方程组有解问题转化为方程有解问题的思考*

俞杏明

(江苏省兴化中学 225700)

数学问题解决过程中，经常需要把方程组有解问题，转化为方程有解问题，这必须考虑转化是否等价.

1 解答质疑引发思考

2 溯源而上挖掘隐含

所以方程7x2+8mx+4(m2-3)=0若有解，则解一定在[-2,2]内.

3 提炼升华生成结论

同理有：

例2若2x2-2xy+y2=1，求x+2y的最小值与最大值.

类似地，

4 隐含对应一一兼顾

方程组有解问题转化为方程有解问题时，有时会出现意想不到的错误.

例4若曲线C1：y2=2x与曲线C2：(x-m)2+y2=2有交点，求m的取值范围.

这个答案显然是错误的，当m取较小负数时，两曲线处于相离状态，没有交点.那么，错误的根源是什么？如何避免这样的错误？下面先从简单事例入手进行探讨.

对刚才的例子进行一般化，有如下结论：

同理有：

更一般地，有以下结论：

下面我们重新求解例4.

把例4改编为下面两道例题，体现推导出的结论的效力.

例5若曲线C1：y2=2x与曲线C2：(x-m)2+y2=2有四个交点，求m的取值范围.

例6已知曲线C1：y2+4y=2x与曲线C2：(x-m)2+y2+4y=2有且仅有两个公共点，求m的取值范围.

5 一点说明

代入消元法是处理方程组最基本、最常用的办法.有些方程组尽管需要特殊技巧整理，但最终仍回归到代入消元法轨道上.至于更多元(二元以上)的方程组，可以在文中理念下等价转化为二元方程组，进而用文中结论求解.