虚与实：学生数学素养发展的两翼——以“完全平方公式”为例

王新奇 (江苏省苏州工业园区第一中学 215021)

虚实结合是语文写作的一种技法.所谓“虚”，是指存在于人们的思想和意识中的部分；所谓“实”，是指通过听觉、触觉、视觉等能感觉到的部分.虚与实是相对的，客观为实，主观为虚；具体为实，隐者为虚；当下为实，未来为虚[1].虚与实也是一体的，实为虚之体，虚为实之魂，在具体问题解决的过程中，潜在体内的虚魂是实性的思维方式和解决问题的策略.在初中数学教学过程中，实即客观的、具体的知识技能，虚即隐藏在知识技能中的数学思想方法和数学观念.实承载着虚，虚浸润着实，虚与实就像学生素养发展的两翼.虚实结合，可以凸显数学学习的核心与本质，有力促进学生的素养发展.笔者以为，初中数学教学需要虚实结合.本文结合“完全平方公式”的教学实例探讨如何做好初中数学教学过程中的虚实结合，以培养学生的数学思维，发展学生的数学素养.

1 教学过程

1.1 完全平方公式的引入

计算：(1)(a+b)(c+d)；(2)(x+1)(x-1)；

(3)(x+5)(x+5)；(4)(3x-2)(3x-2).

问题1 观察这4道多项式乘法的运算结果，有什么不同？

追问 观察这4道题计算结果的项数，有什么不同？

问题2 请你写出两组具有上述后两题特征的多项式乘法，并计算结果.

问题3 能否用字母表示你发现的规律？

设计意图完全平方公式作为多项式乘法的下位知识，是学生学习了整式乘法的一般性方法之后，对特殊对象的研究，是公式(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中a=c，b=d时产生的特殊形式.因此，多项式乘法是完全平方公式的生长点，充分利用多项式乘法是教学的关键，有助于实现后续知识的自然生成和学生的自主学习.从实的角度出发，设计的4道计算题拟从整体的角度引导学生经历从一般到特殊的过程，感受特殊化带来的简洁性.既复习了平方差公式，又自然引出了完全平方公式的学习.4个具体算式的支撑，使完全平方公式的引出具有了实性.从虚的角度考量，设计的3个问题，旨在让学生从纯粹的多项式计算这一经验操作中走出来，通过观察、比较和结构分析，从中分离出相同属性(都是两个二项式相乘)和不同属性(结果项数不同)，经历结果属性由一般向特殊演变(由四项到两项或三项).这种特殊是直观的，同时催生了学生产生虚性的思考：这样的两个二项式相乘，结果有怎样的规律呢？通过虚实结合引发的疑问，使学生发现学习的能力得以发展，也将使学生在经历“属性分离”过程后提升抽象水平.

1.2 完全平方公式的验证

问题1 上述规律的正确性需要验证吗？

问题2 根据平方差公式的学习经验，如何验证？

问题3 通过验证，你感悟到哪些数学思想方法？

设计意图完全平方公式的验证与平方差公式的验证方法类似，可以进行经验的迁移.学生在验证平方差公式时，曾经历过运用图形面积和多项式乘以多项式验证的实性过程，积累了从“数”与“形”两个方面进行验证的基本活动经验.通过问题2引导学生做一个虚性的思考，帮助学生通过经验迁移确定验证的基本思路，再予以具体的实性验证.在这个虚实结合的过程中，既有思维的提升，也有活动经验的迁移和再认识，从而使完全平方公式的教学效益最大化.同时，通过“剪”“拼”“割”“补”将不规则图形转化为规则图形来解决的思想方法，也为后续学习勾股定理的证明积累了经验.

1.3 完全平方公式的概括

问题1 请概括一下你发现并验证的规律，并用字母表示.

问题2 公式中的a和b可以代表什么？

问题3 请仔细观察公式的结构，结合学习平方差公式的经验，能否直观、形象地提炼出计算形式？

问题4 在完全平方公式的探究过程中，你感悟到哪些数学思想方法？

设计意图数学是思维的科学，而思维最显著的特点是概括[2].在实性方面，通过图形语言、文字语言及其关系的概括总结，一是去除学生在公式探究过程中对公式非本质属性的认识，把认识统一到“两数和(差)的平方，等于这两数的平方和加上(减去)积的2倍”的多项式乘法这一本质属性上来；二是完全平方公式多视角表征和理解，拓展信息获取及问题分析的路径通道.追问“a，b可以表示什么？”旨在渗透数式通性思想及使用范围.问题3旨在引导学生识别公式特征，可以将模型提炼为“(□±○)2=□2±2□○+○2”的形式，从而突破运用过程中的难点.学生只有识别出公式的特征，才能运用公式解决问题，感悟公式的优越性和数学的简洁美.在充分彰显实性知识的过程中，引导学生回顾知识的发生发展过程，感悟隐藏在知识探究过程中的魂，尽管这个魂是虚性的，但却是必要的.虚实相生，有力促进学生数学素养的逐渐形成.

1.4 完全平方公式的应用

问题1 同学们，根据a，b的可变性，请自主设计符合完全平方公式的多项式乘法算式.

问题2 改变a，b前面的符号，一共有几种情况？通过计算，你有什么发现？

问题3 计算：(1)(a+b+c)2；(a+b-c)2，(2)1032；992

设计意图这个环节的设计，表面上看是实性的操练，实则是引发学生虚性的思考，以促进学生对公式的深度理解.通过学生自己举例编题练习，加深对a，b的意义认识，同时有效地促进学生对完全平方公式结构的主动认知.教师从学生编写的题目中选择有代表性的题目进行计算，并就计算中出现的问题进行班级研讨，引领学生深度理解公式的计算方法.同时，在正视错误、理解错误、纠正错误的过程中，挖掘错误的成因，抓住错误的本质，衍生课堂生成性资源，形成规范的计算步骤，这是一个学生自主探索、教师有效引导、师生互动有机统一的过程.在这个过程中，学生由过去的被动式练习转向主动思考、自主探索，进而形成深度学习.这个过程是实性的，同时也为学生进一步虚性的思考打下坚实的基础.问题2的设计，重点聚焦公式变形，在处理符号的过程中感受和体会内在联系，形成对公式结构的本质理解.问题3的设计旨在进一步引导学生观察公式的结构特征，渗透整体换元和对应思想，同时引导学生从图形面积角度计算结果，提升和挖掘图形计算的价值.应用环节的设计，从应用→思考→创新应用，通过虚实结合，旨在将完全平方公式与多项式乘法、简便运算等原有认知经验逐渐建立关联，使得完全平方公式不再是一个独立的个体存储，而是与其他运算、经验之间形成新的整体关系，进而提升学生的数学素养.

1.5 课堂小结

今天我们探索了完全平方公式，请用思维导图回顾和总结学习过程.

设计意图要求学生绘制思维导图，旨在引导学生对整节课的学习进行回顾和提升，使得学习过程结构化.经过长期的训练，学生的结构化思维能力将会得到提升，这个过程是虚性的，但却引导学生自主实性学习的方向，也是数学教育的价值.

2 教学思考

2.1 学生数学素养的发展，需要求实

形成数学素养的前提是具备扎实的数学基础知识和技能，而基础知识技能训练的主阵地在课堂，这就要求每一节常态数学课都要在求实上下功夫.但是，在求实的过程中，不能让学生被动地接受知识，而是要引导学生主动探索，在知识的发生发展过程中形成实性认识.首先在内容设计上求实，紧紧围绕完全平方公式的特征，观其形、拼其形、定其形、找其形、用其形、补其形，主线明确，层次丰富.其次，在学生活动设计上求实，通过问题驱动、操作驱动、学思驱动，引领学生体悟完全平方公式的本质，特殊化研究公式的外延关联，努力实现有结构、有逻辑、有源头的精准化教学.最后，在学以致用上求实，引导学生自主编题，自主练习，集体纠错，在正视错误、纠正错误中挖掘成因，促进学生主动发现和良好品质的形成.

2.2 学生数学素养的发展，需要务虚

从知识到方法，从方法到思想，这是数学教育的追求，也是从实性知识技能走向虚性思想方法的必然结果.数学思想方法蕴含在知识形成过程中，这是学生理解数学思想方法的良好载体.本节课蕴含两个重要数学思想：从一般到特殊的思想、数形结合思想.笔者试图让学生充分经历知识的形成过程，让学生感受到学习活动是在数学思想引导下进行的，从而使学生既能理解知识的本质，又能感悟到数学思想.以后，学生在解决问题的过程中，特别是遇到困难，需要寻求突破难点的时候，这些积累的数学思维活动经验和数学思想方法将会适时引导他们的有效思维，启发其主动思考获取数学知识.这些隐藏的虚性思考将真正成为思维策略，促进学生数学素养的发展.

2.3 学生数学素养的发展，需要虚实结合

虚实本为一体，在实际数学教学过程中，教师对实性的知识技能往往更加重视，而对虚性的思想方法和思维能力常常容易忽视.如应用环节的设计，注重训练的实性与思维的虚性并行，在训练的过程中渗透转化、对应等思想，打通各知识板块之间的关联障碍，形成“做一题、通一类、连一片”，从而获得新的经验增值，提升解决问题的能力.其实，从数学教育的根本宗旨看，实为虚体，虚为实魂，在解决具体问题的过程中，隐藏着的虚魂将变为实性的思维方式和解决问题的策略指引，这就是学生应该具备的数学核心素养：会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界.正如爱因斯坦所说，教育就是当一个人把在学校所学的全部忘光之后剩下的东西.