基于课例研究的高校教师教学素养提升路径初探——以线性代数微型课例的三次改进为例

张波，张云

（扬州大学a.教育科学学院；b.数学科学学院，江苏扬州 225002）

近年来，基础教育各级各类的教师培训都尝试将课例引入培训专题内，但在高校，这一在基础教育阶段被大量实施的教师发展途径却鲜少使用［1-2］。在高校教学和科研的重心难以平衡的今天，教学改革如果离开了教师的课堂教学变革，终将成为一句空话。那么，可否借鉴基础教育教师的专业发展模式来提升高校教师教学素养呢？本文以线性代数的教学课例研究为基础，展开讨论。

一、课例背景

线性代数是理工科的一门重要公共基础课程。当下学生学习线性代数普遍存在只注重对结论公式的死记硬背和套用、不会灵活运用新知识解决新问题等现象。这些现象和问题的存在表明传统的教学模式没有充分地调动学生的主观能动性。行列式作为线性代数中的一个重要概念，一方面，在处理方程的个数和未知量的个数相等的线性方程组的公式解方面厥功至伟；另一方面，也是处理方阵有关问题的一个重要工具。本课例是在已学习过二、三阶行列式的定义之后，通过分析二、三阶行列式所表示的数和对应的数表之间的本质联系。

二、课例的三次改进

（一）第一改，从学术形态到教学形态

高校教师大都受过颇为系统严谨的科研训练，擅长论文式的“从因到果”的叙述习惯。他们在讲课时倾向于把需要的引理、前置定理、条件都一一厘清，然后按照十分清晰的逻辑推理得到需要的结论。然而，教学过程往往正是做和演绎推理相反的工作。这些结论教材上都有了，学生恰恰需要教师在思维发展上、在问题解决层面，或是数学内部推进，或是实践需求的推动等视角来讲清楚这些内容的来龙去脉。因此，第一改，就是打破了设计者原有的几乎和教材类似的陈述方式，改由问题驱动的形式进行教学内容的设计。

教学设计提出了以下问题：

1.如何将三阶行列式的概念推广得到n 阶行列式的概念？

2.从形式上来看，要完成推广，是否应该先将三阶行列式所表示的和式用求和符号表示出来？

3.如何表示？

对设计后的课堂进行分析，基于不同版本的线性代数教材，可知与其生硬地引导学生做形式上的推广，还不如引导学生自主探究三阶行列式所表示的和式和确定该三阶行列式的三行三列的数表之间的本质联系，这一本质联系开启了从三阶行列式概念推广到任意阶行列式概念的大门，较为直观地剖析了原本极不直观，甚至有点怪异的三阶行列式的概念。具体来说，引导学生探索并完成下列三个问题：

1.每一个求和项的构成？

2.三阶行列式式中求和（代数和）项的项数6 本质上代表什么？

3.每一项前面的符号如何确定？

（二）第二改，从是何到为何

第一次个人备课完成后，教师在实际课堂中进行了教学实施，并由学院金讲台奖获得者、省教学名师的等专家组成的听课小组跟堂听课。从教师个人角度看来，课堂推进顺畅很多，对行列式概念的剖析也比较到位。但有听课的教师指出这一教学设计并没有解开学生心中的疑惑：为什么要如此抽象地定义行列式的概念？为什么不将三阶行列式的对角线法则进行推广，一次得到阶行列式的概念？课后对学生的访谈也验证了同行教师所提出的疑惑，学生表示“为什么不推广呢？毕竟，对角线法则相对直观。”但这是否是教学需要解决的关键的问题呢？设计者认真阅读了弗赖登塔尔《作为教育任务的数学》［3］，深刻认同教师必须在学生数学现实的基础上进行教学。事实上，从逻辑上可以讲通的课从学生学习的角度来说，未必是自然的。教学的有序推进不仅要求教师考虑逻辑顺序，还要考虑学生的学习心理顺序，据此来决定自己的教学活动顺序。因此，教师必须在自己的教学设计中着力考虑这一问题。

听课的专家教师提及，他的做法是告诉学生行列式概念的起源于线性方程组的公式解。如果用对角线法则来定义四阶及四阶以上的行列式，那么便不能用行列式的语言给出方程的个数和未知量个数相等的线性方程组的一般结论：当系数行列式不为零时，该方程组有唯一解。基于这一课堂教学的观摩、讨论和反思，设计者进行了第二轮教学实践，构造了线性方程组，用直观的例子回答了为什么不可以用对角线法则来定义四阶及四阶以上的行列式。课后访谈表明，学生对于这一知识点不再有“为何不顺势而为”的困惑了。

（三）第三改，例题的精选和重置

通常教材会有与教学内容对应的教学例题、习题供教学使用。但针对特定的教学对象，这些习题是否能起到巩固知识、提升解决问题的能力，发展思维水平就需要教师进行反复斟酌。在实际教学中有同行提出，“用定义计算这一行列式而且计算相对烦琐。这个选题是否容易喧宾夺主，分散学生注意力？这节微课的主要教学目标是巩固行列式概念。”设计者一边思考这个问题，一边返回去阅读相关书籍［4］。关于例题教学的论述在中小学阶段讨论得比较多，其教学原理是相通的。既然是数学课堂教学极为重要的部分，那么就必须考虑其有效性。为使例题的难度符合教学目标，不若让学生直接计算行列式中指定的某些项。这样的改动体现了例题的教学要求，巩固了概念，也为后续对于该类变式问题的解决奠定了基础，体现了例题教学的发展性。

三、对课例持续改进的过程性反思

（一）课例的改进流程

课例研究的过程借鉴了顾泠沅针对中学教师的校本教研给出的模式［1］。

图1 教师的三次备课和两次反思

从上图可以看出，教师课例研究周期过程经历了三次备课、两次反思。由于高校公共课往往在一个学期中有较多同一内容的授课机会，教师可以在第一次自己独立备课的基础上，进行多轮教学实践。为了增加每次授课后的反思修正效果，还可以采用模拟授课来进行自我调整。在一个周期的实践和反思结束后，教师需要重构教学设计，既作为阶段性课例研究的成果，也作为下一个阶段的课例研究的出发点。

（二）课例改进中的教师自我

高校教师通常对自己的专业知识有精深的理解，甚至在从事某个学科的研究前沿工作。因此，从教师专业知识发展的角度来说，他们最需要补充的不是学科知识，而是关于内容的教学性知识，关于学生建构某内容的学习心理的知识，关于教育本质的人文的、哲学的知识［5］。因此，教师在进行第一次个人备课时，不仅需要在内容上解构教学内容，更需要充分调动自己所有的关于教学的理解，将所教内容从学术形态转化为教学形态。对于一些没有经历过师范训练的教师而言，这也是有意识地提升自己教学基本功的一个阶段，可有针对性地练习讲解、提问、板书、反馈、总结等。

这个阶段是教师全力自我成长的阶段，开始从自己出发设计课堂教学。在经历与外界的交流磋商之后，教师还是需要回到自我原点，对自己原有的认知结构、行为模式做出调整。自我的全身心投入是这一模式取得成效的先决条件。

（三）课例改进中的专家引领及同行评议

课堂教学实践可以让教师及时反思自己的教学设计是否能有效推进教学活动，是否促使学生在行为、认知和情感上的深度参与。这种反思是必需的，但教师更需要得到有效而及时的支持，他所遇到的困境往往并不是通过个体反思就能解决的。比如上述课例中，其他同行教师会谈论自己做法和想法并解释自己何以这么做。专家引领［6-7］和同行互助［8-9］的作用已经在项目研究或其他学段和学科中得到了论证。因此，和专家的对话、和同行的讨论能够让教师直面所遇到的困境，并得到一些可供参考的解决路径。教师第一时间就能突破自己原有的知识盲区，甚至在对话中产生了双方原有都不具备的新的认知，从而感受到自身的进步和发展，这对高校教师来说是极为重要的个体经历。

这个阶段是教师摆脱原有认知束缚，打开课堂、打开内心的重要阶段。因此，有一个开放、民主、和谐的教学团队是至关重要的。

（四）课例改进中的理论指导

究其本身，课例的改进是一个微型研究过程。因此，有需要解决的问题，也必有解决问题所需的研究方法和理论指导。专家教师并不总能提供有效的解决方案，因此，教师还需进行文献研读。不少教师在做科研时能够熟练利用文献来为自己的研究做基础、做框架、做指导，而在教学时则忽略了查阅和研读文献。事实上，教学中遇到的问题往往并不是全新的问题，前人可能已经就此进行了深入的研究，甚至已经发展出了相应的理论。高校教师相对来说学习能力强，也受过比较系统的科研训练，一旦认识到教学的研究性特征［10］，就能在课例改进的过程中不断通过文献的梳理来进一步指导自己的教学实践，实现与自我的对话、与实践的对话、与理论的对话，从而提升自身的教学素养。这无疑有利于教师自身科研与教学的协同发展［11］。

因此，高校教师进行课例研究的本质是教学观的根本性的变化。这是将课堂作为研究对象，引入科研的方法，对教学的内容、对象方法、评价等做全面研讨的过程，也是将通常由教师单打独斗来完成的大学课堂教学提升至教学共同体教研的过程。在此过程中，教师在自身的教学观、学生观、教学理论知识、教学实践性知识、教学的基本功等方面都得到了明显的改善。

四、课例研究推动高校教师教学素养的提升

当前，我国高校教师在专业素质发展上存在着诸多不均衡，如果一味将教师放入空泛而宏大的教学目标变革和“口号式”的思想转变中，教师会看不到改革的着力点、切入点，也很难在微小的课堂教学改进中体会到教学改革的成就感。有学者，如曲铁华等，指出提升以教育教学能力为核心的教育专业化水平应成为高校教师专业发展的重要取向［12］。论文中所给出的课例研究不仅可以帮助准备教学竞赛这种非常态教学形式，其更重要的意义在于可以成为高校教师常态化教学的自觉行动。以教研室或者学科方向为基础团体，构建基于高校背景下的教学研究共同体，以课例研究为载体，切实提高青年教师的课堂教学水平。在实施的过程中，院校必须关注以下要点：

（一）强调教研共同体的建设和个人的全力参与

高校教师大都没有常态化集体备课活动。学校组织的教资培训通常以理论学习为主，而缺乏能够结合某学科内容的更为细致和深入的指导。如果学院能够从制度上倡导和保障教研共同体的建设，将之建设为类似学科研讨班类似的组织，从经费或空间上给予支持，就可以强有力地促进课例研究工作的展开。另一方面教师自身能否全身心地参与决定了课例研究的成败。作为教师，教书育人是基本的职业操守，是最基本的工作内容，这需要教师从思想上认识到提升自身教学素养的重要性。

（二）强调课例研究的规范性

有些高校教师教学能力的提升主要依靠经验积累，这是一个认识上的误区。教学是教师和学生群体之间进行的极其复杂的活动，教学“研究”是不仅仅教育专家的事，而是教师在日常教学中每天都要面临的艰巨任务。以“研究者的视角”来看待自己的课堂教学改进是必须遵循的重要原则。教师在改进自己的课堂教学时，不应盲目追求教学形式上的变化，而应发现课堂教学中的实际问题。真正的改进是由问题出发，寻找解决问题的方法，从理论和实践层面去论证所给出方法的有效性，进而得出结论。课例研究的过程就是发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的典型科研过程。高校教师要将自己在专业领域内的科研精神、科研规范迁移到教学工作中来。

（三）切实重视理论的作用

尽管教学理论相关学习并非教师教研的目标，但的确是改进教学不可缺少的一环。教师除了从现有的理论中获取指导和提示之外，更需要在每一步的教学改进中做到有据可依。比如教学目标的设定是否合适？学生何以出现困惑？这需要对学科内容本质的解构，需要学习心理的支撑。比如通常课堂上处理这一问题的方法是什么？这样的教学设计改进别人从来没有做过，那么在理论上是否能找到印证？这些都需要教学论的指导因此，理论在真实的课例改进的研究中无处不在。院校可以组织“一个月读一本书”活动，让教师有意识地将理论的学习融入自己的思维和行动中，并逐渐成为一种习惯。