双圆弧谐波刚轮刮齿加工原理及刀具设计

莫帅 王赛赛 罗炳睿 岑国建

摘要：为提高谐波齿轮的加工精度和效率，提出一种适应双圆弧谐波刚轮的刮齿加工原理和刀具设计方法.根据包络理论求解谐波刚轮共轭齿廓，并采用最小二乘法拟合；通过构建刮齿加工坐标系和前刀面坐标系求解刮齿刀具共轭面和前刀面模型，并用NURBS曲面拟合；根据牛顿迭代法求解前刀面与共轭面交点获取切削刃数据，导入CAD软件建立刮齿刀具数学模型.在此基础上，分析不同前角和后角对刮齿刀具齿廓误差的影响，结果表明：由于前角和后角，刮齿刀具切削刃实际齿廓和理论齿廓产生一定偏差，该齿廓偏差从齿顶到齿根逐渐增大，并随着前角和后角的增大而增大.

关键词：齿轮加工；齿轮刀具；谐波传动；刮齿工艺；三次B样条曲面

中图分类号：TG721文献标志码：A

Machining Principle and Cutter Design of Double-arc Harmonic Rigid Gear Skiving

MO Shuai1，2，4，WANG Saisai1，2，LUO Bingrui1，2，CEN Guojian3

（1. School of Mechanical Engineering，Tiangong University，Tianjin 300387，China；2. Tianjin Modern Electromechanical Equipment Technology Key Laboratory，Tianjin 300387，China；3. Ningbo Zhongda Leader Intelligent Transmission Technology7 Industry Co.，Ltd.，Ningbo 315301，China；4. Jiangsu Wanji Transmission Technology Co.，Ltd.，Taizhou 225400，China）

Abstract：In order to improve the machining accuracy and efficiency of harmonic gear，this paper proposes a skiving machining and the tool design method for double-arc harmonic rigid wheels. Based on the envelop theory，the conjugate tooth profile of the harmonic rigid wheels is solved，and the least squares method is used to fit it. The conjugate surface and rake surface are solved by constructing the skiving machining coordinate system and rake face coordinate system，and NURBS surface is used to fit. The rake and conjugate surface are intersected by Newton interative method to obtain the cutting edge data，and the mathematical model of skiving tool is established by importing the data to CAD software. On this basis，the influence of different rake edge angles and back edge angles on tool profileerror is analyzed. The results show that the skiving tool has a certain deviation between the actual tooth profile and the theoretical tooth profile due to the rake edge angle and back edge angle，and this deviation increases gradually from the tooth tip to the tooth root with the increase of rake angle and back angle.

Key words：gear cutting；gear cutters；harmonic drive；skiving process；three-times B-splines （NURBS ）surface

在諧波传动中，齿轮的齿形设计及加工工艺对其传动特性有较大影响.随着科学技术的发展，国内外学者对谐波齿轮做了大量分析研究[1-4]，辛洪兵[1]和王家序等[4]指出双圆弧齿形的谐波减速器具有良好的传动质量.由于齿形复杂，谐波齿轮制造工艺受到极大限制，王仕璞等[3]提出以具有正前角的滚刀加工谐波柔轮，并建立刀具模型；Yoshino等[5]根据单元去除理论提出一种特殊齿形齿轮的插齿刀具设计方法.刮齿作为一种新型齿轮加工技术具有比插齿更高的精度和效率.目前，国内关于刮齿刀具设计方法的研究成果较少[6-15]，其中贾康等[7]基于展成加工原理，给出一种由刮齿前刀面与离散曲面相交构建切削刃的方法；Guo等[9]提出一种无理论误差直齿刮齿刀具结构，并建立数学模型，为刮齿刀具参数优化提供参考.

刮齿加工技术尚未应用到谐波齿轮的加工中. 本文以偏离端面一定角度的平面作为前刀面，设计适应双圆弧齿形谐波刚轮加工的刮齿刀具模型，降低刀具加工和磨削难度，使工件具有较小的刃形误差，提高双圆弧谐波刚轮的加工精度和效率.

1刮齿加工原理

刮齿加工方式与插齿类似，都是基于展成加工原理，区别在于切削的作用方式不同.插齿加工时工件和刀具做无间隙啮合运动，同时插齿刀沿工件轴向做往复切削运动.刮齿加工示意图如图1所示，工件与刀具保持恒定的轴交角，同时做旋转啮合运动和轴向进给运动，工件和刀具由于强制啮合而产生一系列微小沟壑，构成工件曲面.在机床作用下刀具沿径向推进，最终完成齿轮的加工[9].

2谐波齿轮齿廓设计方法

2.1双圆弧谐波柔轮齿廓方程

双圆弧谐波柔轮齿廓如图2所示，其基准形式为圆弧-公切线-圆弧.建立柔轮齿廓坐标系XOY，圆弧段圆心坐标O_a（x_a，y_a）、O_b（x_b，y_b），其中x_a=-c_a，y_a=h_a+h_f+d_al_a，x_b=πm/2+c_b，y_b=h_f+d_a+l_b.以柔轮单侧齿廓为例，各参数取值如表1所示，表中r_a和r_b分别为凸圆弧和凹圆弧半径，3为公切线倾角，l_f为公切线竖直距离，α为O_aB与水平方向的夹角.以齿廓弧长s为变量，建立公切线双圆弧谐波柔轮的凸段齿廓、切线段齿廓和凹段齿廓的分段方程.

谐波柔轮凸圆弧BC段齿廓方程为：

谐波柔轮公切线CD段齿廓方程为：

谐波柔轮凹圆弧DE段齿廓方程为：

式中：l₁=r_b{π/2-arccos[（l_b+h_f）/2]-δ}-c_b.

2.2刚轮齿廓方程求解

谐波齿轮传动过程中，柔轮因为波发生器的作用而发生变形，因此常用包络法求解谐波刚轮齿廓[10].图3为谐波齿轮传动坐标系，在图3中，当柔轮在谐波发生器的作用下沿原始曲线C^l运动时，齿廓曲线R^l的包络即为所求刚轮齿廓G^l.

谐波齿轮传动的基本设计参数如表2所示.其中柔轮径向最大变形量w₀取0.5 mm，设柔轮和刚轮齿廓坐标分别为（x_r，y_r）（x_g，y_g）.

方程（4）为谐波柔轮齿廓坐标系向刚轮齿廓坐标系的转换方程，式中包含未知变量φ与s.谐波齿轮在传动啮合过程中满足啮合方程（5），选取并离散s值，代入式（5）可求出对应的φ值.将求解得到的φ与s代入式（4），可得到刚轮齿廓坐标.

图4通过坐标变换模拟柔轮与刚轮的相对运动，直观反映出谐波齿轮传动的啮合特征，刚轮齿廓在柔轮的包络中得到正确验证.

为便于图4的工艺实现，对刚轮齿廓公切线段以直线y=kx+b拟合，对圆弧段以圆形方程（6）拟合.

x²+y²+ax+by+c=0（6）

设刚轮齿廓点（x_i，y_i），令y=f（x，t_j），j=1，2，…，m.取精度为0.000 1，p（t_j）满足式（7），各常数满足式（8）.

将齿廓离散坐标点代入拟合公式，可得刚轮凸、凹圆弧段圆心坐标分别为O_g1（0.139 1，0.332 5）和O_g2（0.338 8，0.582 2）；半径分别为r₁=0.693 7、r₂= 0.759 9；公切线段分别为k=-7.840 1、b=28.507 7.设齿廓方程为F（x，y），在z方向离散可得刚轮齿面坐标点云如图5所示.工件齿面上任意点法失N的分量分别为：

3刚轮刮齿刀具几何参数计算

刮齿刀具与其他齿轮加工刀具类似，都具有切削刃和前后刀面等结构要素[11].刮齿刀具结构如图6所示.

3.1前刀面数学模型

在刮齿加工中，刀具与工件之间存在轴交角，因此采用与端面一定角度的平面作为前刀面，使刮齿刀具两侧刃切削角度相近，减小刃形誤差[12].

图7为刮齿刀具前刀面坐标系.在图7中，坐标系XYZ为前刀面坐标系，X_aY_aZ_a为辅助面坐标系，X₂Y₂Z₂为刀具运动坐标系.前刀面法向量在坐标系XYZ中可表示为n（0，0，1），根据式（10）可得，在刀具运动坐标系中的前刀面法向量为n₁（sinαcosβ，sinβ，cosβcosα）.

式中：B₁为前刀面向辅助面变换的矩阵；B₂为辅助面向刀具运动坐标系变换的矩阵.

在X₂Y₂Z₂坐标系中前刀面方程为：

x₂sinαcosβ+（y₂-r₁）sinβ+z₂cosβcosα=0（13）

3.2共轭面数学模型

3.2.1相对运动速度

刮齿加工坐标系如图8所示.S₁-O₁X₁Y₁Z₁为工件坐标系，S₂-O₂X₂Y₂Z₂为刀具坐标系，S₀-O₀X₀Y₀Z₀和S_P-O_PX_PY_PZ_P为参考坐标系，i、j、k和i_p、j_p、k_p分别为坐标系S₀和S_P对应坐标轴的单位向量.加工运动时刀具以w₂转动并沿z₁轴负方向移动，工件以w₁定轴转动，共轭面与刀具齿面在M点共轭.

S₀和S_P的位置关系为：

k=sin γj_p+cosγk_p（14）

共轭点M在坐标系S_P中满足式（15）：

解得v₁₂在S_P中的分量为：

式中：β₁和β₂分别为工件和刀具螺旋角；n₁和n₂分别为工件和刀具齿数；m为模数.

将式（9）、式（16）代入式（21），可解得S₁绕Z_P转过的角度θ₁.齿面在M点啮合时满足：

整理得共轭面坐标点为：

[x_Py_Pz_P1]=M_P1[x₁y₁z₁1]^T（19）

式中：M_p1为S₁向S_P的变换矩阵.

三次B样条曲面（Non-Uniform Rational B-

（a）主视图

Splines，NURBS）具有良好的局部性质[14-15].为便于切削刃的求解，将共轭面拟合，在其上选取K×L个型值点，设参数u方向为F_i，j.

3.2.2共轭关系

共轭点在啮合运动时满足啮合原理[13].

N_Pv₁₂=M_P1Nv₁₂=0（21）

根据自由端点条件（27）可求得u向控制点V_i，j，将其作为w方向的型值点，以同样的方法求出B样条曲面控制点p_i，j.当参数u和w扫过它的整个定义域时，等参数线描述成如图9所示拟合曲面.

B样条曲面拟合方程如式（28）所示.

3.3主刃和主后刀面模型

共轭面经三次B样条曲面拟合，其中x₂=P₁（u，w）、y₂=P₂（u，w）、z₂=P₃（u，w）.前刀面方程为：

f（x₂，y₂，z₂）=0

x₂、y₂和z₂关系如式（13）所示.共轭面与前刀面交线方程为：

f（P₁（u，w），P₂（u，w），P₃（u，w））=P（u，w）=0

本文采用牛顿迭代法逼近共轭面，拟合点云与等值线P（u，w）=0的距离，获得主切削刃.

将u、w均分为n份，拟合后的共轭面上每一个网格间距为Δu=Δw=1/n，矩形单元Δ_ij的4个顶点与前刀面交线方程对应函数值分别为P（u_i，w_j）、P（u_i，w_j+1）、P（u_i+1，w_j）、P（u_i+1，w_j+1）.主切削刃的求取就是計算共轭面网格单元边与P（u，w）=0的交点，具体步骤如下：

1）将拟合后的共轭面点云代入交线方程并判断每个网格顶点的符号（大于0记为“+”，否则记为“-”）.

2）若共轭面网格单元的顶点符号相同，则与等值线P（u，v）=0无交点，否则转到3）.

3）对于两端异号的单元边，采用牛顿迭代计算交点，对于单元边w_j-w_j+1，设P（u_i+1，w_j+1）为“-”，P（u_i+1，w_j）为“+”，交点（u_t，w_t）中u_t=u_i+1，w_t利用牛顿迭代公式（11）求取.

令w₁=w_j、w₂=w_j+1，设置迭代精度ξ=0.001，迭代至w_k+1-w_k<ξ时w_t=w_k+1.求出对应的u、w值代入x₂、y₂和z₂，可获得交点如图10所示.

当刀具刃磨后，前刀面在刀具运动坐标系中沿Z₂轴方向移动Δb，同时为保证工件全齿高，刀具工件中心距增大Δa，构成一个新的主刃，将所有主刃特征点拟合就构成主后刀面.

4刮齿刀具数字化设计

以双圆弧谐波刚轮为例，设计刮齿刀具三维模型.工件参数为：模数m=0.5 mm，齿数z₁=102，螺旋角β=0，转速n₁=1 000 r/min.刀具參数为：转速n₂= 1 522.4 r/min，齿数z₂=67，速度v=0.1 mm/r.

刮齿刀具设计流程如图11所示.参照3.1节内容求得前刀面方程；根据工件参数按照3.2节内容建立齿面方程.设γ=5°，计算得到共轭面坐标点云，并用三次B样条曲面拟合；根据3.3节内容，设初始中心距a=8.75 mm，改变交点参数Δa = 0.1 mm，Δb = 2 mm，部分交点坐标数据如表3所示.利用式（30）拟合交点即得到切削刃.

将B样条曲线拟合后的切削刃点云导入CAD软件中构建刮齿刀齿面，通过曲面缝合构建单齿模型，将单齿实体阵列获得刮齿刀具实体模型，如图12 所示.

5刮齿刀具齿廓误差分析

在《圆柱齿轮精度制第1部分：轮齿同侧齿面偏差的定义和允许值》（GB/T 10095.1—2008）中，将渐开线齿廓误差定义为实际齿廓偏离设计齿廓的量，该量在端平面内且垂直于渐开线齿廓的方向.区别于渐开线，双圆弧齿廓刀具齿廓偏差Δf可看作齿廓对应点在其半径方向与偏移齿廓的距离.图13为齿廓误差示意图.图13（b）中刮齿刀具剖面I-I端面齿廓对应图13（a）中标准齿廓a，II-II端面齿廓对应标准齿廓b.齿廓b为齿廓a的变位齿廓，标准齿廓凸圆弧段点坐标为（x₁，y₁），对应齿廓b上坐标（x₂，y₂），圆心O_a2对应坐标（x_oa2，y_oa2）.以凸圆弧段为例，将齿廓b绕圆心O_a2逆时针旋转Δθ得到齿廓3.在双圆弧齿廓中忽略长度较小的公切线段，根据位置转换关系可知，对应弧长s的点齿廓偏差Δf如式（32）所示，其中Δθ可根据B₁、B₂和圆心O_a1的坐标求得.

在实际齿廓中，由于前后角的存在，刮齿刀具切削刃上任意点对应端面齿廓变位量Δa不同，其关系如式（33）所示，其中Δl为弧长s对应点与齿廓顶点的垂直距离.将刀具刃磨参数代入齿廓误差计算公式，可得切削刃上任意点齿廓偏差如图14所示.刮齿刀具侧刃齿廓偏差随弧长s的增大而增大，最大齿廓偏差约为3μm.

Δa=Δl tan α_etan γ_e（33）

改变顶刃后角和前角，取侧刃最大误差值对应点计算前后角对齿廓最大误差的影响，如图15所示.由图15可知，最大误差随前后角增大而增大，在对应范围内，最大齿廓误差小于15 μm.在实际切削过程中，虽然较小的前角和后角能有效降低齿廓误差，但也会影响切削效率和刀具寿命.

6结论

1）提出一种谐波齿轮新型加工方法，根据曲面展成原理，通过改变传统加工刀具切削刃与切削的作用位置，设计加工精度和效率更高的刮齿刀具加工谐波刚轮，优化了其加工工艺.

2）根据谐波传动特性求解并拟合刚轮齿廓；由啮合原理和刮齿刀结构特点构建坐标系，求解并拟合共轭面和前刀面模型；将前刀面与共轭面求交并拟合获取切削刃数据，导入CAD软件建立刮齿刀具数学模型.

3）该双圆弧齿廓刮齿刀具设计及对应齿廓误差计算方法，具有一定的通用性，进一步完善了刮齿刀具设计理论，可为其他双圆弧齿廓齿轮加工刀具设计、误差分析及修形等提供参考.

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