道路工程数值分析中无限元边界的应用

位可可，林 栋，卫 涛，涂慧慧，王笑风*

(1.交通运输行业公路建设与养护技术、材料及装备研发中心，河南 郑州 450000；2.河南省交通规划设计研究院股份有限公司，河南 郑州 450000；3.河南高速公路发展有限责任公司，河南 郑州 450052；4.河南高速公路发展有限责任公司信阳分公司，河南 信阳 464000)

道路工程动力响应分析中，大多数路面结构模型边界采用的是固定边界，即将无限域的路基路面人为截断并固定，动荷载产生的应力波传到固定边界时，将产生反射效应，导致路面结构模拟区域的计算结果具有一定的误差。因此，采用有限元数值模拟的方法研究道路工程动力响应问题时，如何用有限的道路结构模型模拟无限域路基路面，从而减小模型边界上应力波的反射就显得非常重要。

为了克服路面结构固定边界的缺陷，解决无限域模拟的问题，目前已发展了多种处理方法，比如设置远置边界[1]、黏性边界[2]、黏弹性边界[3]、一致粘弹性边界[4-5]、无限元边界[6-8]等；远置边界需设置足够远的边界，致使计算模型过大、计算效率低下；粘弹性边界、黏性边界及一致粘弹性边界的设置需要复杂的编程过程，且计算量较大，致使模拟结果的可信度降低；而无限元边界可以和有限元模型完美匹配，在模拟和近似模拟无限域问题方面表现出明显的优越性[9-12]。

张林成等[13]将有限元模型和无限元边界结合，实现了三维可控电磁法问题的快速求解；张天琦等[14]采用有限元-无限元方法模拟箱梁近场低频结构噪声，解决单独采用有限元法时声场边界反射的影响，避免了采用有限元-边界元方法时多软件交叉使用的不便；王永刚等[15]建立无限元边界的三维动力有限元模型，研究了移动荷载作用下弹塑性半无限空间的动应力分布；张龑等[16]通过引入“有限元-无限元”理论，建立了包含泄水建筑物、地基、周边场地土体以及无限半空间的有限元-无限元耦合模型，研究了多振源联合激励模拟方法，分析了高坝泄洪诱发场地振动的传播问题；ASHEGHABADI等[17]将无限元边界条件应用于地震作用下三维无界区域的物理和工程问题，结果表明，用无限单元边界来评价模型的抗震性能，可以很容易与有限元结合起来；肖晓等[18]提出一种新的2.5D直流电阻率有限元-无限元耦合数值模拟方法，研究结果表明，有限元-无限元耦合方法比传统有限元法能够在边界测点处得到更高的计算精度，在较小的计算范围内得到更优的计算结果。

上述成果可证明无限元边界已经广泛运用到有限元数值模拟各个领域，但在道路工程中有限元数值模拟对无限元边界的运用却很鲜见。本研究基于无限元边界和有限元模型相结合的方法，利用ABAQUS有限元软件建立移动荷载作用下路面动力响应的数值模型，分析无限元边界对反射波的吸收效果，为将无限元边界运用到道路工程有限元数值模拟中提供理论支撑。

1 基本原理

1.1 动力无限元理论基础

ABAQUS动力分析中无限元理论参考了Lysmer和Kuhlemeyer的研究成果。在涉及到无穷远边界的动力分析中，人工边界最大问题就是应力波会在边界界面上发生反射，从而能量传回分析网格，而实际上应力波会向无穷远处传播。无限元的理想就是将远场无限域划分为许多由人工边界伸展至无限远的单元，下面以一维波的传导进行说明。

(1)

式中：ρ为密度；E为弹性模量；x为轴向坐标。

上式的解答为

u=f(x±ct)

(2)

当波传导至有限元与无限元的分界截面上时，波的形式为u=f1(x-ct)，反射波的形式u=f2(x+ct)。可知边上的应力

(3)

在边界上设置一个阻尼边界条件

(4)

为了抑制应力波的反射，则有

(5)

d=ρc

(6)

理论上来看，边界阻尼参数选择合适，就可以模拟无应力波反射的情况。之后，Lysmer和Kuhlemeyer将其推广到三维空间中，得到

(7)

(8)

ABAQUS在无限元中考虑了以上阻尼的设置。

1.2 动力施加基本原理

在ABAQUS软件中运用无限元边界进行动力分析时，动力产生的应力波传到无限元与有限元交界处时无明显反射效应，应力波能量被无限域吸收；其中，动力荷载采用移动荷载模拟，即在道路模型上设置荷载移动带，并利用Fortran语言编写相关代码，实现移动荷载的加载，荷载移动带如图1所示。在荷载移动的过程中，当每一个荷载步结束时，荷载整体就会向行驶方向前移动一个矩形区域，即荷载作用面积逐渐由刚开始的1、2、3移动带到2、3、4区域，通过这种循环的方式逐步向前移动，其中荷载的移动速度可以通过每个分析步的时间来进行控制。

图1 荷载移动带示意图Fig.1 Diagram of load movement zone

2 无限元边界的数值模拟

2.1 模型的建立

利用ABAQUS有限元软件建立三维沥青路面模型，路面结构是由4种结构材料组成，分别为：面层(沥青混凝土)、基层(水泥稳定碎石)、底基层(水泥土)、压实路基，黄色部分为无限元区域，网格类型为C3D8，绿色部分为有限元部分，网格类型为C3D8R，并在沥青面层施加移动荷载，如图2所示；在道路表面选取4点，即无限元区域与有限元交界处A点、模型边界处B点及荷载施加区域C、D点，如图3所示。

图2 沥青路面模型Fig.2 The asphalt pavement model

图3 选点位置Fig.3 The location of the points

路面结构层均采用线弹性本构模型，其各层材料参数取值如表1所示。

表1 路结构材料参数Tab.1 The structural parameters of pavement

2.2 模型的计算结果

为方便、直观地区分施加无限元边界和施加固定边界的模型，现将两者计算后的模型外观进行对比，如图4～5所示。结果发现，施加无限元边界的道路模型四周及底部表面比较光滑，无封闭网格。

图4 施加无限元边界模型Fig.4 The infinite element boundary Model

图5 施加固定边界模型Fig.5 The fixed boundary model

1)模型边缘计算结果

提取A点、B点的位移、应力变化曲线以及路表位移云图，将无限元边界和固定边界计算结果进行对比，如图6～11所示。

从图6～7可以看出：当模型边界为固定边界时，A点的位移及受力呈现出波动现象，说明动荷载产生的应力波遇到固定边界发生了反射效应；模型边界为无限元边界时，A的位移随荷载时间的增加而不断地增大，无波动现象，这是因为荷载在移动过程中，不断产生的应力波相互叠加，且不受反射波的影响，或者是受反射波的影响，但反射波波幅较小，不足于影响A点的波动趋势；另外，A点受力达到峰值时会出现小范围的波动现象(图7红色箭头所指)，而后A点受力随时间的变化越来越小，这说明应力波遇到无限元区域和有限元区域交界处会发生反射现象，但反射力度不大。

图8～9表明：当模型设置为固定边界时，B点处于固定边界上，应力波传到固定边界时，应力波会发生发射，致使A、B点位移及受力出现波动现象；当模型边界为无限元边界时，B点处于无限元区域的最外围，即相当于路面结构无穷远处，其位移和受力始终为零，这是因为无限元区域会不断地吸收动荷载产生的应力波，且无限元区域与有限元区域交界处有小幅度的反射波，致使动荷载产生的应力波无法传播到B点，这也说明了在道路工程中施加无限元边界可以有效地减小应力波的反射，增加道路模型计算结果的精确度。

图6 A点位移变化曲线Fig.6 Curve of the displacement at point A

图7 A点Mises应力变化曲线Fig.7 Curve of the Mises stress at the point A

图8 B点位移变化曲线Fig.8 Curve of the displacement at the point B

图9 B点Mises应力变化曲线Fig.9 Curve of the Mises stress at the B piont

(a)5.6 ms时刻 (b)8.3 ms时刻 (c)11 ms时刻图10 无限元边界位移云图Fig.10 The nephogram of infinite element boundary displacement

(a)5.6 ms时刻 (b)8.3 ms时刻 (c)11 ms时刻图11 固定边界位移云图Fig.11 The nephogram of fixed boundary displacement

图10～11表明，当路面模型施加无限元时，移动荷载作用下路面产生的应力波传播到无限元区域与有限元区域交界时，应力波不能继续向模型边界传播；而当路面模型施加固定边界时，应力波可以传播到模型边界，再次印证了无限元有效地吸收了动荷载产生的应力波。

2)荷载施加区域计算结果

现提取路面C和D点位置的位移变化曲线，如图12～13所示。

图12 C点位移变化曲线图Fig.12 The displacement curve at point C

图13 D点位移变化曲线Fig.13 The displacement curve at point D

在实际状况下，移动荷载在逐渐接近C和D点时，C和D点的位移量会增大；当移动荷载移动到C和D点时，该两点的位移量达到最大值；随后移动荷载远离C、D两点位置，C和D点的位移量会慢慢地减小。该过程的变化趋势与图12～13中施加无限元边界模型时的位移变化趋势基本吻合。然而，路面模型边界为固定边界时，移动荷载在接近和远离C和D点的过程中，其位移量都会出现波动现象(如图12～13箭头所示区域)，这是因为移动荷载产生的应力波遇到固定边界会发生反射，致使路面结构位移出现波动，与实际状况严重不符。因此，在道路工程数值模拟领域中，对路面结构四周及向下延伸的路基施加无限元边界十分必要。

综上所述，当应力波传播到无限元区域和有限元区域的交界处时，应力波大部分的能量被吸收掉，小部分能量被反射，减小了反射波对路面结构动力响应的影响，使路面结构的受力状况更加接近真实。

3 结论

在道路工程动力数值模拟的基础上，引用了无限元边界，提出了利用无限元模拟道路工程无限土体及路面结构的方法，并验证了以下内容：

1)动荷载产生的应力波遇到固定边界时会发生反射，严重影响路面结构的受力状况；

2)无限元区域会吸收动荷载产生的应力波，致使无限元区域远端位移及受力始终为零；

3)动荷载产生的应力波传到无限元区域与有限元区域交界处时会发生反射，但大部分会被吸收掉；

4)道路工程在动力数值模拟中施加无限元边界，路面结构的受力状况更接近于真实状况。

文中虽然验证了无限元可以吸收动荷载产生的应力波，但是没有具体地分析无限元对应力波的吸收率，建议后续研究无限元的吸收率以及考虑改进无限元的方法，增加无限元对应力波的吸收率。