdin等研究了一种对称型的Bernoulli泛函的正态逼近，这种对称型的Bernoulli泛函也叫作Rademache泛函.2011年，王才士等在根据Privault的Malliavin型随机分析框架，定义了增生和湮灭两种算子，证明了这两种算子满足等时典则反交换关系，并利用这两种算子给出了量子Bernoulli噪声的定义.2015年,针对一类具有有限多个内部自由度的开放型量子随机游荡,Attal运用经典Markov链方法证明了相应的中心极限定理.2016年，量子Bernoulli噪声首次被王才士等用在了量子随机游荡的研究当中，并利用量子Bernoulli噪声构建了一种量子随机游荡模型，这种模型是定义在一维整数格上的具有无穷多个内部自由度的离散时间量子随机游荡模型，可归于酉量子随机游荡的范畴.从文献[1]的结论可看出，该模型在特殊的初始态下，与经典随机游荡模型有相同的极限概率分布.因此，该量子随机游荡呈现了强烈的退相干效应.

本文组织结构如下.第一部分，主要回顾一些基本概念和事实.第二部分，给出了定义在Bernoulli泛函空间上的两类新算子，并研究了这两类算子的性质，利用这两类算子构造了一种量子随机游荡模型，给出了该模型在任意初始态下的态及其概率分布，证明了该量子随机游荡在某些特殊的初始态下的极限分布为正态分布，此结果与经典随机游荡模型的极限概率分布相同.

二、预备知识

本章先简单介绍Bernoulli泛函空间相关的概念、记号以及结论，详细内容可见文献[1].

Γ={σ|σ⊂,#σ<∞}，这里#σ表示σ中元素的个数.设n≥0是非负整数，则记Γn={0,1,…,n}.此处，当σ=∅时，约定maxσ=-1，否则maxσ表示σ中的最大数.

设Ω={-1，1}表示所有映射ω:{-1,1}构成的集合.以(ζn)n≥0表示定义在Ω上的典则投影序列，即对每个n≥0，投影ζn由ζn(ω)=ω(n),ω∈Ω来定义.

令I=σ(ζn;n≥0)，即I表示Ω上由序列(ζn)n≥0生成的σ-域.设(pn)n≥0是给定的正数序列，这里0

其中k,nj∈，εj∈{-1,1}(1≤j≤k)，当i≠j时，ni≠nj，因此，就能得到一个概率测度空间(Ω,I,P)，此概率测度空间(Ω,I,P)称为Bernoulli空间.

利用序列(ζn)n≥0可定义(Ω,I,P)上的随机变量序列：

因此，Z=(Zn)n≥0可看作离散时间的Bernoulli噪声.并且，我们还可以证明I=σ(Zn;n≥0)是由Bernoulli噪声(Zn)n≥0生成的σ-域.因此，我们把Bernoulli空间(Ω,I,P)上的随机变量也叫作Bernoulli噪声的泛函，简称Bernoulli泛函.为了简便，用In=σ(Zk;0≤k≤n)表示Ω上由(Zk)0≤k≤n生成的σ-域，其中n≥0，且I-1={∅,Ω}.

三、主要结果及证明

本节首先定义了两类Bernoulli空间上的单位算子，并讨论了这两类算子的性质.其次，利用这两类算子构造了一种量子随机游荡模型，考察了所给出的量子随机游荡模型的动力学性质，证明了该量子随机游荡在任意初始态下的态以及概率分布，该结果表明，本文所构建的模型具有强局部化性质.最后，证明了其在真空初始态下的极限分布为正态分布.

定义2.1对任意k≥0，在H上存在一个有界算子ϑk，使得

ϑkZσ=Zσk,σ∈Γ,

其中σk=σ{k}，且‖ϑk‖=1，称ϑk为差算子.

证明∀σ∈Γ有

ϑkϑlZσ=ϑk(ϑlZσ)=ϑkZσl=Zσ{k,l},

ϑlϑkZσ=ϑl(ϑkZσ)=ϑlZσk=Zσ{k,l},

同理可证，ϑkϑk=ϑk.

定义2.4设l2(Ζ,H)表示整数格上的离散时间量子随机游荡模型的态空间，其态由l2(Ζ,H)中的标准正交基线性表示，其时间演化满足方程

其中Φn表示该量子随机游荡在n时刻态，n≥0，特别地，Φ0表示初始态.

引理2.5设量子随机游荡的初始态Φ0∈l2(Ζ,H)满足：Φ0(x)∈Hn-1,x∈,其态序列(Φn)n≥0具有如下性质：

{Φn(x)|x∈}⊂Hn-1,n≥1,

Hn-1是前一段所定义的子空间.

上述引理说明，当量子随机游荡的初始态满足适当的条件时，其态序列满足某种“可料”性质.结合文章所给量子随机游荡模型和上述引理，我们利用数学归纳法，能够给出量子随机游荡在任意初始态下，各个时间态的具体形式.

定理2.6设量子随机游荡模型的初始态Φ0∈l2(Ζ,H)为：

这里f(σ)∈，且则对于n≥1就有

证明根据引理2.5，Φ0(x)∈Hn-1，x∈.

易见，当x∈{-1,1}时，Φ1(x)=0,

因此，定理对于n=1成立；

假设n=k,k≥1时，定理成立;

那么，当n=k+1时，x∉{2j-(k+1)|0≤j≤k+1}时，Φn+1(x)=0，那么

Φk+1[2j-(k+1)]

则当n=k+1时，定理成立；

综上，定理成立，证毕.

定义2.4中，通过函数x‖Φn(x)‖2，我们给出了定义在整数格上的一个概率分布，把它称为量子随机游荡在n≥0时刻，x∈位置的概率分布，这里，‖Φn(x)‖2表示在n≥0时刻，x∈处发现量子游荡者的概率.利用定理2.6的结论，我们就能给出了量子随机游荡在真空初始态下， 量子随机游荡的概率分布.

定理2.7设新模型的初始态Φ0∈l2(Ζ,H)如定理2.6中所示，则对于n≥1，就有

P{Xn=x}=‖Φn(x)‖2

证明这里我们直接利用定理2.6的结论.由于

并且当x∉{2j-n|0≤j≤n|}时，P{Xn=x}=‖Φn(x)‖2=0，证明完毕.

下面一个定理给出了量子随机游荡在真空初始态的条件下,量子随机游荡的态,该定理说明本文中的量子随机游荡模型具有很强的局部化性质.

则对一切n≥1，有

证明这里直接利用定理2.6的结论.取σ=∅，f(σ)=1，就有

得证.

定理2.9设量子随机游荡模型的初始态为真空初始态,当对于n≥1,量子随机游荡模型就有如下的概率分布

证明这里我们直接利用定理2.6的结论,由于

那么,当x=2j-n，0≤j≤n，时，

并且当x∉{2j-n|0≤j≤n}时,就有：P{Xn=x}=‖Φn(x)‖2=0，证明完毕.

下面一个定理给出了量子随机游荡模型在真空初始态下的极限分布.

上述定理说明，本文所给出的模型在真空初始态下的极限分布是标准正态分布，这与经典的随机游荡有着相同的极限分布.

四、总结与展望

本文定义了在Bernoulli泛函空间上的两类新算子,利用这两类算子构造了一种量子随机游荡模型,给出了量子随机游荡模型在任意初始态下的态以及概率分布,又给出了该模型在真空初始态下的态、概率分布以及其极限分布.在未来,我们可以考虑该模型在开放的量子系统中的表示，并且可以讨论该模型在一般初始态下的极限分布.