数学文化视角下信息化课例研究*——以“长方体直观图的画法”为例

200444 上海师范大学附属经纬实验学校 顾海萍

200241 华东师范大学数学科学学院 余庆纯

一、 问题提出

《上海市中小学课程标准(试行稿)》提出，数学教学要有数学抽象、探索的过程与体验，能运用数学的思维方式观察、分析问题，同时要有一定的数学视野和数学文化素养，树立理性精神，培育对数学美的感受[1].数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[2].数学文化融入义务教育阶段数学教学，是中小学数学教育改革的新趋势.

“互联网+教育”时代下，信息技术为数学文化融入数学教学提供有力的保障.电子书包是以学生为主体，融合信息终端与网络学习资源的学习载体，是推动教学方式与学习方式变革的动力来源[3].微视频辅助教学能激发学习兴趣，提高学习效率.几何画板、GeoGebra等几何软件是数学探究和数学实验教学的有力工具，能够实现“做中学”[4].数字媒体下的在线博物馆、数字名画等突破空间限制，将中华民族五千年悠久历史积淀下的艺术瑰宝鲜活地展示出来[5].借助信息技术将文化和艺术融入数学课堂，展现学科底蕴和跨学科联系是值得一线教师思考和研究的内容，笔者以“长方体直观图的画法”教学实践为例进行阐述.

“长方体直观图的画法”是沪教版教材六年级下册第八章第二节的内容，主要阐述平面与长方体的画法与表示法.学生已学过线段与角的画法，会用量角器画任意角，用尺规二等分线段与角，知道长方体的基本元素及特征.长方体“斜二测画法”是学生学习的第一个立体图形的画法，需要突破从平面到空间图形的认知跨越，提升直观想象能力，为后续学习长方体中元素的位置与数量关系做铺垫.传统课堂教学普遍直接介绍长方体斜二测画法的规定，学生对于“斜二测画法如何产生”“为何要学习斜二测画法”等问题存在一定的疑惑.

通过查阅数学史料发现，用平面图形表示空间形体有着悠久的历史，而长方体的画法变迁过程为“长方体直观图的画法”教学提供创新思路与实践依据.鉴于此，数学文化视角下“长方体直观图的画法”信息化课例的教学目标拟定如下.

1.通过课前微视频，了解绘图的历史，知道画长方体直观图的必要性；结合几何画板探究“斜二测画法”规定的合理性，培育理性精神.

2.借助数字教材和空中课堂资源，掌握平面和长方体的画法与表示，学会运用“斜二测画法”画出长方体直观图，掌握补画长方体的方法.

3.运用电子书包与数字媒体等技术赏析《清明上河图》，体会数学的社会角色、数学与艺术的学科联系，彰显数学文化，增强民族自信.

二、 教学过程

(一)课前准备

课前，教师用微视频介绍将空间图形绘制在平面上的历史，依次呈现约5000年前我国贺兰山岩画中的投影画法、公元前1世纪罗马建筑师维特鲁维(约公元前1世纪)所著《建筑十书》中水平投影、正面投影与等角投影等画法[6]、我国宋代的工程制图以及宋徽宗(公元1082年-1135年)《文会图》中的投影画法[7].此外，教师还对学生进行了认知前测，问卷内容为“请绘制一个长方体，并写出你认为绘制长方体直观图需要画出哪些元素和特征”.

设计意图：借助微视频，学生了解直观图在艺术和建筑领域的作用，知道绘制直观图的必要性；通过课前测，教师了解学生的认知基础，为课堂教学做好铺垫.

(二)复习引入

思考1如图1所示，编号①-⑥是前测问卷中部分同学绘制的长方体，哪些图更能体现长方体的元素和特征？请说说理由，并将不合适的图排除.

图1

生1：长方体有6个面、8个顶点、12条棱，图④只展示了两个面，图①和图②只有7个顶点，应排除.

生2：依据长方体有6个面，每两个面一组且形状大小相同的特征，排除图③.

生3：数学与美术不同，不需要阴影美化，选择图⑤更能体现长方体的元素与特征.

师：长方体直观图可以像图⑤这样画.这一画法有什么规定吗？下面进一步研究.

设计意图：借助课前测结果，复习长方体的元素及其特征，确定作图要点和元素，了解长方体直观图需要体现长方体的元素和特征，培养学生数学抽象、直观想象素养以及数学说理的表达能力.

(三)规定探究

探究1正方体是特殊的长方体.根据从特殊到一般的数学思想方法，我们先研究绘制正方体的规定.借助几何画板，探究对于不同取值的宽所绘制的长方体的差异.

师：在几何画板中取长、宽、高都为3cm，平行四边形中锐角的度数是45°，像正方体吗？(如图2-1所示)

生：宽偏长，不像正方体.

师：宽取实际宽度的一半呢?(如图2-2所示)

生：像正方体了.

师：宽取2cm呢？(如图2-3所示)

图2-1 长方体1

图2-2 长方体2

图2-3 长方体3

生1：差别不大.

生2：宽取2更像正方体.

师：如果请你们制定长方体画法的规定，你们会如何制定？

生1：如果规定宽取2，宽就是实际宽的三分之二，计算不方便.

生2：宽取实际的一半方便计算.之前学过画线段中点，能用尺规作图画线段中点，作图方便.

生3：宽取实际长度最方便，就是看起来不像.

生4：兼顾视觉直观和绘制方便，规定宽为实际宽的一半更好.

探究2长方体直观图底面平行四边形中∠1的夹角是否一定要是45°呢？

教师运用几何画板变化参数，改变底面平行四边形中锐角的度数(如图3所示)，师生共同确定底面平行四边形长与宽夹角的大小.

图3 夹角数变化的长方体

通过观察讨论发现，角度偏差1°带来的视觉差异不明显，夹角在40°到50°之间时都像正方体，考虑尺规作图方便和视觉美观，取45°更好.此外，学生还有补充：看得见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示，这样更符合视觉直观.从而形成水平放置的平面的画法和长方体斜二测画法的规定.

1.有效化解各类矛盾，保证各项工作平稳进行。一号煤矿在经营、生产、管理运行过程中，厂务公开使广大职工通过知厂情、参厂政、议厂事，把矛盾化解在基层与企业，保证企业稳定发展。企业把职工关心、涉及其切身利益的重大事项向职工代表大会报告，向职工如实公开、接受广大职工的监督，有效地维护了职工的各种权益。一号煤矿每年一度的区队职工代表大会与矿职工代表大会都能广泛征集职工意见，重视吸纳职工的参与，集合集体智慧，尊重职工的知情权、参与权与监督权，深入基层，集中精力，最大限度地解决职工在生产生活中的各类问题，推行以职代会为基本形式的厂务公开，真正实现企业的民主管理。

设计意图：师生借助几何画板共同讨论、分析绘制长方体直观图时长方体中宽与实际宽的数量关系、底面平行四边形中锐角的度数等问题，共同经历长方体直观图画法规定的形成过程，感受“规定”的科学性、合理性与必要性.

操作“画一个长、宽、高分别为4cm、2cm、1cm的长方体的直观图”.师生共同实践操作，经历“阅读书本圈划重点—跟随空中课堂视频作图—下载电子书包‘数字教材’中的‘参考答案’(如图4所示)—对比答案查漏补缺—交流作图要点”的过程.

图4 所求作的长方体

设计意图：学生经历画图过程，掌握斜二测画法.借助信息技术，明确作图要点和过程，以核对“参考答案”查漏补缺的形式，培养学生自主学习能力，在交流讨论中培育其数学表达能力.

(四)回顾历史

思考2如图5所示是西方早期教材中长方体直观图的画法.想一想，不同时期的长方体画法是否有不足之处，分别说一说.

图5 西方早期教材中的长方体

生1：《数学之源》和《实用几何》中的长方体没有画看不见的棱.

生2：《欧几里得集》中的长方体没有使用虚线绘制看不见的棱.

生3：《数学之源》《实用几何》中长方体的宽没有取实际的一半.

生4：《数学之源》《实用几何》和《数学教程》中长方体的长与宽的夹角不是45°.

生5：《立体几何》中长方体的画法与斜二测画法相同.

设计意图：通过历史时间轴，展现西方早期教材中长方体直观图的变化过程.以“思考题”的形式依次呈现，引导学生观察、发现图中长方体直观图绘制的变化及其优缺点，巩固对画法规则的理解，感受长方体画法的历史变迁，培育学生的动态数学观，使其感受数学多元文化之美.

(五)练习巩固

练习学生打开“电子书包”中的“数学教材”完成教师编制的配套练习，进一步巩固平面和长方体的画法和表示法，通过软件的批改功能了解知识掌握情况，教师根据答题情况分析讲解.

探究3若要擦去一个长方体的若干条棱，最多可以擦去多少条，至少需要保留哪些棱才能够补画出原长方体？分别该如何补画？

结合几何画板中的长方体，师生共同讨论，逐步擦除长方体中的棱，发现至少需要保留长、宽、高各一条棱，即最多擦去9条棱(如图6所示)，可以通过作平行线、画相等的线段和角等方法补画出长方体.

图6 待补画的长方体

设计意图：借助信息技术的习题批改和反馈功能，巩固基础知识.通过探究活动进一步掌握长方体斜二测画法，结合信息技术，夯实“双基”.

(六)拓展赏析

《清明上河图》现存于北京故宫博物院，是由宋代画家张择端创作的中国古典现实主义绘画杰作，描绘了繁华富庶的京城居民生活景象[13].依托“电子书包”等技术媒介，打开高清数字版《清明上河图》，欣赏并思考以下问题.

思考3画家是如何绘制平面以及长方体的？是否运用了今天所学的平面画法或者斜二测画法？量一量图中长方体物体长和宽夹角的度数，将发现的相关内容截图上传云端并交流(学生上传的截图如图7-1至图7-4所示).

图7-1 田地图7-2 帐篷顶

图7-3 房子图7-4 箱子

学生分别找到了田地、帐篷顶、房子、长方体箱子等，交流并发现虽然画家的画法与今日所学内容相似，但画家没有统一整个作品中平面和长方体的画法.故猜测画家通过生活感知有了绘制平面和长方体画法的意识，但是并未掌握斜二测画法，如果能按照今天的规定绘图，那么画出来的田和房子肯定会很整齐.

设计意图：借助数字媒体欣赏画作，感受艺术与数学的联系，体会数学在生活中的应用价值.借助数字平台交流功能，提升学习效率，用数学的语言表达，用数学的眼光欣赏.

(七)小结作业

小结环节中，学生回顾了本课中的信息技术应用、斜二测画法规定的探究过程、名画《清明上河图》赏析.教师布置了数学写作作业：图文并茂地将今天所学的平面和长方体画法知识介绍给我国古代的画家.

设计意图：通过数学写作回顾知识，提升学生数学表达能力，使其感受数学与生活的联系.

三、 数学写作

在数学写作中，学生图文并茂地介绍了斜二测画法.有学生描述了斜二测画法绘制长方体的步骤，并说明“斜二测画法可以将长方体画得简洁清晰，简单实用”(如图8-1所示).有学生通过绘制不同规则下的长方体，比较得出“宽取实际宽的一半，因为如果不取一半，看起来就不真实了；长与宽的夹角要为45°，不然不美观；看不见的地方画虚线，这是为了更真实”，逐步讲解说明斜二测画法规则(如图8-2所示).还有学生通过举例分步骤绘图，阐述如何运用斜二测画法绘制一个长方体凉亭“清水堂”，步骤清晰，有理有据(如图8-3所示).另外，也有学生结合文字和图形，进行古今对话交流：“你好！古代的画家，我来自一千多年后，看见了您作的《清明上河图》，感到十分震撼，但仍觉得不够精确，我为您推荐一种画法(斜二测画法)，这种画法可以使景物井井有条，用斜二测画法作图时，要先知道所画物体的长、宽、高.之后长与高保留原数(或比例缩小后的数)，宽取原来(或按比例缩小后的数)的一半作图.作图时，顶面、底面和侧边的两个面画成夹角为45°的平行四边形.”并举例绘制由一个长方体直观图添加其他装饰后得到的亭子(如图8-4所示).

可见，通过数学写作的巧妙方式，能够落实数学史的多元教育价值：巩固数学新知，回顾梳理所学知识；规范语言表达，提升数学表达能力；赏析数学文化，培育理性精神与文化自信.

图8-1 斜二测画法步骤

图8-2 不同规则的长方体

图8-3 长方体凉亭“清水堂”

图8-4

四、 文化内涵

依据“基于数学史的数学文化”理论分析框架[9]，笔者对数学文化视角下信息化课例“长方体直观图的画法”的教学，从五个数学文化内涵维度展开分析.

第一，知识源流.借助微视频、时间轴了解绘图的历史，体会长方体直观图画法的变迁；经历探究斜二测画法规定的形成过程，感受知识源流.

第二，学科联系.通过《清明上河图》中平面和长方体的画法赏析，阐述数学与艺术的联系，再结合数学写作，感受数学对建筑、艺术等跨学科的重要作用.

第三，社会角色.微视频中的岩画活灵活现地描绘动物形象，数字版《清明上河图》栩栩如生地呈现北宋汴京的繁荣，感受直观图的画法在生活中的应用，领悟数学源于生活、服务于生活的本质.

第四，审美娱乐.在几何画板动态演示探究规定过程中体验“做数学”的乐趣，借助几何画板呈现的“如何补画长方体”活动，体现数学趣味，培养学生数学抽象、直观想象素养.

第五，多元文化.以经典画作、建筑图纸、早期教科书中的长方体直观图为素材，展现长方体直观图画法的异同，揭示其文化底蕴，感受中西文化交融.

五、 总结与展望

数学文化视角下“长方体直观图的画法”课例研究，用信息技术辅助“做数学”探究活动，聚焦“画法规定”缘由和历史演进与文化内涵.课前导学中的微视频助力学生了解画直观图的必要性；新知讲解借助几何画板、希沃白板等信息技术教材进行探究，培育理性精神；数字教材中的习题实时反馈，查漏补缺；高清版《清明上河图》让学生穿越时空，拓展视野，从历史到课堂，从数学到艺术，信息技术融合促进数学文化融入数学教学.

未来，数学文化视角下信息化课例研究需要做好以下几点.第一，深挖历史素材，通过查阅早期教材、古代著作、艺术作品等，挖掘契合教学内容的数学史料.第二，蕴含文化内涵，梳理“历史发生序—数理逻辑序—心理认知序”，优化教学设计，阐发数学文化.第三，巧用信息技术，“互联网+教育”时代下，将契合的数学文化内容渗透于课堂，提升学生学习效率，扩展视野，丰富知能，培育文化自信.