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斯坦纳-莱莫定理的λ-推广

2022-11-14孙四周

中学数学杂志 2022年8期
关键词:斯坦纳平分线常数

孙四周

(江苏省苏州市吴江盛泽中学 215228)

初等几何中有个名气非常响的定理——斯坦纳-莱莫(Steiner-Lehmer)定理[1],内容如下:

如果一个三角形的两条内角平分线相等,则该三角形是等腰三角形.

欧几里得将该结论作为定理收入了《几何原本》,对于其证明却只字未提.直到1840年经莱莫(C.L.Lehmus)重新提起,斯坦纳(J.Steiner)首先给出了证明,引起了数学界极大反响,从此而被称为“斯坦纳-莱莫定理”.此后百余年,全世界的各种杂志上经常可以看到论证这个定理的文章,至今已有接近百种证明.1980年,美国《数学教师》月刊还登载了这个定理的研究现状.这个定理能够保持如此持久的热度,主要是因为它符合“著名定理”的特征,比如:表述非常简单,结论看似显然而证明却往往涉及更深刻的内容.

有趣的是,2012年文[2]用中国古人所擅长的“割补求积法”在不添加任何辅助线的情况下,给出一个简洁(也可以说是“中国化”)的证明.并引申出13个定理,拓宽了它的应用.本文将向另一个方向出发,首先把“角平分线”换成“三等分角线”,进而给出任意等分角的推广(本文中单字母表示角时意义如下:A=∠BAC,B=∠ABC,C=∠BCA).

1 三等分角的Steiner-Lehmer定理

图1

证明由S△ABD+S△ACD=S△BAE+S△BCE知,

如果A>B,则①式左边为正,右边为负;如果A

类似地,对于三等分角的另外一条分角线,Steiner-Lehmer定理也成立.即

证明同上,略.

如果改成“四等分角”“五等分角”……“n等分角”,是否还成立呢?经研究发现,结论是肯定的.事实上我们有更一般的推广.

2 Steiner-Lehmer定理的λ-推广

图2

定理3△ABC中,D,E分别是边CB,CA上的点,且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常数且λ∈(0,1),则AD=BE的充要条件是CA=CB.

此定理的证明比较繁琐,为了体现其层次性和关键技巧,我们先证下面的两个引理,再将证明逐渐展开.

引理1若λ∈(0,1),A,B是△ABC的内角,则A>B的充要条件是sinλA>sinλB.

证明只要证明当x∈(0,π)时,f′(x)>0恒成立即可.

记g(x)=sinλx-λsinx,则g′(x)=λcosλx-λcosx=λ(cosλx-cosx),因为0<λxcosx.故g′(x)>0恒成立,即g(x)在(0,π)上递增.又g(0)=0,故当x∈(0,π)时,g(x)>0.从而知f′(x)>0恒成立,即知f(x)在(0,π)上单调递增.证毕.

由引理1,2知,若A>B,则上式左边为正,右边为负,矛盾;若A

3 Steiner-Lehmer定理的等价形式

图3

在定理3中,研究线段AD与BE的交点S(图3),以及由此产生的线段SA和SB,也是一个很有意义的课题,并且可以得到一系列有价值的结果.

定理4△ABC中,D,E分别是边CB,CA上的点,且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常数且λ∈(0,1),AD,BE的交点是S,则SA=SB的充要条件是AD=BE.

证明一方面,在△ABS中,SA=SB⟺λA=λB⟺A=B.另一方面,△ABC中,AD=BE⟺A=B(定理3).综合即知SA=SB⟺AD=BE.证毕.

综合定理2和定理4,立刻知:

定理5△ABC中,D,E分别是边CB,CA上的点,且∠BAD=λA,∠ABE=λB,其中λ是常数且λ∈(0,1),AD,BE的交点是S,则SA=SB的充要条件是CA=CB.

(1)钻孔放样。在确定帷幕灌浆轴线的过程中,严格按施工图纸进行测量放样。应用木桩对孔的位置进行标识,合理控制桩距,相邻桩距之间的距离控制在20m,在正式开钻前,为了保证孔位和设计位置之间的距离≤50mm,应用米尺再次进行复核。

定理6△ABC的内角平分线AD,BE的交点是S,若SA=SB,则CA=CB(图3).

按照定理6的构图原则,我们构造更具一般意义的图形,可得:

图4

根据欧几里得第五公设知,射线AC′与BC′的交点C′在C的同侧.

(1)如果0<λ<1,则C′在△ABC的内部,即为定理5,已证;

(2)如果λ=1,则C′与C重合,显然;

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