高灵敏度6电极平行板电容传感器的理论分析与数值模拟

王福谦， 殷 勇

（西南交通大学希望学院基础部，成都 610400）

0 引 言

为克服传统平行板电容传感器薄膜厚度测量灵敏度低的问题，基于平行板电容传感器的测厚原理［1-5］，提出具有较高厚度测量灵敏度的6电极平行板电容传感器。将理论分析和计算机数值模拟相结合，利用保角变换法、格林函数法及软件Matlab，讨论传统平行板电容传感器与6电极平行板电容传感器的电场，给出2种电容量的表达式，在此基础上比较2种平行板电容传感器度的测量灵敏度，由软件Matlab数值模拟结果，得到6电极平行板电容传感器的灵敏度远高于传统平行板电容传感器的结论，并指出提升6电极平行板电容传感器灵敏度的途径。

1 传统电容传感器的电势与电场强度

传统平行板电容传感器由间距为h、宽度为w及长度为L（L＞＞w）的几何尺寸相同的两平行板电极组成，上、下电极的电势分别为U0和-U0，其沿长度方向的横截面如图1所示。

由于平行板电容传感器的几何尺寸满足L＞＞w，故在垂直于电极长度方向的所有截面上的电场分布均相同，其电场可视为二维静电场，在其任一截面z平面上的电势分布，可用保角变换法来讨论。因为指数函数可将z平面上0＜Im z＜h水平带域变换为ζ平面的上半平面，所以，为了利用格林函数法研究计及边缘效应的传统平行板电容传感器的电势分布，并进一步给出场强分布，可作如下的保角变换［6］

经变换式（1），如图1所示的z平面上的由2电极位置所限定的水平带形域0＜Im z＜h，就映射为ζ平面的上半平面，变换后ζ平面上的平行板电容传感器电极横截面的位置如图2所示。

其端点坐标可由式（1）确定。

经此变换后，z平面上平行板电容传感器内的电势分布，就变换为ζ平面上的位于其上半平面的如下的边值问题：

对式（2）应用格林函数法［7-8］，可得ζ平面上的电势分布

由式（1），有

将式（4）中的ξ、η及由式（4）所确定的ξ1、ξ2、ξ3和ξ4代入式（3），则得z平面上平行板电容传感器的电势分布为

式中：x1＝x3＝-w/2；x2＝x4＝w/2；y1＝y2＝h；y3＝y4＝0。

由场强与电势的微分关系E＝-∇φ，利用式（5）可得传统平行板电容传感器内的场强分布为

为给出边缘效应对平行板电容传感器电场分布影响的直观图像，通过式（5），利用软件Matlab对其场分布进行数值模拟［9-10］，并绘制出其电场线和等势线（面）图（见图3）。图中的电场线与等势线及极板均垂直，场线分布正确合理。

2 传统平行板电容传感器的电容及其随电极间距的变化规律

2.1 传统平行板电容传感器的电容

设平行板电容传感器上、下电极的电势分别为U0和-U0，其自由电荷面密度为σ01及σ02（σ02＝-σ01），当两电极平板间填充有介电常数为ε的均匀介质时，由高斯定理得Dn＝σ01，有

平行板电容传感器电极A的带电量为

平行板电容传感器的电容量为

2.2 传统平行板电容传感器的电容随极板间距的变化规律及其测量灵敏度

图4为由式（9）利用软件Matlab［11-12］绘制出的传统平行板电容传感器的电容量随电极间距在1～5 cm范围内变化图像。由图4可见，当传统电容传感器极板间距较小时，其C-h曲线较陡，曲线斜率的绝对值较大，电容量随着电极间距的增大减小得较快；而当极板间距较大时，其C-h曲线较平缓，曲线斜率的绝对值较小，其电容量随着电极间距的增加减小得较慢。

由式（9）可得，传统平行板电容传感器厚度测量的灵敏度为

图5为由式（10）利用软件Matlab绘制出的传统电容传感器的灵敏度k随电极间距在1～5 cm范围内的变化图像。

由图5可见，当传统电容传感器电极间距较小时，其测量灵敏度较低，当电极间距较大时，其灵敏度较高，传统电容传感器的灵敏度k随电极间距的变化规律与图4给出的其电容C随电极间距的变化规律是一致的。

3 6电极平板电容传感器的电势与电场强度

6电极平行板电容传感器探头由间距为h的两组互相平行板电极组成，上部3个电极电势为U，下部3个电极的电势为-U，电极的宽度和间距分别为w和s，其横截面如图6所示。

各电极长度为L，且L远大于各电极的宽度w。在垂直于电极长度方向的所有截面上的电场分布均相同，可取任一截面为z平面来讨论电势和场强在的分布。指数函数可将z平面上0＜lm z＜h水平带域变换为ζ平面的上半平面，为利用格林函数法计算z平面上6电极平行板电容传感器电势的分布，可作如下的保角变换［6］：

经变换式（11），z平面上由传感器电极横截面位置所限定的水平带形域0＜lmz＜h，映射为ζ平面的上半平面，变换后的ζ平面上各平板电极横截面如图7所示，各电极端点位置坐标由式（11）确定。

经上述变换，z平面上6电极平行板电容传感器内的电势分布就变换为ζ平面上位于其上半平面如下的边值问题

对式（12）应用格林函数法［13-14］，可得ζ平面上的电势

由式（11），有

将式（14）中的ξ、η及由式（14）确定的ξ1—ξ12代入式（13），积分后则得z平面上6电极平行板电容传感器内电势分布

由场强与电势的微分关系E＝-∇φ，利用式（15）并考虑该式中x1＝x7＝-x6＝-x12＝-（1.5w＋s）；x2＝x8＝-x5＝-x11＝-（0.5w＋s）；x3＝x9＝-x4＝-x10＝-0.5w；y1＝y2＝y3＝y4＝y5＝y6＝h；y7＝y8＝y9＝y10＝y11＝y12＝0。可得6电极电容传感器的场强：

为给出6电极平行板电容传感器内电场分布的直观图像，以验证本文所得结论的正确性，下面用数学软件Matlab对电场分布进行数值模拟［15］，电场线和等势线的分布如图8所示。由图8可见，电场线与等势线及导体边界均垂直，场线分布正确，为预期结果。

4 6电极平行板电容传感器的C-h变化规律

为简化6电极平行板电容传感器极板带电量及电容量的计算，令其上极板接地，下极板的电势为U，则由式（16）可得该传感器下部中间电极的电荷面密度

此情形下6电极平行板电容传感器下部中间电极的带电量为

由式（18）得6电极平行板电容传感器中间两电极的电容量为

将6电极平板电容传感器中间两电极用同轴屏蔽线连接到测试电路上，经误差校准后，就可在仪表上读出对应于不同薄膜厚度的电容值。图9为利用软件Matlab绘制的6电极平行板电容传感器中间极板电容量随极板间距在1～5 cm区间变化的图像，由图9可见，当6电极平行板电容传感器的极板间距较小时，Ch曲线的斜率较大，随着极板间距在增加，其电容量减小得较慢。

5 传统平行板电容传感器与6电极平行板电容传感器测量灵敏度的比较

图10（a）～（d）为由式（9）、（19）利用软件Matlab绘制的传统平行板电容传感器和6电极平行板电容传感器电容量随极板间距的变化图像（其中虚线和曲线分别为传统平行板电容传感器和6电极平行板电容传感器电容量随极板间距的变化图像）。结果表明［16］，当介质厚度变化相同时，6电极平行板电容传感器测出的电容值的变化幅度比传统平行板电容传感器的大，测量灵敏度高。对于电极间距在1～4 cm的测厚范围内，由图10中曲线可见，在各图中的w、L、s及εr给定的情况下，6电极平行板电容传感器的平均灵敏度ΔC/Δh大约为传统电容传感器的190%、210%、175%和420%。

由图10可见，与传统平行板电容传感器相比，6电极平行板电容传感器对填充材料厚度的测量具有较高的灵敏度，但随着测量厚度的增加，两种传感器厚度测量的灵敏度的差别变小，但6电极平行板电容传感器的灵敏度仍高于传统平行板电容传感器。

6 提高6电极平行板电容传感器测量灵敏度的途径

根据式（19），通过软件Matlab数值模拟，研究电极的宽度w和电极间距s对6电极平行板电容传感器测量灵敏度的影响，以寻找提高6电极平行板电容传感器测量灵敏度的途径。

6.1 电极间距s保持为常量，电极宽度w变化

由图11可见，在电极间距s一定的情况下，随着电极宽度w的增大，C-h曲线的斜率在增大，6电极平行板电容传感器的灵敏度提高。

6.2 电极宽度w保持为常量，电极间距s变化

由图12可见，在电极间距w一定的情况下，随着电极宽度s的增大，C-h曲线的斜率无明显变化，6电极平行板电容传感器灵敏变化幅度很小，说明电极间距的变化对其测量灵敏度的影响不大。

综上所述，影响6电极平行板电容传感器灵敏度主要因素为电极的宽度w，增大w可提高6电极平行极电容传感器灵敏度，而电极间距s的大小对其灵敏度的影响不大。

7 结 语

计算机数值模拟的研究方法已成为继实验研究和理论分析之外的第3种研究手段。本文将理论分析与计算机数值模拟相结合，研究了6电极平行板电容传感器的输出特性，指出了提高6电极平行板电容传感器测量灵敏度的途径。本文提出的6电极平行板电容传感器，不但继承了传统电容传感器测厚技术结构简单、操作方便、可控性强等优点，还较大幅度地提升了厚度检测的灵敏度，为多电极平行板电容传感器及新型传感器的设计，提供了一种新的方法，在科研上具有一定的理论意义和实用价值，也可供相关问题的研究参考。