对一道源自课本的高考试题的再探究

周长春

(北京市第二中学 100010)

文[1]对该题进行了深入的探究，不仅给出了5种不同的解法，而且得到了3个一般化的结论，读后让人深受启发.笔者对该题“再”探究，思考如下问题：

①该题还有没有别的解法？

③将②推广到一般情形后的结论又是怎样的？

笔者通过挖掘|a·e|+|b·e|的几何意义，借助几何直观，得到如下解决过程．

1 利用几何意义求解

(1)构造|a·e|+|b·e|的几何意义

图1

这就是|a·e|+|b·e|的几何意义.

(2)求|a·e|+|b·e|的最大值

下面利用|a·e|+|b·e|的几何意义求 |a·e|+|b·e|的最大值.

图2

当θ=0或θ=π时，上述结论也成立.

因此，将问题一般化，利用|a·e|+|b·e|的几何意义可得出如下结论：

设a，b为非零向量，则对任意单位向量e，有(|a·e|+|b·e|)max=max{|a+b|,|a-b|}.

设a，b为非零向量，|a|=m，|b|=n，利用上面的方法很容易得到文[1]的3个结论，这里就不赘述了.

2 几何意义的应用

(1)变式探究

故当e⊥b时，(|a·e|+|b·e|)min=sinθ.

若θ=0或π，则当e⊥b时，(|a·e|+|b·e|)min=0=sinθ.

综上，(|a·e|+|b·e|)min=sinθ.

此题如果不采取上述方法，解决起来往往非常麻烦，有兴趣的读者不妨一试.

(2)推广探究

将上述变式推广到一般情形，笔者经过探索得到了如下一系列结论：

结论1已知非零向量a,b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，a与b的夹角为θ，e为任意单位向量，则当且仅当e⊥b时，(|a·e|+|b·e|)min=msinθ.

结论2已知非零向量a，b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，若对任意单位向量e，均有|a·e|+ |b·e|≥r，其中r为正常数，则当且仅当r≤m时，a，b存在.

结论3已知非零向量a，b，|a|=m，|b|=n(m≤n)，若对任意单位向量e，均有|a·e|+ |b·e|≥m，则a⊥b.

这些结论的证明方法与上述变式求解过程完全相同，这里略去.

本文是对一道源自课本的高考试题的“再”探究.在探究过程中，一方面强调换个角度思考，深入挖掘|a·e|+|b·e|的几何意义，借助几何直观、数形结合来解决问题；另一方面强调变式，并试着做一般化处理.在平时教学中，教师如果能在引导学生多角度思考问题(一题多解)以及对题目进行变式求解(一题多变)方面多花功夫，对于提升学生的数学核心素养、培养学生灵活运用所学知识分析问题和解决问题的能力，是大有裨益的.