APP下载

解析2020年波兰数学奥林匹克不等式试题

2022-11-14杜贵君庞耀辉

中学数学 2022年8期
关键词:根号证法等价

杜贵君 庞耀辉

(甘肃省兰州市第七十一中学 730080)

题目

已知

a

,

b

,

c

>0,求证:①.证法1(代换法) 设则

x

,

y

,

z

>1.由即3=[(

x

-1)(

y

-1)(

z

-·开方变形得(

x

+

y

+

z

)≥27+9=36,则

x

+

y

+

z

≥6,即①式成立.证法2(等价转换法) 首先注意当

a

=

b

=

c

=1时,等号成立.其次,每个分式的“阶”都是“零次”,即分母是1次,分子的被开方式是2次,开平方后算成1次,所以分式是0次.这种分式可令将①式化为②.其中

A

,

B

,

C

为正数,并且

ABC

=1 ③.②式是在条件③式成立时的不等式,在

A

=

B

=

C

=1时等号成立.②式比①式简单一些,但并非实质性的变更,困难依然.②式与①式均有根号,如何“去根号”?

方法1 由均值不等式,得同理,累加后再用均值不等式,得即②式成立.

方法2 由柯西不等式,得

同理,累加后再用均值不等式,得

即②式成立.

方法3 两边平方去掉一些根号,得到等价的④.

注意到

ABC

=1,所以

而于是

]≥2×从而④式成立,故②式亦成立.

上面用最普通的方法将不等式化为尽可能简单的④式,然后利用

ABC

=1及均值不等式导出结果.这是一个训练学生基本运算能力的好题.计划简单,在教师的帮助下,实现也不困难.练习1(自编) 已知

a

,

b

,

c

>0,求证:

提示:注意到可得同理得其余两式,再用均值不等式.

练习2 对正整数

a

,

b

,

c

,求证:

猜你喜欢

根号证法等价
等价转化
一道数列不等式题的多种证法
“实数”检测题
n次自然数幂和的一个等价无穷大
揭开二次根式双重非负性的神秘面纱
将问题等价转化一下再解答
等价转化思想在高中数学中的应用
“实数”易错题专练
“巧去根号”求解不定积分
三个猜想的另证与推广