动力特征解灵敏度分析的结构关键区域判别

李佳靖 朱宏平 翁顺 宋晓东 杨国静 颜永逸

摘要：实际工程结构体量大、病害多，各局部损伤对结构整体性能影响差异大，关键区域的微小损伤将威胁整体结构安全。因此，有必要判定结构的关键区域，使结构监测、评估、管养主次分明，重点突出。提出了加权融合多阶动力特征解灵敏度的结构关键区域判别方法。基于振型质量参与系数确定了特征解数目和各阶特征解的权重系数，建立了融合多阶归一化的加权特征值和特征向量灵敏度的灵敏度指标，对灵敏度指标求二阶范数得到关键区域指标，作为关键区域判定依据。该判定方法是一种定量的判定依据。将该方法运用于一榀平面框架和一座上承式拱桥，结果表明，框架结构的关键区域为梁柱节点和支座附近的柱子区域，拱桥关键区域为拱圈的拱脚区域；另外，结构关键区域并非一成不变，局部损伤会导致原本不关键区域变成关键区域。研究的关键区域判别方法对提高健康监测和评估效率、节约人力物力有重要意义。

关键词：健康监测；灵敏度分析；动力特征解；关键区域；构件重要性

中图分类号： TU311.3；U447    文献标志码： A    文章编号：1004-4523（2022）05-1181-07

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.016

引言

目前，工程结构设计是基于结构在极限承载力状态下或正常使用状态下的构件设计。这种设计没有考虑到不同构件对结构性能的不同影响。关键构件发生损伤会比非关键构件损伤更能影响结构的性能。例如，关键构件产生裂缝和变形，会大大影响结构的正常使用功能和使用舒适度；关键构件杆件屈服会严重影响结构的极限承载力，甚至引起结构连续倒塌；关键构件刚度降低会使结构产生大的层间变形而进入非弹性状态。判定不同构件的重要性是这类问题研究的基础。构件重要性是指构件对整体结构体系性能的影响程度，整体结构性能包括承载力、可靠性、刚度、变形、稳定性等多个方面。关键区域是重要构件分布的区域，对关键区域进行监测、评估、管养，可以使整个过程主次分明、节约人力物力成本[1]。比如，当确定关键区域后，可以将有限的传感器布置在关键区域，从而保证获得更加准确的关键区域损伤信息。传统上，人们通过结构传力原理和长期的工程经验判别结构体系中的构件重要性。例如，柱子的重要性要超过梁，因此，抗震設计中强调强柱弱梁的设计思想。而对于框架⁃剪力墙结构，剪力墙是主要的抗侧力构件，因此比框架的重要性大。这些判别严重依赖于工程人员的专业素养和经验。

为了进一步量化构件重要性评价，柳承茂等[2] 从刚度的角度分析了构件重要性程度。构件重要性系数定义为拆除该构件而维持结构不变所需要的平衡力大小。该方法没有考虑外荷载对构件重要性判别的影响。叶列平等[3]通过拆除单元对广义结构刚度的影响大小作为关键单元的判定标准。该方法应用于一组分别在地震作用和竖向重力荷载下的平面框架。卢啸等[4]将广义刚度法用于分析一座钢筋混凝土拱桥的关键区域。为了使该方法适用于连续体模型，不受单元划分大小的影响，将计算的单元重要性系数除以单元的体积。高扬等[5]从拆除单元对结构承载力的影响的角度判定单元的重要性。张雷明等[6]从能量的角度综合考虑荷载、构件几何拓扑关系、构件材料属性，判定结构能量流中的关键路径上的单元为关键单元。其中，关键单元的重要性排序根据拆除该单元时整体结构的应变能储存变化大小判定。黄冀桌等[7]考虑构件在总能量分布中的贡献和引起的失效面积判定构件重要性。蒋淑慧等[8]将单元重要性系数定义为拆除该单元后结构冗余度标准差与单元冗余度的商，该商值越大，说明该拆除构件对结构鲁棒性影响越大、重要性越高。杨逢春[9]从单元可靠度对结构可靠度的贡献来判定单元的重要性，其中，该贡献值量化定义为单元可靠度重要因子，与结构几何拓扑关系、单元抗力相关性、单元失效行为等有关，但方法仅被一个简单的索穹顶结构验证。还有其他学者从整体结构刚度矩阵的条件数[10]和行列式[11]、结构几何不稳定性[12]等角度出发进行关键重要构件判别。

特征解灵敏度分析[13]是指对结构的特征值和特征向量关于单元刚度参数求一阶偏导，反映的是区域单元刚度变化对结构整体动力特性（频率和振型）的影响程度。特征解灵敏度分析是一种定量评价单一单元参数变化对结构整体性能的影响程度的分析方法，在可识别损伤单元判别[14]、模型修正参数选择[15]、传感器优化布置[16⁃18]方面得到广泛应用，也可以作为关键区域判定的依据[19]。结构动力特征解的变化预示着结构某些区域发生了损伤[20]。本研究将从结构损伤的角度出发利用特征解灵敏度分析从定量的角度判定结构的关键区域。另外，结构在全寿命周期中会产生变化，例如结构发生局部损伤，这将导致关键区域分布产生变化。本文将进一步探讨结构损伤对结构关键区域分布的影响。提出的方法将应用于一榀平面框架和一座上承式拱桥模型。

1 关键区域判别方法

任何结构都可以看作是由刚度、质量、阻尼等结构特征参数组成的动力系统。结构一旦出现损伤或其他异常，其结构特性（振型、频率、阻尼等）也将发生改变。因此，动力特性改变可视为结构状态发生变化的标志，可以利用其变化对结构进行诊断，例如结构刚度的降低会引起结构自振频率的降低，结构局部振型的改变可能预示着结构局部损伤。结构整体特征参数对单元刚度的灵敏度系数大小反映了该单元对损伤的敏感程度。通常，易发生损伤或已经发生损伤的部位，其特征解灵敏度系数会更大。因此，通过实时动态计算结构单元的灵敏度系数，可以确定结构容易发生损伤的关键区域，即结构探伤和维护的关键区域。

本文研究对象为线弹性结构，线弹性结构的固有振动方程有以下形式：

式中 M 为结构的质量矩阵；K 为结构的刚度矩阵；λ i为结构的第i阶特征值；ϕi为对应的第i阶特征向量。

结构整体刚度矩阵由单元刚度矩阵组集得到：

式中设计参数rj是第j 个单元的刚度因子。Kje是第j 个单元刚度矩阵。L 是单元的数量。在本文中，特征解灵敏度是指关于单元刚度因子的灵敏度。

对振动方程（1）关于结构的第 j 个单元刚度因子rj求偏导，得结构特征值灵敏度∂rj和特征向量灵结构每阶模态（特征值和特征向量）对结构的动力特性的贡献不一样，通常，低阶模态对结构的贡献更大。因此，为了提高效率，通常只保留少量低阶模态对结构进行动力特征分析，例如振型分解法和子结构模态综合法。本文将计算部分低阶特征解灵敏度，进行基于动力灵敏度分析的关键区域判别。为了确保保留的模态能够尽可能真实反映结构的特性，保留低阶模态的数目需要保证结构薄弱主轴方向的振型质量参与系数累计达到90%以上[23]，即：

式中  d 为结构薄弱主轴的方向向量；N 为判定关键区域所保留的模态的数目；wj为第 j 阶振型质量参与系数，反映的是该阶模态对结构动力特征的贡献，也可以作为特征解灵敏度的权重系数。

特征值随着阶数的增加而增加。为了使每阶特征值灵敏度不受特征值大小的影响，对于第 j 个单元，其基于特征值灵敏度的指标定义为与相对特征值灵敏度相关的量，第 j 个单元基于特征值灵敏度的加权重指标如下式所示：

假设结构有 P 个自由度，L 个单元。每阶特征向量灵敏度的尺寸为1×P，也就是说，每阶特征向量对某特定单元刚度的灵敏度共有 P 个元素，且有正有负。为了融合这 P 个特征向量灵敏度元素，对每阶特征向量灵敏度取其元素绝对值之和，得到第j 个单元基于特征向量灵敏度的加权重指标为：

分别找出Sλ（j）和Sϕ（j）的最大值 max（Sλ（j））和 max（Sϕ（j）），将Sλ（j）和Sϕ（j）的每个元素分别除以 max（Sλ（j）），max（Sϕ（j））归一化得到第j 个单元的灵敏度指标为：

第j 个单元基于特征灵敏度的关键区域指标定义为灵敏度指标的二阶范数：

关键区域指标值大的单元所在区域判定为关键区域，而关键区域指标值小的单元所在区域判定为非关键区域。基于特征灵敏度的关键区域指标将多阶特征值灵敏度和特征向量灵敏度融合起来，同时也体现了灵敏度大即该单元比较关键的核心思想。

2 数值验证

通过一榀平面框架和一座上承式拱橋数值算例验证关键区域指标的正确性。

2.1  平面框架

该平面框架是一榀三层的梁柱结构，共有44个节点、45个单元、126个自由度，如图1所示。每个单元为100 mm 长，梁截面尺寸为50 mm×10 mm，柱子截面尺寸为50 mm×5 mm 。质量密度为8.0267×103 kg/m3，杨氏模量为2×1011 Pa。

首先，判定关键区域步骤如下：

1）建立框架有限元模型，框架共有45个单元，故共有45个单元刚度因子；

2）组集框架的单元刚度矩阵和单元质量矩阵得到结构整体的刚度矩阵和质量矩阵；

3）确定框架的薄弱主轴方向为水平方向，计算框架的振型质量参与系数（见式（3）和（4）），发现框架只需要保留前三阶模态就可以满足累计振型质量参与系数90%以上，其权重系数即各阶振型质量参与系数为68.61%，16.59%，6.01%；

4）求解有限元模型前三阶特征值和特征向量（见式（1））；

5）求解前三阶特征值灵敏度和特征向量灵敏度，由于共有45个刚度因子，故此过程需重复45次；

6）求解基于特征值灵敏度的加权指标（见式（5））和基于特征向量灵敏度的加权指标（见式（6））；

7）分别对基于特征值灵敏度的指标和基于特征向量灵敏度的指标关于其元素最大值进行归一化，得到一个融合的灵敏度指标（见式（7）；

8）对融合的灵敏度指标求二阶范数，得到各个单元的关键区域指标；

9）关键区域指标值大的区域即认定为关键区域。

依据上述步骤计算的关键区域指标如图2所示。同时，为了更加直观地显示不同区域的重要程度，根据关键区域指标的大小给不同区域标记不同的颜色。从图2可以看出，红色区域分布在支座附近；粉色和黄色区域分布在其余梁柱节点附近的柱子区域和梁区域。其中，靠近支座处柱子单元的关键区域指标值是最大的。这说明该平面框架的关键区域分布在靠近支座和梁柱节点附近区域。

为了进一步研究结构局部损伤是否会影响结构关键区域的分布，假设该框架某一柱子单元的单元刚度折减50%，该损伤单元的位置如图1所示。对该损伤框架进行动力灵敏度分析，计算的关键区域分布如图3所示。从图3可以看出，最关键的区域分布在支座附近的柱子单元、梁柱节点附近的单元、损伤单元区域。具体地，损伤柱子单元的关键区域指标值从0.083增加到0.524，从最不关键区域（蓝色）变成了相对关键的区域（黄色），这说明了当结构损伤的时候，损伤区域的重要程度大大上升，即损伤区域的刚度变化对结构整体动力性能（频率和振型）影响大。

2.2  怒江特大桥

怒江特大桥为大理至瑞丽铁路线的重点工程及控制性工程。主桥采用跨度490 m 上承式钢桁拱桥，矢跨比1/4.475，拱轴线采用悬链线，拱轴系数2.0。全桥孔跨布置：（7×41 m）连续钢混结合梁（大理岸引桥）＋（14×37.2 m）连续钢箱梁（拱上结构）＋（5×41 m）连续钢混结合梁（瑞丽岸引桥）。桥梁实景图和布置图分别如图4和5所示。

利用 MATLAB 平台建立怒江特大桥主桥有限元模型。所有单元均采用空间梁单元。箱梁采用梁格法建立。主拱和箱梁两端边界条件为固支。立柱和箱梁的连接为一般弹性连接，即6个自由度分别用一定刚度的弹簧模拟。立柱与拱圈的连接为固定弹性连接，即6个自由度用刚度很大的弹簧模拟。

怒江特大桥是一座上承式拱桥，由主梁、立柱、主拱圈组成，全桥共14跨，即14跨主梁、13跨立柱、14跨拱圈，编号如图7所示。首先将每跨作为一个子结构单元，各赋予一个单元刚度因子。同样地，首先确定怒江特大桥的薄弱主軸方向为横桥向，然后根据公式（3）和（4）得到结构横桥向的振型质量参与系数累计曲线和振型质量参与系数，分别如图8和9所示。从图8知结构需要保留前37阶模态（特征值和特征向量）来参与关键区域判别。各阶振型质量参与系数也是作为参与关键区域判别的各阶特征解灵敏度的权重值。

计算前37阶特征解对每个子结构单元刚度因子的灵敏度，再根据第1节公式得到每跨的关键区域指标，如图10所示。从图10可以看出，从整体而言，拱圈的重要性大于立柱，箱梁的重要性大于立柱；边跨区域的重要性大于中间跨区域；其中，拱圈边跨的重要性是最大的，明显高于结构其余区域。

同样地，为了研究损伤对关键区域分布的影响，假设拱圈第3跨和第12跨区域整体刚度折减50%。对损伤后的怒江特大桥拱桥有限元模型进行动力灵敏度分析，得到关键区域指标分布如图11所示。首先能够得到与图10类似的结果，拱圈重要性大于立柱，箱梁重要性大于立柱；边跨区域的重要性大于结构其余区域；拱圈拱脚区域的重要性最大。然后，可从图12和13可以看出，从整体上而言，上下弦杆的重要性要大于腹杆；拱圈最关键部位位于拱脚上下弦杆区域。

3 结论

本文提出了加权融合多阶动力特征解灵敏度的结构关键区域判别方法。该方法融合了多阶归一化加权的相对特征值灵敏度和特征向量灵敏度，将融合后的灵敏度值大的区域判定为关键区域。将该准则应用于一榀平面框架和一座上承式拱桥。

结果表明：（1）框架的关键区域为支座附近柱子区域、梁柱节点附近区域；（2）从构件类型上来说，上承式拱桥的各区域关键程度从大到小分别为拱圈、箱梁、立柱。拱圈的上下弦杆比腹杆关键，拱圈拱脚区域构件是整个结构最关键区域；（3）结构损伤会导致该损伤区域的关键程度上升，因此，在结构全寿命使用过程中需要动态评价关键区域。本文研究探明拱桥关键区域，为监测、评估、管养提供依据，节约人力物力。

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Evaluation of critical region based on dynamic eigensensitivity analysis

LI Jia-jing1，ZHU Hong-ping1，WENG Shun1，SONG Xiao-dong2，

YANG Guo-jing2，YAN Yong-yi2

（1.School of Civil and Hydraulic Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China；2.China Railway Eryuan Engineering Group CO . LTD .，Chengdu 610031，China）

Abstract： The actual engineering structure is usually large-scale and has various local damages . Different damage has different im ⁃ pact on the overall performance of the structure . Small damages in critical regions can threaten the safety of the overall structure . Therefore，it is necessary to identify the critical regions of the structure，so that the monitoring，evaluation，and management of the structure have a clear priority and focus . This paper proposes a method for discriminating structural critical regions based on weighted sensitivity analysis of dynamic eigensolutions . The proposed method deduces the sensitivity of eigenvalues and eigenvec? tors with respect to element stiffness parameters . Firstly，the number of modes for analysis and the weight coefficient of each re⁃ tained mode are determined based on modal mass participation coefficient，and a weighted sensitivity index that combines multi-or⁃ der normalized eigenvalues and eigenvector sensitivity is established . The sensitivity index seeks the second-order norm to obtain the critical region index，which is used as the basis for determining the critical regions . This method is a scientific and quantitative judgment basis，and is applied to a frame and an arch bridge . The results show that the critical regions of the frame structure are the column area near the beam-column node and the support，and the critical regions of the arch bridge are the arch toe area of the arch ring . In addition，the critical region is not static，and local damage can cause the originally uncritical region to become a critical re⁃ gion . The proposed critical region identification method improves the efficiency of health monitoring and evaluation，and to save manpower and material resources .

Key words ： health monitoring；sensitivity analysis；dynamic eigensolutions；critical region；element importance

作者简介：李佳靖（1992−），女，博士研究生。电话：15827252769；Email：jiajingli@hust .edu .cn。

通讯作者：翁顺（1982−），女，博士，教授。电话：13971681883；Email：wengshun@hust .edu .cn。