合理运用点的坐标 顺解反比例函数面积问题

冯俊 王芳

【摘要】 反比例函数面积综合问题是历年中考的重点内容，也是考查难点.本文通过对2021年各省市中考真题的研究，合理利用点的坐标，寻求常规方法，解决反比例函数的综合问题，总结解题规律.发现从点的坐标过渡到线段长度，最后到达图形面积这一过程中，体现思维拓展，发展几何直观.

【关键词】 反比例函数；点的坐标；线段长度；图形面积

1 模型思想

平面直角坐标系中图形面积的基本模型是三角形的面积问题，通过点的坐标表示线段的长度，进而体现三角形的面积是常规手段，也是最好的方法.

思路如下：点的坐标——线段长度——三角形面积——几何图形面积.

2 真题研究

例1 如图1，点A，B在反比例函数y=kx（x>0）的图象上，延长AB交x轴于C点，若△AOC的面积是12，且点B是AC的中点，则k=.

解 不妨设点A，C的坐标分别为A（a，b），C（c，0），

根据中点坐标公式发现点Ba+c2，b2，

因为点A，B均在反比例函数图象上，

则

ab=a+c2·b2，

化简可得c=3a.

由△AOC的面积是12可得

12cb=12，

所以32ab=12，

于是ab=8，

所以k=ab=8.

解题的主要步骤是确定A，B，C的坐标，进而表示线段OC的长度以及△OAC的面积.

例2 如图2，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点，△AEF的面积为1，则k的值为（  ）

（A）125.（B）32.（C） 2.（D） 3.

解 不妨假设点A（a，0），B（b，0），C（b，c），D（a，c），F（b，d），

根据中点坐标公式发现点E为a+b2，c2.

因为点D，E，F均在反比例函数图象上，则

ac=a+b2·c2=bd，

化简可得b=3a，d=13c.

由△AEF的面积为1可得△ACF的面积为2，

即12（c-d）（b-a）=2，

所以12·23c·2a=2，

即ac=3，

所以k=ac=3.

本题的解决过程中会发现开始出现四个字母，很多学生都会选择知难而退；但是经过反比例函数的定义运用会发现四个字母之间存在着两个重要的等量关系式：b=3a，d=13c；再结合三角形面积找出ac的值即可得解.

例3 如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A在双曲线y=-3x（x＜0）上，点C，D在y轴的正半轴上，点E在BC上，CE＝2BE，连接DE并延长，交x轴于点F，连接CF，则△FCD的面积为（  ）

（A） 2（B）32.（C） 1.（D）12.

解 不妨假设C（0，m），D（0，n）；

依题意易知

A-3n，n，B-3n，m，

因为CE＝2BE，

则E-2n，m，接下来求OF的长度.

方法1  三角形相似

根据题意易知 △DCE∽△DOF；

那么ECFO=DCDO，

即2nFO=n-mn，

化简得FO=2n-m，

于是△FCD的面积为

S=12FO·DC=12·2n-m·（n-m）=1，

故答案为（C）.

方法2 一次函数

假设直线DE的表达式为

y=kx+b（k≠0），

代入两点D（0，n），E-2n，m，

于是y=n2（n-m）x+n，

那么點F的坐标为F2m-n，0，

于是△FCD的面积为

S=12FO·DC=12·2n-m·（n-m）=1.

本题的解决同样是表示点C，D，F的坐标，再确定线段OF，CD的长度，从而确定△FCD的面积.

反思 通过几道中考真题的探究发现，寻求最常用的通法才是解决问题的关键.从点的坐标表示入手，到线段的长度表示，最后到几何图形的面积确定.都是最为常规的解题方式，没有高明的技巧，有的只是通解通法.