指向深度学习的高中数学单元教学——以沪教版新教材必修三“概率初步”为例

200041 上海市教育委员会教学研究室 方耀华

在开展“概率初步”单元教学之前，需要明晰教学中可能会遇到的一些问题和困难.例如，学生在初中阶段对“概率初步”掌握到什么程度？如何让学生更快更好地进入高中“概率初步”的学习？是否需要在概率学习之前补充“计数原理、排列组合”的内容？“独立性”的定义是基于“条件概率”的，那么在没有“条件概率”的情况下，如何开展“随机事件的独立性”教学？

基于上述问题，笔者旨在结合深度学习的理念与特征，通过对沪教版九年义务教育课本《数学》八年级第二学期(试用本)(以下简称“初中教材”)、沪教版新教材《数学》必修第三册(以下简称“高中教材”)的教学内容进行解析，在单元中设计有特点的学习活动，为高中数学教师落实新课程理念、理解新教材内容提供教学建议.

一、基于学生经验开展单元教学内容解析

作为深度学习的特征之一，联想与结构强调要基于学生已有经验开展单元、主题教学.在开展“概率初步”这一章单元设计之初，比较、研究上海学生初中所学的概率内容与高中即将学习的概率内容很有必要.表1主要梳理了初中教材八年级第二学期第23章“概率初步”中各节相应的学习内容、这些内容在高中教材的课时位置以及它们的不同之处.

表1 初中教材概率内容与高中教材概率内容的联系与区别

以表1为基础，结合新教材的内容，可以更好把握高中概率单元教学的重点.章首语和“12.1.1 随机现象”是本单元起始课的内容，在起始课中，教师可以通过丰富的实例，帮助学生认识随机现象在自然界、社会中普遍存在，初步了解概率论的起源与发展历史，感悟数学的文化价值.章首语中写道：“第一次接触随机现象，真正理解起来可能并不容易，和学习以往的内容不同，不仅要换一种思路，而且要换一套语言.”学生能够比较容易地理解随机现象是不确定的，但最终它要么发生、要么不发生，一切皆有可能，结果不确定，这与之前研究的数学问题的结果基本都是确定的有较大差异.因此，教师需要引导学生理解概率主要研究的是随机现象发生的可能性的规律.与初中的起始课教学略有不同，可以简单介绍概率公理化的学习路径，即“背景—定义(古典定义与统计定义)—性质(四条性质、独立性)—简单应用(至选择性必修‘概率初步续’)”.在此过程中体现学习概率能够解决现实世界中许多不确定的问题，尤其可以举几个直觉与理论结果有冲突的经典问题(蒙提霍尔三门问题、先胜一局的分奖金问题等)，激发学生学习本单元的兴趣.

从表1中可以发现，从背景概念起，高中教材的内容与初中教材相比有很大的不同.一是引入了“样本空间”和“基本事件(样本点)”的概念，其意图是用高中所学的集合的语言来刻画随机现象、随机事件.有了集合语言的帮助，描述随机事件变得严谨且简洁，可以通过集合的关系和运算促进对事件之间的关系和运算的理解，将复杂的事件变为简单的事件的运算结果来处理，也为后续研究随机变量是定义在样本空间上的函数做铺垫.但是需要注意，高中教材中的随机事件被看作样本空间的一个子集，它包含着必然事件和不可能事件，这与初中教材中对随机事件的定义是不同的.因此，随机事件A发生的概率可以取值为0或1，而不是初中教材中的0

初中教材要求用一课时学习“事件发生的可能性”，即判断现实世界中一些随机事件可能性的大小.之后，教材给出概率的描述性定义——用来表示某事件发生的可能性大小的数.高中教材在边款也说明可以从直观的角度使用“概率”这个名词.因此，教师在教学时依旧可以沿用初中的描述性定义，或用高中教材概率章节最后的内容提要中的描述——概率是衡量一个随机事件发生可能性大小的度量.

初中教材在给出了“概率”的描述性定义后，结合具体实例，立即介绍了“频数”和“频率”，并说明通常把某事件在大数次试验中发生的频率作为这个事件概率的估计值.然后将其进一步抽象、理想化到研究等可能试验下的概率，但并未提及“古典概率模型”的名称.接下来就是对一系列具体实例中古典概率(包括几何概型)的求解，总结了解决问题的方法“枚举法”及其表示形式“树形图”.由于“计数原理、排列组合”的内容被放在选择性必修学习主题中，故高中必修部分的概率计算大都与初中类似，依旧强调枚举法(树形图)在解决问题中的作用，只是在解决问题的过程中更多使用集合语言描述问题(样本空间、样本点等).从课标与教材的官方解读中也可以发现，必修部分中的“概率初步”将学习重点更多放在概念和思想方法的形成上，不希望排列组合的各种技巧、方法冲淡教学重点.在“12.2.2等可能性(续)”这一小节中，高中教材也潜移默化地介绍了部分运用乘法原理计算样本空间的元素个数的方法，但并未提及“乘法原理”这一名词.

从表2统计的相关实例内容可知，初中学生已有丰富的实例基础，涵盖了高中几乎所有的实例背景.由此可见，在高中的教学中，应更突出抽象的模型思想，可以在教学中引导学生发现初中的这些实例的联系.只需通过最简单的实例把握要研究的问题所对应模型的核心知识、思想方法，就可以解决一类相关的现实问题.

表2 初高中教材中古典概率模型的相关实例

在高中“古典概率”的教学中，应创造更多的机会让学生用集合的语言来描述问题解决的过程，类比集合的关系和运算，研究事件的关系和运算，以“古典概率”这一特殊的也是概率发展最初的模型理解并掌握概率的四条性质.教师也应该让学生了解高中教材第104页提到的概率最核心的三条性质，它们不限于古典概型，其可加性在计算概率时是重要的基础，教材也将其称为概率最本质的性质.

在高中“频率与概率”的教学中，学生对于频率一词并不陌生，也了解频率是概率的估计值.高中的教学增加了“伯努利试验”“伯努利大数定律”的内容，对频率的阐述更加清晰、准确.与初中教材只安排半个课时左右讲解频率与概率的关系不同，高中教材要求在一个课时内让学生更好地理解频率的随机性和稳定性.高中教材中，历史上数学家抛掷硬币试验的数据略少于初中教材，缺了德·摩根的试验数据(如表3所示).虽然较好地体现了试验次数越多，频率越“逼近”概率，但是从频率随机性的角度看，依旧需要通过其他例子来帮助学生理解.

表3

在高中教材对“频率”概念的描述“独立地重复一个伯努利试验”中，“独立”和“重复”这两个关键词是需要关注的.对于“重复”，需要更宽泛地加以理解.例如，面对教材课后练习中的种子发芽问题，对每颗种子来说，发芽或不发芽是不可重复的，但是，可以将这一批的多颗种子的发芽或不发芽看作是重复的实验，进而求解其频率.教材要求在教学时按字面意义理解“独立”，因为在后一节(12.4)中学生就会对随机事件的独立性展开学习.教师可以将12.2与12.4两节内容整合起来.为体现它们之间的联系，约定事件A与事件B至少有一个发生的事件A∪B为事件A，B的“和事件”，由“可加性”，两个互斥事件至少有一个发生的概率是这两个事件的概率之和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)(其中一些名称在高中教材中并未出现，为帮助教师理解内容之间的关联，故给出，后文亦如此).再约定事件A与事件B同时发生的事件A∩B为事件A，B的“积事件”，由“独立性”，两个独立事件同时发生的概率是这两个事件的概率之积，即P(A∩B)=P(A)P(B).“互斥”关系下“和事件”的概率等于概率之和，“独立”关系下“积事件”的概率等于概率之积，两者形成很好的呼应.

高中必修教材中对“独立”的理解仅停留在两个事件(或多个事件中两两之间)是否发生互不影响，从特殊的例子抽象出(相互)独立所满足的定义(公式)，再探究两个(相互)独立的事件所满足的性质及其应用，在选择性必修教材的“条件概率”处再对事件的独立性作补充说明.这也体现了教材先特殊后一般、螺旋上升的认知策略.

课标指出，概率的研究对象是随机现象，为从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法.“概率初步”整章的学习，其实就是建立研究随机现象数学模型的过程，从“认识概率”(知道概率的背景与语言，特别是集合语言)，到“计算概率”(发现规律、归纳定义与性质)，再到“理解概率的意义”(频率的稳定性是以频率定义概率的理论基础，事件发生的可能性大小是客观存在的，是可以度量的).在这个过程中，用集合的语言表达和理解事件之间的关系是至关重要的.在从特殊到一般的教学思想下，不断地、反复地引导学生用数学语言表达、解释描述现象的本质是加深学生对随机现象认识和理解的必经之路.故而将本单元的学习主题凝炼为“类比集合学概率，解释表达促理解”，重点提升学生的数据分析素养和数学表达能力.本单元的知识结构图如图1所示.

在学习主题的引领下，本单元重要的单元学习目标之一(篇幅所限，其他目标不罗列)为懂得集合语言是描述和研究随机现象的重要工具，会用集合语言表示具体实例中的样本空间、基本事件(样本点)、事件等，能类比集合之间的关系和运算理解事件之间的关系和运算，将复杂问题简单化.

二、基于学习主题开展单元学习活动设计

深度学习的又一重要特征是活动与体验.在确定了本单元的核心内容、重要思想方法后，教师需要设计有针对性的学习活动帮助学生掌握教学重点，突破学习难点.如何设计学习活动让学生体会学习内容的必要性？如何设计系列学习活动让学生反复感悟本单元核心的知识、数学思想方法？如何在学习活动中融入信息技术和数学文化？这些问题都是在设计单元学习活动时需要深入思考的.

从“认识概率”开始，用集合语言表达、计算和理解概率问题是贯穿整个单元学习始终的.在单元学习活动设计中，尤其是在前期“认识概率”“计算概率”阶段，通过大量的实例，教师设计问题引导学生用集合语言进行交流与表达非常重要.例如，“样本空间与事件”一课的教学中涉及样本空间与基本事件的定义——一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现(发生)的结果所组成的集合称为一个样本空间，用Ω表示，其中的元素称为基本事件或者样本点.教师可以设计问题链，在师生对话中引导学生对该定义进行准确理解.

教学片段(选自上海空中课堂的教学设计案例)

情境连续射击一个目标5次，观察命中的次数.

问题1在上述随机现象中，所有可能出现(发生)的结果有哪些？在射击之前，是否可以预知会出现(发生)哪一种结果？

生：连续射击一个目标5次，命中次数的结果共有6种——0，1，2，3，4，5.但是在射击之前，我们无法预知命中的次数.

师：在上述随机现象中，射中1次和射中2次的情况是否会同时发生？

生：在这个随机现象的6个结果中，射中1次和射中2次的情况不会同时发生.

师：这个随机现象的所有可能出现的结果共有6个，也就是说所有可能出现的结果是明确可知的.6个结果中，任何两个都不会同时出现，也就是说结果与结果之间是互斥的.随机现象可能发生的结果的特征，与集合中元素具有确定性和互异性相类似.

然后，教师可以给出样本空间和基本事件的定义，并追问.

问题2在上述随机现象中，基本事件有哪些？如何表示这个随机现象的样本空间？

通过特殊的例子，自然地建立随机现象与集合之间的联系，为后续对随机事件进行数学刻画(事实上随机事件是样本空间的子集)奠定基础.

例1写出下面随机试验的样本空间.

(1)抛掷一枚硬币，观察朝上的面.

(2)抛掷一颗骰子(每一面上分别标注数字1，2，3，4，5，6的质地均匀的小正方体)，观察朝上的点数.

(3)从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球(第一次取出的球不再放回)，观察标号，考虑标号顺序.

(4)从装有标号为1，2，3的三个球的袋子中依次取两个球(第一次取出的球不再放回)，观察标号，不考虑标号顺序.

(5)连续掷一颗骰子，直到点数6出现为止，观察掷的次数.

(6)向一面墙随机掷飞镖，观察其在墙面上的落点.

例1的作用是让学生针对具体的随机现象，用集合语言描述其样本空间和基本事件.教师应在此过程中让学生充分讨论，积累随机现象数学化的活动经验.对于小问(1)，抛掷硬币正面、反面朝上可以简记为“H,T”或者“0，1”.对于小问(3)、小问(4)，可以用有序数对“(1,2),(2,1)”或体现无序的“1*2”分别表示其基本事件.另外，可以通过变式让学生更好地理解定义中“依某个角度观察”的含义，其本质就是确定集合中元素的条件.比如，在抛掷一颗骰子的情境中，在“朝上的点数是奇数，还是偶数”或“朝上的点数是质数，还是合数及其他”的不同观察角度下，会得到不同的样本空间.

理解频率的稳定性是“理解概率”的重要基础，因此，“频率与概率”的教学需要尽可能地让学生亲身体验，通过操作实验活动促进他们对知识的理解.对于古典概率中经典的抛硬币试验，可以设计课前小组活动，学生分工合作，记录抛硬币的次数及正面向上的次数，体验数学家锲而不舍、精益求精地追求真理的过程.然后运用信息技术，借助计算机软件或计算器产生随机数来模拟该试验.信息技术的优势是可以很快完成大数次的试验得到结果，从而发现伯努利大数定律的结论.教师还可以对学生容易产生思维冲突的问题进行模拟试验检验，如抛掷两枚硬币，样本空间{两正，一正一反，两反}为什么不是等可能的样本空间.虽然在之前古典概率的学习中教师做过解释，但没有什么比亲身实验得出的结果更能说服学生.对于起始课中介绍的一些反直觉的经典案例(如蒙提霍尔问题等)，也能通过信息技术来模拟随机试验，从而验证理论分析的正确性.教师还可以通过课堂上抛图钉的实验让学生体验用频率估计概率的过程，由于学生不知道图钉针尖向上的概率，这能更好激发他们实验的兴趣.而频率的随机性、稳定性(伯努利大数定律)均可以在实验中引导学生发现、归纳总结.不仅如此，更有意义的是这不是古典概率模型的问题，它告诉学生频率估计概率是对任意随机事件都成立的.“迁移与创造”是引导学生深度学习的必不可少的特征.在设计“频率与概率”一课作业时，可以布置一些创新实践活动.例如，可以让学生根据英文文章中26个字母出现的频率结果，设计出自己专属的键盘，也可以由学生应用所学知识自主提出问题并尝试分析解决.以上一系列的学习活动有利于学生体会“直观感知—大胆猜想—实验探究—理论验证—实际应用”的探究过程，有利于学生理解概率的理论基础，提升他们的实践能力，增强创新意识和科学精神.

类似的作业设计能够体现深度学习“价值与评判”的特征.例如，在“事件的关系和运算”课例中，张建国老师布置了“查阅关于概率定义的发展过程中与公理化形成有关的资料，从中体验和感悟概率论公理化体系的思想”作业.整个单元学习结束后，可以让学生写一篇关于概率单元学习的心得体会，引导学生自觉思考所学知识在知识系统中的地位与作用、优势与不足、用途和局限，对所学知识及学习过程进行梳理、反思、质疑和评价.

以上是笔者结合深度学习理念在设计概率单元时的思考和经验.沪教版高中数学新教材概率单元与旧教材在内容结构、呈现方式、难度要求上有不少差异，在整体把握单元教学的基础上，值得教师结合各校的学情进一步研讨教学细节，提升教学质量.