“像数学家一样思考”的教育哲学审视

胡吉振 徐 思 (丽水学院教师教育学院 323000)

吴健荣 (苏州科技大学数学科学学院 215009)

欧阳亮 胡典顺 (华中师范大学数学与统计学学院 430079)

1 提出问题

德国一个教授克里斯蒂安·黑塞根据自己给非数学专业学生的讲课内容编写了一本科普读物，翻译为中文名字就叫《像数学家一样思考：让生活和工作更美好的22个数学思维方式》[1]．这本书通过一些数学大家的逸闻趣事来说明如何“像数学家一样思考”，并指出22个数学思维方式是有效的思考工具，掌握这22个数学思维方式可以提高个体发现问题和解决问题的能力．细细琢磨，这些逸闻趣事在类似的科普读物中也是可以找到的，只是叙述的方式、语言的表达不同而已．那么依赖这些逸闻趣事是否就能说明普通人“像数学家一样思考”呢？另外，普通人真的能像数学家一样思考吗？这就是本文所要回答的问题．

德文版的原书并不是“像数学家一样思考”，而是“与数学相遇”．为什么要改为这样一个题目呢？可能是为了吸引眼球，能引起观众的注意，讨好更多的读者，这与我们这个谄媚的时代是相关的．无论题目与内容是否相符，但是提出了一个很有价值的问题就是普通人“能像数学家一样思考吗？”事实上，这涉及到一个民族文化的问题．中国古代是“学而知之”的文化，在这种文化之下，没有什么学不会的，只要好好学习就能学会，而且中国的文化很少强调智力的因素．从这个意义上讲，把“与数学相遇”翻译为“像数学家一样思考”本身就体现了一种东方文化的特色，强调学习的重要性，认为普通人只要下功夫就没有学不会的数学．从这个意义上讲，反对“像数学家一样思考”的观点在国内可能是不受欢迎的，甚至会遭到强烈的反对．数学教育界是认可这种观点的，因为如果普通人不能像数学家一样思考，数学教育存在的价值与意义何在？数学教育就是促使普通人朝“像数学家一样思考”的方向前进甚至是达成这一目标，因为我们的文化就是普通人只要努力学习，也同样能像数学家一样思考的文化．“像数学家一样思考”这个题目也博得数学教育界的认可．因为只有能“像数学家一样思考”，通过数学教育实现其教育的目的，这才能显示数学教育的价值与意义．如果普通人不能“像数学家一样思考”，这就降低了普通人学习数学的自信和自觉，这可能挫伤学生学习数学的积极性，尤其是打击了一些想当数学家的学习者的积极性，这不利于数学家的成长与培养，从这个意义上讲，不能说“不能像数学家一样思考”，而只能说能“像数学家一样思考”．这种能“像数学家一样思考”是由文化社会教育的需要而必须建立的基本假设，具体这种基本假设是否成立，则没有人追究．这种假设未必是对的，但是即使是错误的东西只要能促进学生学习数学就可以了．换句话说，管他黑猫白猫逮住老鼠就是好猫．普通人能“像数学家一样思考”从强调意义或价值的视角来说是很有必要的，这是站在文化社会教育的视角来讲的．中国人一般强调普通人能“像数学家一样思考”的，这种历史文化渊源可以追溯到中国古代数学教育，由于中国古代数学是为人生、社会的现实生活服务的，这也是中国数学教育的意义与价值所在，而不是像胡塞尔强调的欧洲科学的危机在于科学精神的一枝独大导致人的精神生活的匮乏和生活世界的意义的缺失．中国的人文主义精神的文化形成了“能像数学家一样思考”的重要因素．

但是，站在西方文化的视角，由于从柏拉图到笛卡尔一以贯之提倡的“天赋观念”思想，按照这种观念的思路可以推测西方社会可能更多的是强调普通人是不能“像数学家一样思考”的．事实上西方文化对数学的认识强调的就是数学客观性的方面，这与他们长期以来的科学主义一枝独大的文化传统是一脉相承的．西方国家虽然强调天赋观念，强调大多数人不能“像数学家一样思考”，但是数学家产生却是如此之多，让我们不得不怀疑普通人不能“像数学家一样思考”，而强调精英意识的西方社会为什么数学家却人才辈出呢？这个问题是值得我们思考的．可能是西方社会遵循了事物发展的客观规律，普通人不能“像数学家一样思考”就是不能像数学家一样思考，这种规律也要遵循，而不是违背，只有在遵循这个规律的基础上才能培养更多更好的数学家.精英的培养与大众应用数学者的培养是分离的，这种分工的精神促进了数学家更像数学家，社会精英人士专门研究数学，像安德鲁·怀尔斯一样专业化到七年什么都不干而研究一个很专业的数学问题——费马猜想，这种高度的专业化精神导致了精英与普通大众之间的分工从而促进了数学的发展．中国古代社会是有“天人合一”的观念的，虽然强调了普通人能“像数学家一样思考”，但是普通人什么都干，就像中国古代读书人奉行的“事事关心”一样，什么都要关心，什么都要考虑，而人的精力和时间是有限的，其结果就很难专业化．更为重要的是为了给数学教育的存在的必要性找一个虚假的理由，给一个民族的自信找一个虚无的假设，也迎合了数学教育界的口味，也似乎提高了数学学习的积极性，但是其结果效果未必如意．以上是“像数学家一样思考”在中西两种文化下的不同的境遇，本文基于西方文化境遇的分析，以此说明普通人不能“像数学家一样思考”，这种分析同样适合中国文化境遇中的情况．

2 “像数学家一样思考”的困难

从《像数学家一样思考》全书的描述中可以发现，克里斯蒂安·黑塞认为普通人是可以“像数学家一样思考”的．但是克里斯蒂安·黑塞在书中却并没有阐述普通人为什么能“像数学家一样思考”．当然，从数学教育的角度看，我们是十分希望学生能像数学家那样进行思考的，但问题不是那么简单，铁的现实证明了这是不现实的，否则还有谁抱怨数学难，数学枯燥无味呢？虽然有的学者研究认为在数学教学中要让学生像数学家那样思考，即使一些著名的数学家也提出了类似的观点，即学生的数学学习与数学家的工作有很大的相似性，但这种观点大都是一厢情愿的．

2.1 数学的内容：冰冷的美丽

数学是抽象心智的产物，数学界也常说数学是“冰冷的美丽”．数学就是把人的七情六欲都给抽象掉之后剩下的客观元素、关系或属性(不否认数学具有文化属性)，从这点来说数学中包含有人的“理性”部分，但是感性的部分却是缺失的，这就造就了数学不是人性的完美表现，也就是说数学含有完美的人性是缺失的，至少情感是缺失的．即使是数学的美丽也只能供那些数学家或数学工作者欣赏，外行人是看不懂的．为什么一些数学家说“数学美”或说“数学是一门艺术”呢，一个重要的原因就是数学家对数学的钟爱，数学家经常与数学打交道，数学成为了他们的“终身伴侣”，“耳鬓厮磨”对数学产生了感情，当然说数学美了．例如，大数学家陈省身说“数学好玩”．实际上这是数学家与数学打了一辈子的交道，对数学产生了感情的真实写照．说数学是艺术或说数学美同样是对数学有感情的体现．如果一个很讨厌数学、认为数学枯燥的人一定不会说数学美．因此，数学中的美或数学像艺术一样的观点是数学家对数学情感的体现，而并非真正的大众所认识的美．

数学遵守的法则之一是理性，是逻辑推理，但是理性或逻辑推理富有情感吗？似乎表面上是有情感的，因为理性或逻辑推理是讲道理的．但是理性或逻辑推理的“讲道理”与社会学中的“讲道理”是不一样的，因为社会学中的讲道理在很多情况下是与情感交织在一起的，但是理性或逻辑推理却把感情色彩给抽象掉了，变成了纯粹客观的东西．因此，即使数学是理性或逻辑推理的，也是不包含情感的．总之，从根本上说数学包含的不是完美的人性．从教育哲学的视角来讲，教育学就是以人为本的学问．就像张瑞璠主编的《中国教育哲学史》序中所说：“可以这样说，人性论是中国教育思想的理论基础；离开教育家的人性论，不惟说不清其教育功能和作用，更谈不上窥测其思想大厦之奥秘．”[2]这就说明了数学这门学科很少甚至不具有人文精神，不是一门完全符合人性的科学．

但是，一些人文学科是符合人性的．例如文学、音乐、美术、教育学等等都是符合人性的．因为无论是情感，还是理性，在这些人文学科中都是存在的，只不过是成分的多少而已．这些人文学科是沿着符合人性的道路前进的，而且体现了人的情感，充满了人文精神．中国传统社会一些文人骚客常常寄情于山水，充满了人文的思想的同时也不缺乏理性精神．但是数学在很多情况下就很少有人文精神．例如古希腊大数学家欧几里得(公元前330—前275)的《原本》[3]里面只有定义、公理、公设、定理等，一丝的情感也没有．当然有人说《原本》充满了科学精神，充满了理性精神，这是没有错的．古希腊哲学家亚里士多德(Aristotle，公元前384—前322)讲“人是理性的动物”也是没有错的，问题是他把人的情感给抽象掉了，抽象掉的人是不再具有完美人性的人，这与数学研究是一样的．但是人文学科则不然，文学作品的人物形象都是有血有肉的，有理性也有情感的，这才是一个丰满的人物的形象．实际上说“人是情感的动物”更符合普通的人民大众．因此，像文学或艺术一样或类似的人文学科由于是符合人性的，就可以说“像文学家或艺术家一样思考”．那么为什么没有学者提出“像文学家(艺术家)一样思考”的观点呢？一个可能的原因就是每个人都很容易做得到这一点，所以没有必要过多地提倡，过多的提倡也没有什么新意．从这点来说人们更容易成为艺术家，尤其是情感丰富的普通人．造成现在长久不衰的“艺考热”的原因很多，但是其中最重要的一个原因是艺术是符合人性的学科，既有科学的素养，又包含了人文的情感．当然有些社会科学也是符合人性的．例如经济学，梁小民写过一本通识教材《经济学是什么》[4]，提倡“像经济学家一样思考”的观点，但是这种观点是比较恰当的，因为经济学符合人性，最基本依据就是经济学的几条假设就是符合人性的[5]，而且经济学与人们的日常生活关系非常密切．在自然科学、社会科学与人文科学相比较而言，人文科学可能反映的人性更为完满，社会科学其次，自然科学再次，而数学是最不能反映人性中的情感的，最不容易“像什么家一样思考”的就是数学家.任何学科都可以“像这些学科家一样思考”，但是你不能说“像数学家一样思考”，因为数学包含的不是完满的人性，而是情感的缺失．自然科学虽然不是数学，但是自然科学与数学是比较靠近的，其研究对象是自然为主的学科，也不是以人为主的学科，未必完全地符合人性，因此“像某某自然学科家一样思考”也同样很难实施下去．至于哲学是人文学科，当然可以像哲学家一样思考问题．有本书是《像物理学家一样思考》[6]，还有一本书《数学思维导图——学会像数学家一样思考》[7]等等，这些书与其他类似的书籍不再评论．一些学生说数学太抽象了，符号太多了，数学太枯燥了．为什么数学枯燥就是因为数学未必符合人性中的情感，当然枯燥．但是文学作品中的激情描写的情节是很扣人心弦的，理性分析的精神也是让人久久不能忘怀的，甚至某部电影的某个影星给影迷留下的印象是终生难忘的，这是因为艺术含有丰富的人性．当然也有学者说，数学就像哲学家维特根斯坦所说是一种游戏，一旦进入其中，对数学就充满了情感，数学就成为了具有丰富情感的人文学科，从这点来讲数学不是冰冷的美丽．数学是游戏的思想我们不想过多的探讨，但是数学的“游戏入门”不是普通人能够跨越的，应该说数学是数学家的思想的游戏，而不是普通人的思想游戏．这就涉及到数学这门学科的性质，数学是不是人文科学呢？一些学者的观点认为，“数学是包括自然科学和人文、社会科学在内的所有科学的共同语言”，并强调数学不仅具有自然科学的普遍特征，而且也包含着丰富多彩的社会学意义和人文精神．如果从这个观点讲，数学是不枯燥的，但是这个意义上所说的数学不是纯粹数学，而是应用数学，甚至是把数学当作一种文化来看待的，但不是数学教育中的数学．

2.2 数学家的性格：冒险的赌徒

以上说的是数学这门学科本身的性质之一是具有客观性，但是缺少情感．如果说数学是“冰冷的美丽”，那么数学家就是“火热的思考”者，否则是无法当数学家的，这就是说数学家对数学的学习与研究要有激情．那么数学家是什么？数学家是天才，都是很富有个性的天才，是哥伦布似的冒险家，同时数学家又像“赌徒”一样，甚至数学家就是“赌徒”，而且还不是一般的“赌徒”，而是以生命时间为代价的“赌徒”，至少现代数学之前的数学家很类似于赌徒．当然，从另一个角度来说，这就是数学家的奉献精神．数学家不管自己研究数学有没有收获，甚至后人如何评价自己都抛之脑后，而是要把毕生的时间与精力用来研究数学，把毕生的精力与时间献给人类最伟大的数学事业．从这点来说，数学家都是人类历史上最可爱的人，都是值得人们去尊敬的．例如安德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)为了解决费马猜想，对解决这个问题准备了若干年，而专心研究了整整七年的费马猜想，七年什么都不干，只研究费马猜想，这简直就是一个疯子，这是平常人不可想象的事．“设想你进入大厦的第一间房间，完全是一片漆黑，你在家具之间跌跌撞撞，但是你逐步搞清楚了每一件家具所在的位置，这样经过七八个月，你终于摸到了电灯开关，打开了灯，忽然间一切都清楚了，你才确切知道你身在何处．于是你又找到隔壁的房子去，在黑暗中再摸索六七个月．每一次这样的突破，都是在黑暗中摸索几个月完成的．因此，这些突破都是摸索的结晶．”[8]上面这段话是安德鲁·怀尔斯经过七年时间彻底解决了360年前费马提出的“费马猜想”之后的亲身体会．这段话摘录自2005年他在北京大学所做的讲演．当我读这段话时感到很奇怪，甚至于觉得荒诞．经过细细的思索，我才能触碰到这种感觉，才明白：数学家在解决数学问题时是像人类学家野外探险一样，面临的是一个陌生的世界，如何把握住陌生世界的本质不是一顿饭的功夫可以解决的，不是一件容易的事，要经过很多的波折．马克思曾说过：“在科学的大道上没有平坦的道路可走，只有沿着山间崎岖小路攀登的人，才能达到光辉的顶点．”其实安德鲁·怀尔斯上面的这段话与马克思的话具有异曲同工之妙．马克思作为一个社会科学家，是从自己的社会科学研究角度来讲的，而安德鲁·怀尔斯是从一个数学家的角度说出自己历经七年之久的探索未知领域的亲身体会．其实很多的数学工作者就是这样．当然，每个数学家探索数学真理的过程可以说千差万别，数学家探索数学的道路就不是《像数学家一样思考》能够穷竭完的，而且数学家的探索数学道路的艰辛也不是一般人能够体会的，应该是“一把辛酸泪”.数学家的思考方式并没有让数学家在困难面前一帆风顺，就像上面提到的安德鲁·怀尔斯七年的数学奋斗历程是崎岖不平的，甚至是经历了七年之久的奋战问题仍然没有解决，这是很有可能的．“像数学家一样思考”同样也不能避免在攀登数学高峰的历程中走弯路．

说数学家是“赌徒”是因为一旦数学家对某个问题感兴趣，他就是充满情感、疯狂和执拗地去研究某个问题，甚至有不达目的不罢休的毅力去研究．人类历史上最伟大的数学家之一阿基米德(公元前287年—公元前212年)为了自己的心爱的几何学，竟然被罗马士兵杀死，对数学的迷恋已经达到如此癫狂的程度[9]．射影几何的创始人、法国著名数学家彭赛列(1788—1876)在俄国的监狱里研究数学[10]，在普通人看来就是很有个性，就是活生生的一个“赌徒”形象，因为他连自己明天的死活都不知道．解决法国大数学家庞加莱(1854—1912)提出的“庞加莱猜想”的俄罗斯数学家佩雷尔曼，对菲尔兹数学奖都嗤之以鼻，整天生活在大森林里，好像一个不食人间烟火的神仙一样．“四元数”是英国数学家、物理学家哈密尔顿(1805—1865)在散步的时候不经意间发现的，而且以后每年的这一天他都要给他发现的四元数过生日[10]，数学家的个性是多么的鲜明另类．我国三国时期数学家赵爽在史书记载“负薪余日，聊观周髀”，是依靠砍柴为生而研究数学的[11]．我国唐朝数学家王孝通说：“臣长自闾阎，少小学算，镌磨愚钝，讫将皓首．”[12]可见王孝通穷经皓首(也就是研究了一辈子)才把数学研究出名，这些都是数学家研究数学、思考数学问题的不平凡的经历．另一个例子是欧几里得《原本》中的第五公设问题，数学家研究了两千多年，很多数学家默默无闻地冒险研究，一辈子都是在默默无闻地奉献，在数学上没有成就，但是他们仍然是值得后人尊敬的，他们所做的工作对后来数学发展的奠基作用是不朽的，尤其是他们的精神是彪炳千秋的．在数学史上数学家失败的案例比成功的案例多得多，这就是说数学这个学科是具有风险性的，“数学家”就是一个“高风险”的行业，当然这也是针对具体的人而言．所以说数学家干的都是人类最伟大的事业之一，也是最冒险的事业之一，他们这种不怕失败的冒险精神，是普通人很难想象的，而且这些数学家所做的工作都是非常人所能及的，甚至是外人无法理解的．普通人不是“赌徒”或“冒险家”，所以很难有数学家的思考方式．还是那句话，让凯撒的归凯撒，让上帝的归于上帝．数学家的思考方式只要数学家具备就可以了，至于平常人当然具备更好，但是也不要过于勉强．当然有人想当数学家，也需要像数学家一样思考问题．说数学家是“赌徒”还有一层意思，当数学家遇见一个数学问题时，自己能否解决是一个未知数，也可能解决，也可能不能解决．大多数都是怀着试一试的心态，即使试了几年或一辈子也未必可以证明出来，但是有的数学家也许一下子就证明出来，这点与做工程和文艺创作是不同的，是不确定性的．用“赌徒”这个词在这里并非贬义，而是数学家冒险精神的体现．另外需要说明的是，数学家虽然是冒险的“赌徒”，但是他在研究数学的过程中也可能是理性的．

2.3 数学家的思维方式：不定式

人们在不同的时代，对数学的认识是不同的．古埃及数学、古巴比伦数学就是经验数学，但是古希腊数学家认为数学是演绎的科学．今天人们对数学的认识又与过去不一样．林夏水认为，数学是一门演算的科学[13]．实际上数学这个概念是变化的，是与时俱进的．这就决定了数学家的思考方式或研究方法也是在变化之中的，也不是像《像数学家一样思考》那样教条式地把数学家的思维方式总结为22条，数学家的思考方式或数学方法不是22条原则可以概括的，而且应该是一个开放的发展的动态体系，而不是一个封闭的教条．数学家的思维方式在一些情况下都是非常人所能理解的，甚至都是超天才能想起来的．例如人类大数学家高斯(1777—1855)自以为豪的是用古希腊尺规作图的方式，把正十七边形的作图问题解决了，而这个问题自从古希腊数学以来两千年都没有被数学家解决，却让高斯解决了．少年数学天才伽罗华(811—1832)、阿贝尔(1802—1829)把“群论”搞出来，但是在当时一些大数学家，像柯西(1789—1857)这样在那个时代是最伟大的数学家之一，都看不懂，不理解这两位年轻数学家的工作，两位少年天才数学家的思想是超时代的，可以说这两位少年天才数学家的思维方式让同时代的数学家认为是不可理解的．数学家都不理解数学家的工作，普通人理解数学家的工作更难．伽罗华、阿贝尔的思考方式在当时是没有人理解的，这个例子说明了数学家的思考方式是一个不定式．只有数学家的思考方式是不定式，人类的数学事业才能发展壮大，才能蒸蒸日上；如果数学家的思考方式一旦固定，也许人类的数学就快终结了．这也说明了数学家的思维方式是不同的，是不确定的．

现代人们提倡数学实验，提倡用计算机解决数学问题，这些方法或思维方式都是前所未有的．数学家研究数学的方法或思考方式也在不断地变化．例如牛顿、莱布尼茨打破了欧几里得《原本》的范式，发明了微积分，但是却留下了很多他们自己没有解决的问题.这些问题为什么没有解决，一个原因就是牛顿、莱布尼茨等这些数学家的思考方式一旦形成定式，就只能解决他们的思考定式中能够解决的数学问题，而他们的思考定式中不能解决的问题就要留下来，而这些留下来数学问题被后来的欧拉、伯努利数学家族、达朗贝尔、拉格朗日等解决，但是这些数学家也同样解决了自己思维定式能解决的数学问题，没有解决的数学问题留给了下一代数学家解决，数学家与数学的发展就是这样的循环往复．数学家有时候就是走不出自己的思维定式，数学家要成为常青树的确是一件不容易事．数学家的思考其实是很复杂的，尤其是现代数学分支众多，随着数学知识的增多，数学方法在不断地发展，不断地丰富．数学永远在路上，而“像数学家一样思考”其实还没有上路，“像数学家一样思考”问题也仅仅适用于过去式，而未必适用于将来，最多也就是把过去的东西总结一下．数学家走过的路径是不可复制的，也是具有时代性的，这就说明了数学家的思维方式不是很容易学习的，甚至都是无法理解的，而且也是不断地发展变化的．总之，数学家的思维方式是个不定式．

2.4 普通人选择数学：未必情愿

我们不先说普通人选择数学愿意不愿意，先讲一个事实．经历了数学专业四年的数学思维训练，大部分的学生考入了其他专业的研究生，另外一部分直接就业，只有很少一部分人考入数学系的研究生继续深造数学.这些学生掌握的数学思维方式远远超过《像数学家一样思考》的22条原则所包含的内容，甚至无论深度还是广度都是《像数学家一样思考》不能达到的，经历数学专业四年的数学思维方式的训练，仍有很多的学生没有像数学家一样思考，这个铁的事实我们不能熟视无睹，而《像数学家一样思考》仅仅是一本科普读物，读完之后作为普通人能像数学家一样思考吗？数学专业的学生在学校学习了四年都未必达到的水平，非专业人士就凭《像数学家一样思考》中的22条就能像数学家一样思考，这简直就是天方夜谭．固然，数学家的思考方式很重要，但是我们不能过度地夸大，至少不能夸大到口无遮拦的程度．中国有一句古话：“不在其位，不谋其政”．这句话同样适用于“像数学家一样思考”，你不当数学家，凭什么非要像“数学家”一样思考，想干什么就按照干什么的方式思考就行了，俗语说“上什么山，唱什么歌”，“干一行，爱一行”．中国古代的庄子和惠施在《秋水》中的名句“汝非鱼，安知鱼之乐”也是很适合放在这里的，你不是(鱼)数学家，怎么能像(鱼)数学家一样(游泳)思考呢？人们常说数学是思维的体操，但是普通人有时间来练习这个体操吗？学习数学最好的方法是做题，好的数学家最基本的一条是能做题，很可惜《像数学家一样思考》上面的22条原则对做题来说就是过时的教条，这点普通的老百姓也是无法实施的，因为老百姓或普通的读者要的仅仅是思考问题的方式而不是做数学题，这样就很难达到目标．

另外，数学这门学科是有自己专门的语言符号的，而不像人文学科，你只要识字就可以学习这些人文学科，例如历史学、文学、教育学等.但是数学的专业语言是抽象的符号，这种抽象的符号是现代数学的工具，这对普通人来说，尤其是对数学没有情感的人来说不易掌握这个工具，想达到数学家的思考方式，这也是不可能的．这就像想学游泳，而不肯下水实践一样的荒唐．“游泳的规则”(《像数学家一样思考》)也许说得很好，但是“像数学家一样思考”就必须做题才能实现，而平民百姓一般没有机会，即使有了，如果对数学不感兴趣的话，其实也可能很累的．现实生活中，数学本科毕业的学生中有一些学生就不从事数学工作了，数学家的思考方式他们未必有，平民百姓什么都不想干，还想得到“像数学家一样思考”，这可能是个玩笑．

写到这里，猛然间想起一个很重要的问题，《像数学家一样思考》认为的“像数学家一样思考”是一个什么概念？数学家有天才数学家，有超天才数学家，还有二流和三流数学家．这个数学家的定义很重要，不过《像数学家一样思考》书中所举的例子都是超一流的数学家，例如高斯、费马(1602—1665)等这样的大数学家，但是这些大数学家是很稀少的，几百年甚至上千年才出一个，而且与普通老百姓的距离太遥远，他们的思考方式是后人学习不来的，甚至都不能望其项背．从这点来说，也许那些伟大的数学家不仅不是榜样，而是导致这些普通的读者对数学丧失兴趣的根源，因为这些数学家太伟大了，伟大到让读者感觉到自己太渺小了，让读者的自信受到摧残．榜样的力量在很多情况下并非都是无穷的，而且在很多情况下像一座大山一样，压着后来的学者，让他们喘不过气来，造成了对前人的无法超越．

另外，普通人在日常工作中未必能会用数学思想与方法解决现实中的问题．其实，有一些领域是不太适合数学的思维方式的．例如法国数学家、天文学家拉普拉斯(1749—1827)的学生、法国著名的皇帝兼军事家拿破仑(1769—1821)任命拉普拉斯为财政部长，但是由于拉普拉斯把无穷小分析的精神带给了官僚机构，最终拉普拉斯被罢免财政部长这个角色．人们经常谈到的情商与智商的问题，其实，如果用数学家的思考方式去谈恋爱，成功的几率几乎是零．因为数学是纯客观的东西，爱情却需要情感的．“像数学家一样思考”问题是很累的，现实生活是具体的，而数学是抽象的，这就是两者的差距，也是两者的最大矛盾．从以上可以看出，学习像数学家一样思考问题其实是很累的，成本可能不高，但是未必有人付出，而且未必见效．

当然，有些人还是要说为什么存在业余数学家呢？在古代社会的确存在业余数学家，例如法国的数学家费马、代数学之父韦达(1540—1603)，而且两者都以律师为职业．中国传统(古代)数学家几乎都是业余(除了宋元时期的数学家朱世杰)的，但是在过去那个时代数学知识的积累还是比较少的，数学发展到今天业余数学家是无处藏身的．数学家王元院士曾说过类似的话，很多没有学过微积分的数学爱好者都在证明“哥德巴赫猜想”，他说过去每年中科院数学研究所收到的关于证明“哥德巴赫猜想”稿件多达几麻袋，但是很多的都是没有价值的．这就像是骑着自行车登月球一样不现实，这说明了业余数学家的不可能，这同样说明想达到数学家思考问题的方式而不去专业化地研究数学也是不可能的．

普通人不能“像数学家一样思考”，不能说成“像数学家一样思考”的成本很高，这个不能用成本的大小来衡，因为不同的人研究数学成本是不一样的，而且即使同一个人，刚一开始可能数学研究得很辛苦，所谓的成本很高，但是越研究数学越有兴趣，研究数学的成本可能会降下来，甚至有些人会认为研究数学是人生的千古快事，是人生的一大幸福，这时候就没有成本了.所以说用成本来衡量“像数学家一样思考”的难易程度是不妥当的，应该说一个人“像数学家一样思考”心甘情愿的程度比较好．再者，普通人未必一厢情愿地去学习“像数学家一样思考”．数学毕竟是一个行业，普通人或学生是有选择自己职业的自由的，在众多的职业面前，自由地选择职业是学生的权利．另外，“像数学家一样思考”是一种长期的过程，不能说你今天像数学家一样思考，明天就不想“像数学家一样思考”了，数学家的思维方式是一种以终生的实践为基础的，但是普通人也许在某一方面或某一时秉承了数学家的思考方式，但是未必具有持久性、普遍性．由于数学家秉承了终身研究数学的习惯，这就使得普通人很难做到终生的专业化研究数学，这就更难做到具有数学家的思考方式．

2.5 成功基因：数学家品质

“像数学家一样思考”这样的话题，一流数学家或天才数学家一般是不提倡的，因为他们很自负，认为自己是天才，天才就是不可复制的，他的思考方式不是别人想学就能学来的．因此，他们很不赞同“像数学家一样思考”就能成为数学家．高斯19岁用古希腊数学家所谓“尺规作图”的方式作出了正十七边形，这个难题自从古希腊数学以后2 000多年很多数学家都没有做出来，难道这两千年之间的数学家没有像数学家一样思考这个问题？其实即使像(是)数学家一样思考问题，你也未必能真正地解决数学问题甚至现实生活中的问题，这就说明了“像数学家一样思考”也不是万能的，在数学上是这样，在其他领域更是如此．所以说一流数学家从来不会讲“像数学家一样思考”．二流数学家依靠勤奋，但是人家也不会说“像数学家一样思考”，因为他们懂得即使像(是)数学家一样思考问题也未必能在数学上做出贡献，也有很多解决不了的数学难题．“像数学家一样思考”其实就是有了固定的思考方式，数学家思考一个问题时已有的思考方式，他就不会也不想创造出更好的方法来解决问题，这对他来说，也许对未来的数学研究起到阻碍的作用．也就是说数学家在解决问题时一旦有固有思考方式，就没有进行创造出更好的解决问题的方法的动力，而已有的思考方式往往是陈旧的，但是新的数学问题需要新的思考方式，所以说数学家的思考方式有时候是帮倒忙的．没有办法的办法才是最好的办法，没有办法才可能鼓励数学家创造新的办法解决问题，但是当数学家创造出新办法时，在将来解决数学问题时，也可能会失效，更重要的是他就失去了创造的动力．

其实，数学家的思考方式虽然重要，但是数学家的思考方式这个层次太低了，仅仅是“术”，而不是“道”，仅仅是雕虫小技，而不是大智若愚．真正成为数学家依靠的是“道”而不仅仅是这个“术”．不是看了《像数学一样思考》这本书，就能成为数学家的．那么，什么是数学家的“道”呢？这就是数学家优秀的数学品质．我国著名数学家华罗庚(1910—1985)先生也提倡“天才出于勤奋”“一份努力一份收获”，这就说明优秀数学品质在数学家成长过程中是很重要的因素．另一位中国著名数学家陈景润(1933—1996)能够在解析数论研究中取得至今无人超越的数学成就，就是因为他很有很多优秀的数学品质，例如他踏踏实实、认认真真，一步一个脚印地攀登数学高峰，而不是投机钻营地找什么学习数学的秘籍，学习与研究数学依靠更多的是优秀品质，而不是一些雕虫小技．一些招聘单位优先录取数学专业的学生，原因是数学专业的学生一般精于计算，严谨、富有逻辑思想、有耐心、有毅力，具有理性精神等，这些优秀品质对其他的行业也是同样需要的．胡典顺认为，学习数学可以促进以下优秀品质的形成：诚实正直，崇尚真理，勤于思考，勇于创新，坚韧不拔，敢于攀登[14]．这就说明数学家的优秀品质是通过勤奋学习数学得到的，不学习数学想得到这些品质是不可能的，更为重要的是在数学家成长的道路上，其思考方式与这些优秀品质相比就变得微乎其微，甚至是九牛一毛．因为这些数学品质才是“道”，那些思考方式最多是“术”．所以说很多的数学家成功靠的是勤奋，靠的是自己的努力，靠的是自己的天赋与灵感，靠的是自己与别人多交流，等等，而不仅仅是数学家的思考方式．另外，其实很多数学家也走过很多的“弯路”，像费马猜想安德鲁·怀尔斯花费了七年的时间才证明出来，这还是很不错的．当然，除了数学品质影响数学家的成长之外，还有数学观、出生的社会背景、从小所受的教育等因素制约着数学家的成长．

3 结语

“能像数学家一样思考”反映了一种精英教育的观念，但是这种观念与我们传统文化和现阶段的教育目标未必一致，也与中国目前的教育政策的主流的舆论导向不太一致.因为我们国家提倡的是公平教育，是大众教育与精英教育并存的观念．德国是以日耳曼民族为主的国家，这个民族有高傲的情怀、哲学的精神和数学的天才，古希腊数学家与哲学的精神也得到了这个民族的传承．我们这个民族在认识论上秉承的学而知之、有教无类的大众教育哲学观念．在20世纪末中国开始由精英教育向大众教育转变，事实上这也是21世纪的人类教育的一个重要的发展方向．大众教育在某种程度也体现了公平教育的精神．如果大多数的人民群众的孩子没有受到教育，我们的公平教育就无从谈起．因此，我们国家也很重视公平教育．智力不同的孩子在教育上都应该受到公平对待，决不能因为培养一个数学家而牺牲千千万万个祖国花朵的利益，而且在我国现阶段的社会主义经济建设中各行各业需要对数学要求不同层次的人才，从这种现实的民族文化及国情出发，从公平教育的角度出发，我们的教师不仅要为班上两三个数学尖子生服务，更重要的也应该为大多数的中等智力的学生服务．为了少数学生“能像数学家一样思考”显然不适用我们的国情，也不适应整个人类教育的发展现状．

《像数学家一样思考》这本书在内容上仅仅是数学史上的逸闻趣事而已，最多加上自己的体会与感悟，但是书的名字与内容是不相符的．看过这本书更坚信习总书记说的坚持文化自觉与文化自信的重要性．改革开放这么多年，外来的东西都是好的吗？这是要进行反思的．远的不说，就说这本书充其量就是一般的科普读物而已，但却起了一个冒天下之大不韪的书名，其内容远远比不上国内的一些科普读物．因此，坚持文化自信与文化自觉不仅仅是坚守自己固有的文化阵地，另一方面也要对外来的文化采用批判、反思、质疑的精神，而不是全盘地接受．

数学家是个性最强最鲜明的群体之一．数学是心智抽象的产物，这就造成了数学在人性方面是缺失情感的．数学家是天生的冒险家．数学家的思考方式是千变万化的，这种思考方式的“不定式”说明了普通人“像数学家一样思考”是很难的．从“数学是思维的体操”的视角，数学家的思维也是不容易学习的．数学家之所以是数学家，最重要的是数学家具有很多优秀的品质并解决数学问题，这些品质比数学家的思考方式要重要得多，而且这些优秀的品质是依靠数学家学习数学得到的，没有这些优秀的品质，数学家就不是数学家．但是没有数学家的思考方式，数学家还是数学家．数学家的思考方式并没有阻止数学家在研究数学的道路上走弯路．因此，数学家的思维方式对数学家的成长并没有想象的作用那么大．其实还有一点本文没有讲，这就是数学的思考与数学学习是密切联系的，或者说数学思想方法是与数学知识密切联系的，脱离具体的数学知识，数学的思想方法就是无源之水，无木之本．

总之，普通人一般不能“像数学家一样思考”．数学家思考方式是与数学做题联系在一起的，不从事数学家的工作，就无法像数学家一样思考．你不从事数学家的工作就很难有数学家一样的思考问题的方式．数学家是个行业，你只有进入这个行业，成为这个行业的一员，从事这个行业的工作，才能像数学家一样思考，否则别无他法．