解析2020年波兰数学奥林匹克不等式试题

杜贵君 庞耀辉

(甘肃省兰州市第七十一中学 730080)

题目

已知

a

,

b

,

c

>0，求证：①．证法1(代换法) 设则

x

,

y

,

z

>1．由即3=[(

x

-1)(

y

-1)(

z

-·开方变形得(

x

+

y

+

z

)≥27+9=36，则

x

+

y

+

z

≥6，即①式成立．证法2(等价转换法) 首先注意当

a

=

b

=

c

=1时，等号成立．其次，每个分式的“阶”都是“零次”，即分母是1次，分子的被开方式是2次，开平方后算成1次，所以分式是0次．这种分式可令将①式化为②．其中

A

,

B

,

C

为正数，并且

ABC

=1 ③．②式是在条件③式成立时的不等式，在

A

=

B

=

C

=1时等号成立．②式比①式简单一些，但并非实质性的变更，困难依然．②式与①式均有根号，如何“去根号”？

方法1 由均值不等式，得同理，累加后再用均值不等式，得即②式成立．

方法2 由柯西不等式，得

同理，累加后再用均值不等式，得

即②式成立．

方法3 两边平方去掉一些根号，得到等价的④．

注意到

ABC

=1，所以

而于是

]≥2×从而④式成立，故②式亦成立．

上面用最普通的方法将不等式化为尽可能简单的④式，然后利用

ABC

=1及均值不等式导出结果．这是一个训练学生基本运算能力的好题．计划简单，在教师的帮助下，实现也不困难．练习1(自编) 已知

a

,

b

,

c

>0，求证：

提示：注意到可得同理得其余两式，再用均值不等式.

练习2 对正整数

a

,

b

,

c

，求证：