非概率可靠性优化方法在机翼结构优化中的应用

□ 宋利锋 □ 陈振鸣

1.中国长峰机电技术研究设计院 北京 100854 2.北京航天情报与信息研究所 北京 100854

1 研究背景

基于可靠性的结构优化设计是不确定性结构优化设计的最合理途径,传统的概率可靠性理论和技术已在结构优化设计中得到成功应用[1-2]。但是,随机可靠性优化要求具有足够的数据,同时难以处理模糊信息。在实际工程中,要获得足够的数据来描述变量的概率分布,通常较为困难,尤其是在结构设计阶段。另一方面,传统的结构模糊可靠性问题主要基于模糊概率求得模糊可靠度,同样需要有足够的数据[3-4]。由此可见,非概率可靠性模型处理结构优化设计问题有很大优势[5-6]。

当前,工程优化问题越来越复杂,往往涉及非常耗时的数值分析模型,使传统的优化方法在效率方面无法满足设计需要。使用代理模型来代替实际仿真模型,是一种有效的降低计算成本的方法,也被称为元模型。早期,多项式响应面模型被大量应用于工程设计。随着计算机技术的发展,人们提出更精确的代理模型,如克里金模型、神经网络,以及一些混合模型等。通过代理模型,能极大程度提高优化效率。代理模型是逼近局部或全局最优解的优化机制,已逐步在气动优化设计、结构优化设计、飞行器设计领域发展为最实用、最流行的优化方法[7-8]。

笔者介绍非概率可靠性优化方法在机翼结构优化中的应用,在非概率区间体积比可靠性模型的基础上建立含模糊—区间变量的体积比可靠性模型,以可靠度指标为约束条件,建立机翼结构优化数学模型,使用Isight优化设计软件,集成Matlab编程软件,采用拉丁超立方试验设计,构建机翼结构二次响应面,对机翼结构进行优化设计,计算效率得到较大幅度提升。

2 模糊—区间变量非概率可靠性模型

(1)

(2)

(3)

进行标准化变换,有:

(4)

(5)

(6)

由基于体积比的可靠性理论[9],对应式(1)的非概率可靠度指标R(α)为:

R(α)=V(α)s/V(α)t

(7)

式中:V(α)s为安全域体积;V(α)t为总体积。

满足条件:

=G(α,δ1,δ2,…,δn)=0

(8)

由此,结构的可靠度R可以表示为可靠度指标在截集水平区间的积分形式:

(9)

3 结构优化数学模型

结构优化一般可以描述为:

Findx∈Rt

minfk(x)k=1,2,…,m

s.t.gj(x)≤0j=1,2,…,l

(10)

式中:x∈Rt为设计变量;fk(x)为目标函数;gj(x)为约束函数。

对于存在不确定参量的机翼结构,一般而言fi(x)和gj(x)与不确定参量有关。

当不确定参量仅影响约束时,类似于随机可靠性优化,机翼结构的单目标可靠性优化问题可以描述为:

Findx∈Rt

minf(x)

s.t.Rd(x,p)≥Rmind=1,2,…,s

(11)

4 试验设计方法

试验设计是近似技术的重要组成部分。试验设计关系到如何安排试验才能以最少的试验次数最真实反映设计对象随设计变量的变化趋势,这对于分析耗时、变量之间关系复杂的飞行器设计而言是一个非常重要的问题。

拉丁超立方试验设计采用等概率随机正交分布原则来生成均匀样本点,具有样本记忆功能,能够避免重复抽取已出现过的样本点,抽样效率较高,可以使分布在边界处的样本点参与抽样,在抽样较少的情况下获得较高的计算精度[10-11]。

5 响应面技术

响应面技术将试验设计与数理统计相结合,对指定的设计点集合进行试验,在设计空间构造测定量的全局逼近,根据目标函数的响应面模型来预测非试验点的响应值。设计变量为因素,设计目标和约束为响应,响应面关系的一般形式表示为:

y=f(x1,x2,…,xt)

(12)

响应面近似函数通常用多项式表示,如果有ns次试验设计分析,那么响应面模型具有以下形式:

p=1,2,…,ns

(13)

则多项式因数的数量nt为:

nt=[(t+1)(t+2)]/2

(14)

为估计回归因数,需要进行ns次试验,ns大于nt,则此估计问题可以用矩阵形式表示为:

Y1≈XC

(15)

Y1=[y(1),y(2),…,y(ns)]T

(16)

(17)

式中:Y1为ns次试验响应面函数矩阵的转置矩阵;X为ns次试验设计变量矩阵;C为回归因数矩阵。

式(15)的最小二乘法解矩阵形式可以表示为:

(18)

6 应用

6.1 机翼结构有限元模型

笔者应用非概率可靠性优化方法对某支线客机机翼结构进行优化。机翼半展长为14.6 m,采用双梁式结构。机翼的主要承力部件包括蒙皮、前后翼梁、长桁、翼肋,梁、肋、蒙皮等采用两种材料制作,材料属性见表1。

表1 材料属性

表1中,密度、弹性模量是不确定的区间参数,两种材料的密度分别取为[2 600 kg/m3,3 000 kg/m3]、[2 600 kg/m3,2 900 kg/m3],两种材料的弹性模量分别取为[70 GPa,72 GPa]、[71 GPa,74 GPa]。考虑载荷的不确定性,在某种飞行工况下,载荷的变异因数设为0.1,两种材料的屈服极限r1、r2均为模糊变量,其隶属函数分别为:

(19)

(20)

机翼结构的有限元模型如图1所示。

▲图1 机翼结构有限元模型

6.2 数学模型

以机翼结构质量最小为设计目标,考虑结构中存在模糊—区间不确定参数,建立优化模型。设计变量包括翼根和翼尖蒙皮厚度、翼根和翼尖长桁截面面积、加强肋和普通肋缘条截面积、翼根和翼尖梁腹板厚度、翼根和翼尖梁缘条截面积。

优化设计变量使设计目标得到改善,但必须满足由设计要求确定的约束条件。要求机翼各部件满足强度准则,翼尖相对垂直变形不大于1.46 m。另外,基于可靠性的优化设计,强度可靠性应满足要求。

机翼结构优化数学模型为:

FindAg∈Rmg=1,2,…,6

Th∈Rmh=1,2,3,4

minW

s.t.prob_quad>[prob]

prob_rod>[prob]

prob_disp>[prob]

δmax≤[δ]

(21)

式中:Ag为机翼长桁和梁肋缘条的截面积;Th为机翼蒙皮和梁腹板的厚度;Rm为设计变量集合;W为机翼结构质量;prob_quad、prob_rod、prob_disp依次为壳单元、杆单元、机翼垂直方向最大位移对应的模糊—区间可靠度;[prob]为可靠度指标下限,取0.95;δmax为机翼翼尖的最大位移;[δ]为最大容许位移,取1 460 mm。

采用拉丁超立方试验设计,近似拟合响应面模型,得到目标函数和约束条件关于设计变量和不确定参数的显式函数。将设计变量和不确定参数作为统一的变量,利用拉丁超立方试验设计方法进行采样,计算真实模型在各采样点处的响应值,通过采样点和相应响应值构造响应面模型,机翼结构质量和各个约束条件采用二次响应面拟合。利用构造响应面近似模型代替原问题的真实模型,按照模糊—区间非概率可靠性优化模型进行转换,得出确定性数学优化问题。传统优化算法求解复杂的优化问题容易陷入局部解,采用改进的模拟退火算法,可以得到全局最优解。

6.3 优化结果

不考虑不确定参数,对机翼结构进行传统优化,与笔者所提出的非概率可靠性优化相比较,结果见表2。

表2 机翼结构优化结果比较

采用初始值、传统优化结果、非概率可靠性优化结果,机翼的应力和变形依次如图2、图3、图4所示。

▲图2 初始值机翼结构应力与变形

▲图3 传统优化结果机翼结构应力与变形

▲图4 非概率可靠性优化结果机翼结构应力与变形

采用非概率可靠性优化方法得到的质量优化结果1.073 6 t和采用传统优化方法得到的质量优化结果0.945 7 t均小于优化前初始值,采用非概率可靠性优化方法得到的优化结果大于采用传统优化方法得到的优化结果,偏大13.5%,偏于保守。这正是考虑了机翼材料参数和气动载荷的不确定性影响,在优化中加入可靠性设计的结果,要获得可靠性,就会牺牲一定的目标函数值。采用传统优化方法得到的质量虽然小于初始质量,但材料承受的应力增大,因质量减小引起强度不足。采用非概率可靠性优化方法,不但质量相比初始值有明显减小,而且材料所承受的应力也减小,降低了机翼结构破坏的可能性,说明实际工程中应该适当考虑不确定因素对机翼结构的影响。笔者提出的非概率可靠性优化方法能够满足要求,并且可以保证机翼结构在多变的因素下尽可能不失效。因此,基于非概率可靠性优化的机翼结构相比传统优化具有更高的安全性。

7 结论

基于结构的模糊—区间非概率干涉模型,提出含模糊变量的非概率可靠性模型,在此基础上建立基于近似技术的结构模糊—区间可靠性优化模型。以建立的模糊—区间可靠度为约束条件,以质量最小为目标函数,对某型飞机机翼结构进行优化。采用的近似技术可以较为准确地拟合设计变量与响应之间的复杂关系,响应面精度高,满足工程要求,并且可以使计算效率提高。不同于传统的优化问题,考虑参数受不确定性的影响,将约束函数中包含的不确定参数用非概率区间理论转换为数学优化问题,并将强度约束转换为可靠度指标约束。通过与初始值及传统优化结果比较,确认得到满意的优化结果。

采用非概率可靠性优化方法能够较好地分析复杂的带有模糊—区间不确定因素的机翼结构优化问题,正确反映各个设计变量与机翼结构各响应之间的关系,优化结果合理,由此确认非概率可靠性优化方法在机翼结构优化方面的可行性和有效性。