六维度深层教学 指向思维的发展*——以“平方差公式”教学设计为例

541006 广西师范大学数学与统计学院 周 莹 陈基河 李欣欣

100875 北京师范大学数学科学学院 Tommy Tanu Wijaya

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出，数学课程内容要符合学生的认知规律，不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法[1].而数学公式作为数学知识或数学思想的一种表征形式，反映着事物内部和外部之间的内在关系，是帮助更好认识世界和表达世界的重要载体.但是，长久以来，公式教学的教学过程常常流于浅表化，存在“满堂灌”或“满堂问”的现象.停留在“教教材”“讲教材”的道路上[2]，不利于学生在数学学习上获得进一步的发展.自提倡新课改以来，以思维发展为主的认知发展促进深度学习的有益实现，是教育关注的焦点[3].如何结合学生已有知识经验与教材对课程知识的安排进行有效的数学教学，是当下亟需解决的问题.基于以上思考，在数学课堂中需要从学生认知特点和学习规律、学科特点及知识的本质出发，着重体现公式教学的层次性和连贯性.笔者尝试以“六何”认知链为主线，对平方差公式的课堂教学进行设计.

一、“六何”认知链的含义

“六何”认知链作为一条以思维发展为主的教学策略，注重思维的整体性和发展性，围绕学生的最近发展区进行任务驱动式教学.该教学策略在概念课中通常以“从何—是何—与何—如何—变何—有何”的顺序进行[4]，此认知链的具体内容如图1所示.

图1 “六何”认知链的教学设计过程

“从何”即知识的由来，基于新的情境或者任务驱动，从而孕育出新的解决方案，是激活新知的起点.“是何”即新知的本质是什么，厘清其构成要素与各要素之间的关系，促进概念的生成.“与何”即新旧知识的对比探究，在已有知识上为新概念提供固着点，搭建衔接新旧知识的桥梁.“如何”即新知的运用，是检验教学效果的关键一步，从问题解决与课堂反馈等途径检查学生的学习效果.“变何”即对新知进行变式拓展，在初步运用的基础上融入数学思想、数学方法，继续强化对概念、方法、知识本质的认识.“有何”即学习的获得与反思，从课堂教学环节、知识理解、遗存问题进行总结回顾，为已有的知识体系绘制新的图式，提升思维的逻辑性和系统性[5].

二、课例背景

在人教版《数学》八年级上册的教材中，平方差公式是学习整式乘法后的第一个数学公式，是整式乘法的延续，对后续学习完全平方公式起着重要的铺垫作用，也为因式分解奠定了公式法的基础.“平方差公式”一节不仅给出了特殊形式下的多项式相乘的简便算法，且为以后理解因式分解、化简分式、分母有理化、解一元二次方程等内容提供了有益参考(如图2所示).

图2 平方差公式与其他知识的关联图谱

三、基于“六何”认知链的教学设计

(一)精准“从何”，唤醒新知

知识“从何”而来一直是学生在学习阶段面临的一大困惑，为解决这一难点，有效调动学生思维，笔者设计了以下四道题目，从同是两个二项式相乘得到的项数却不同的角度，引发学生思考.

(1)(x+1)(y-2)=________；

(2)(m+n)(m+2n)=________；

(3)(a+2)(a-2)=________；

(4)(2x+1)(2x-1)=________.

问题1每道题计算后得出的结果各有多少项？

问题2第(3)题、第(4)题与第(1)题、第(2)题的等式左右两边的组成有什么区别和联系？

问题3怎样的两个二项式相乘得到的结果是两项？它们有什么特别之处？

设计意图：从一般情形到特殊情况的探究过程，是数学学习和数学研究中常用的处理方法，亦是知识“从何”而起的一大基石.基于乘法公式对两个二项式进行计算，得到的结果呈现出不同的项数，引起对二项式进行特殊化处理，从而简化计算过程的思考.在体会项数发生变化的同时，产生研究对象(a+b)(a-b)=a2-b2，有利于培养学生从数学角度发现问题和提出问题的能力.

(二)思考“是何”，探清本质

从特殊多项式抽象出公式后提问：这个公式有什么特别之处？它可以代表什么？怎么证明？为拨开公式的神秘面纱，在“是何”这一维度设计以下三个问题.

问题1公式(a+b)(a-b)=a2-b2左右两边的字母a,b有什么特点？

问题2公式中字母a,b可以表示哪些代数式？

问题3你能否用几何方法证明(a+b)(a-b)=a2-b2？

设计意图：探究“是何”有助于学生更好理解学习内容的本质及其特征所在.问题1从符号语言转到文字语言，是对平方差公式的第一次语言转化，在观察、归纳的同时，培养学生用数学语言总结和表达的能力.对于问题2，由于实际运用中字母a,b可以是数字、单项式、多项式等，因此需要从部分与整体的视角看待字母a,b的特征，挖掘公式蕴含的一般性和代表性，并从中领略此公式结构的不变性，以及字母a,b在可变性中体现的代数代换精髓[6].问题3从符号语言转到图形语言，是本节课的第二次语言转化，顺应着数学知识表征方式的变化，从数形结合的角度，引导学生在学习中实践再实践、认识再认知[7]，促进深度学习的发生.

(三)辨析“与何”，承前启后

为把握知识的逻辑脉络，体现温故知新的学习思想，在已有知识经验基础上，对新学知识进行多层理解.在“与何”这一维度，设计以下探究性问题.

问题1回顾单项式与多项式相乘、两个多项式相乘的证明过程，说说它们和平方差公式证明过程的区别和联系.

问题2你能否添加不同的辅助线来证明平方差公式？

设计意图：“与何”注重从知识的连贯性视角出发，辨析新旧知识的关系.承接教材利用拼图、面积转换计算的方式验证单项式乘以多项式、两个多项式相乘的思路.在学习完全平方公式时，也可沿用拼接图形的方式证明完全平方公式.而掌握多种添加辅助线方式对同一图形进行重新组合，可以培养学生的等价转化思想，从而提高学生思维的灵活性，积累数学活动经验.基于树状思维，当某一现象发生变化时，不一定只能从A路径进行演变，还可能存在向B路径甚至更多路径演化的可能性.问题2启发学生运用不同的切割、拼补方式证明平方差公式，是寻求多路径演化的一种有效方式，让学生在不同的图形组合方式中走向对数学公式的深层理解.引导学生从系统的角度认识整式乘法的符号语言和图形语言之间相互交织、互为表里的关系.

(四)深化“如何”，思行并重

学而不思则罔，思而不学则殆.为促进对知识的学以致用，在习得的基础上，通向对知识的深层理解，在“如何”这一维度设计以下练习.

练习1完成表1.

表1

练习2阅读教材108页例1、例2内容.

问题1为什么3x,-x,2y要先添加括号，再平方？

问题2例2的小问(2)中的100是怎么来的？

问题3为什么102×98要写成(100+2)×(100-2)，而不是(110-8)×(90+8)？

练习3用平方差公式计算以下题目.

(1)(a-3)(a+3)；

(4)79.8×80.2.

设计意图：设计“理解+归纳+实践”的练习方式，开展“如何”这一维度的教学环节，完善从一般多项式相乘到特殊多项式相乘的思维转变.在理解公式的基础上，对练习1的习题进行判断，帮助学生经历观察、对比等过程，识别平方差公式的结构和特征.通过练习2、练习3，学生能够在式子变动的状态下，保持对“知识对象”的正确认识和判断，在解题过程中萌发意识并发现“隐含的知识”，从而可以正确地应用、完成有关的解题步骤.

(五)感悟“变何”，拓展思维

“以简驭繁，以不变应万变”是应用数学公式解决问题的一大优势.在厘清知识的特征及其应用之后，为使学生继续感悟其多重变化，在“变何”这一维度设计以下拓展习题.

(1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)；

(2)(2+1)(4+1)(16+1)(256+1)+1；

(3)(3+1)(9+1)(81+1).

问题1为什么第(2)题要先写成(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的形式？

问题2为什么第(2)题要在前面补上(2-1)？

问题3解答第(3)题时，可以直接计算(3-1)(3+1)(9+1)(81+1)吗？

设计意图：“变何”旨在拓展学生的视野，化解思维难点.通过前面四个维度的学习，学生已经积累一定的学习经验.设置拓展题，使得在多个多项式相乘中感受平方差公式蕴含的多米诺效应，领会数学的简洁美.让学生明确同一知识在不同情境中的要求及其对应关系，提升学生分析问题的能力，培养学生思维的灵活性.

(六)盘点“有何”，构建认知

为了解学生在历经前面五个维度的教学之后有哪些收获，存在哪些不足，在“有何”这一维度设计反思回顾.

问题1通过本节课的学习，你有哪些收获？

问题2能否借助思维导图或图表，将你学到的知识记录下来？(如图3所示)

图3 反思学习收获的思维导图

问题3你还有哪些疑惑？

设计意图：“有何”作为课堂教学环节的最后一环，承载着为课堂画上完美句号的作用.数学学习既要知其然，更要知其所以然，通过问题1至问题3回顾本节所学所悟，化知识为智慧，积思想为阶梯，积极完善自我认知框架的构建.在对知识的转化的同时，强化自我评价、反思和管理的意识[8].

四、评价与反思

(一)把握知识生长之路，螺旋上升式教学

平方差公式是引导学生对特殊多项式相乘的规律进行探究的起始课，对思考多项式的组成与其结果的关系，掌握知识与方法、数学思想等方面均有促进作用，其具有的简洁美和形式美亦是激发学生探究数学的一大优势.在“从何”这一维度，注重让学生经历从一般到特殊的研究方法，围绕两个二项式相乘的结果中项数发生变化与二项式的特征展开教学，引发对二项式的结构进行探索、思考，在复习旧知的同时激发出新知，体现温故知新的深刻寓意.在“是何”这一维度，强调平方差公式中a,b所代表的广泛含义，可以多次回顾已有的知识经验，为新图式的构建关联更多的节点.在“与何”这一维度，通过对比分析整式乘法与平方差公式的图形证明的过程，从系统的视角看待数量、算式、图形三者之间的有机联系.至此，可以看出“从何”“是何”“与何”这三个教学环节在顺应教材知识逻辑脉络的同时，注重知识的迁移应用，进行螺旋上升式教学.

(二)学为中心，创建高效课堂

为适应未知世界的机遇与挑战,学习者必须获得对概念更深层次的理解[9].深度学习是师生在教与学的过程中相互耦合、共同收获智慧的经历.深度学习将教学目标指向学生的思维发展，指向增进学生的深度理解.

本教学设计在“如何”这一维度的练习1中，基于变位置、变系数、变符号、变次数、变项数的变式训练，提高学生从不同角度对问题做出综合分析，加深对典型问题的理解与辨别能力.在练习2中，教师向学生提问.为什么要在计算过程中添加括号？100是如何出现的？能不能将102×98拆成其他形式？在讲解教材习题的同时，通过层层追问的方式，将逻辑的火花引向运用公式计算的基本步骤和注意事项，深入挖掘其变形背后的隐藏含义.在“变何”这一维度，设置拓展题，将一般式子与变次数的式子结合在一起，构建新的算式.通过新掌握的工具——平方差公式，将看似难以计算的式子抽丝剥茧，逐步剥去其伪装，终显其本来面貌，让学生体会平方差公式的形式美和简洁美，发展学生由此及彼的联想思维，使学习的境界更上一层楼.最后，在“有何”维度，旨在通过概念图或者思维导图的方式，细数学习的收获，盘点自身的成长.将抽象的知识具体化、逻辑化，构建自身认知的同时，也是将学习与评价相结合，及时调整和改进后续的学习状态、学习策略等.由此可见，在设计教学过程时，对于“如何”“变何”“有何”这三个教学环节，应注重以学为中心，通过解决一系列相关问题来学习数学知识、获得数学技能、提升学习效率，提升数学素养与综合能力，在有效的时间内提升学习的效率.最后再通过元认知策略进行学习反思，加深对新知的内化与理解.

教学的生命在于教学的有效性[10]，“六何”认知教学认知链的各个组成要素之间紧密联系、环环相扣.一方面，这六个维度教学设计很好地体现了教学的连贯性与系统性，有助于课堂教学的顺利开展.另一方面，“六何”认知链遵循知识的成长路线与认知心理发展路线，利于从浅层学习走向深度学习，促进学生的思维发展.