考虑射孔孔眼磨蚀对多裂缝扩展的影响规律

张士诚 杨 鹏 邹雨时 石善志 李建民 田 刚

1.油气资源与探测国家重点实验室·中国石油大学（北京） 2.中国石油新疆油田公司工程技术研究院

0 引言

水平井分段多簇压裂是非常规油气实现经济高效开发的关键技术[1-2]。目前，桥塞射孔完井是水平井分段压裂中最常用的完井方式，它能够使较长井段中的多个射孔簇形成多条裂缝，进而实现储层改造。生产数据和裂缝监测结果等表明，多裂缝往往呈非均匀扩展，高达30%以上的射孔簇并未形成有效的水力裂缝，对产能几乎没有贡献[3-4]。普遍认为储层非均质性和缝间应力干扰作用等是造成多裂缝非均匀展布的重要原因[5-8]。因此，促进多裂缝均衡展布是一个亟须解决的现实问题。

目前，现场常用的促进多裂缝均匀扩展的技术手段包括极限限流、暂堵和非均匀布孔等技术[9-12]。为优化上述压裂工艺参数，已有研究建立了水平井多裂缝扩展模型。Wu等[13]基于位移不连续方法建立了二维多裂缝扩展模型，开展了极限限流和非均匀布缝工艺下多裂缝扩展模拟。周彤等[14]建立了水平井缝口暂堵压裂的多裂缝扩展模型，模拟研究了投球数量、投球时机和投球次数对多裂缝扩展的影响。Zou等[15]采用离散元方法建立了天然裂缝型储层中缝内暂堵转向压裂模型，详细研究了不同地质和工程因素条件下暂堵压裂的多裂缝扩展行为。Cheng等[16]从能量角度出发建立了快速高效的多裂缝扩展模型，指出非均匀布缝和限流压裂工艺同时运用时能最大程度地产生均匀裂缝。理论和矿场实践认识到提高孔眼摩阻能有效促进各簇孔眼均匀进液以及多裂缝均衡扩展[17-18]。但室内实验和井下监测结果显示孔眼磨蚀作用非常普遍，压裂前后的孔眼形态会发生显著变化[19-22]。这是由于含有支撑剂的携砂液在高压条件下注入井筒，会逐渐磨蚀孔眼，增强孔眼允许流体通过的能力，逐渐降低孔眼摩阻，对流量分配以及多裂缝扩展具有重要影响[23]。明确孔眼磨蚀作用及其影响规律的研究十分必要，但由于流量系数和孔眼直径呈动态变化且受控因素多，使得对其研究具有一定难度。虽然现有的数值模拟方法逐渐重视孔眼摩阻的影响，但假定整个裂缝扩展过程中孔眼摩阻为一个常数，忽略了实际压裂过程中的孔眼动态磨蚀作用。

为此，本文基于边界元理论建立了水平井“井筒流动—孔眼动态磨蚀—多裂缝扩展”的全耦合模型，研究了孔眼磨蚀作用对水平井各簇裂缝流量分配及多裂缝扩展形态的影响规律，进而优化了孔眼磨蚀作用下的极限限流压裂关键参数，对支撑改进压裂工艺设计具有重要理论意义。

1 多裂缝扩展的数值模型

孔眼磨蚀作用是随压裂进行的一个动态过程，它对各簇流量分配以及多裂缝扩展的影响是不断变化的，要研究孔眼磨蚀作用需要将孔眼磨蚀模型和多裂缝扩展模型进行耦合求解。考虑到高水平应力差条件下多裂缝不易偏转，且为便于理论分析和高效计算求解，建立了平面二维裂缝模型，并且基于RKL方法显示求解流固耦合方程组[24-26]，该方法通过扩大计算稳定域范围来提高求解时间步长，从而提升求解效率。

1.1 固体弹性方程

假设储层为均质且各向同性，采用位移不连续方法求解岩石弹性变形问题，该方法仅需对裂缝面进行离散求解，使问题维度降低一维，即考虑二维裂缝时仅需在一维域（裂缝路径）内求解。求解区域内的任意一点压力可以用裂缝边界上位移不连续量的积分形式表示[27]：

式中pnet表示任意一点的缝内净压力，MPa；Di表示位移不连续量，m；S表示裂缝长度，m；G表示格林函数，表示η点的位移不连续量对ξ点产生的应力，MPa/m2。

将裂缝边界划分为N个等长度的平面单元，分别计算每个位移不连续单元对所有裂缝单元产生的诱导应力，再通过应力叠加原理，可以建立应力与位移矩阵方程组：

式中σn表示法向应力，MPa；σs表示切向应力，MPa；C表示弹性影响系数，MPa/m。

本文为平面二维裂缝，假定裂缝沿着最大水平主应力方向扩展，不用考虑切向应力和切向位移，即法向应力等于缝内净压力，进一步简化方程组如下所示：

式中pi表示缝内流体压力，MPa；σhi表示最小水平主应力，MPa；Gij表示三维修正因子，无因次[28]，考虑实际缝高的影响。

1.2 流体流动方程

假设压裂液为不可压缩的牛顿流体，压裂过程中流体流动分为裂缝中的流体流动和井筒中的各簇流量分配。

1.2.1 缝内流体流动方程

假定流体在缝内的流动为平行板间的层状流，根据泊肃叶定律可得到流体流量与局部压力导数的关系如下[29]：

式中q表示流体体积流量，m2/s；μ表示动力黏度，mPa·s；ν是宽度方向上的平均流速，m/s。

不可压缩流体的质量守恒方程如下：

式中Qinj表示点源处的注入流量，m/s；δ表示点源的克罗内克尔符号，m－1；qL表示滤失速度，m/s。

其中滤失速度（qL）是根据一维Carter滤失模型计算的，该模型基于的假设是裂缝扩展速度远大于流体滤失速度，这对大部分低渗流储层适用[30-31]。

1.2.2 井筒中流体流动方程

流体在井筒中的流动应当满足体积守恒和压力平衡条件，并且类似于电流在电路循环中的流动，因此可根据基尔霍夫定律建立各簇孔眼流量分配的控制方程[32]。在忽略井筒存储的条件下，各簇流量之和应当等于总注入流量。根据压力平衡条件，各簇裂缝均满足井筒摩阻、孔眼摩阻和缝口摩阻之和等于井底压力。联立流量守恒和压力平衡条件，可以建立一个以各簇流量分配和井底压力为未知数的非线性方程组，然后采用Newton—Raphson（N—R方法）方法迭代求解。

1.3 裂缝扩展准则

线弹性断裂力学准则仅适用于裂缝尖端极小区域，为保证准确判断裂缝扩展，一种方法是尖端网格加密，但无疑会降低计算效率，另一种方法是采用适用范围更大的多尺度尖端渐进解，从而在粗网格条件下也能准确计算裂缝尖端宽度。因此，本文采用尖端渐进解来计算裂缝尖端扩展的临界宽度[33]：

式中wc表示裂缝临界宽度，m；K'和E'表示简记符号；KIc表示I型断裂韧性，MPa·m1/2；E表示杨氏模量，GPa；ν表示泊松比，无因次；μ表示流体黏度，mPa·s；ν表示裂缝尖端扩展速度，m/s；r表示到裂缝尖端的距离，m。

考虑裂缝尖端的宽度和流量为零，忽略尖端流体滞后，这在常见的水力压裂施工作业深度条件下是合理的[34]。

1.4 孔眼磨蚀模型耦合求解

经典孔眼摩阻计算公式为[22]：

式中ppf表示孔眼摩阻，Pa；Q表示排量，m3/s；ρ表示流体密度，kg/m3；D表示孔眼直径，m；Np为孔眼数；Cd表示孔眼流量系数，无因次。

孔眼磨蚀作用直接改变孔眼直径和流量系数，Long等[35-36]基于孔眼磨蚀速度与支撑剂的动能相关，提出了半经验的孔眼磨蚀模型，建立了孔眼直径（D）和流量系数（Cd）随时间变化的关系式。

式中C表示支撑剂浓度，kg/m3；νp表示压裂液在孔眼处的平均流速，m/s；Cdmax表示最大流量系数；α和β为两个附加参数，表示支撑剂与套管相互作用对孔眼直径和流量系数的影响程度，分别取值为1.07×10－13(m2·s)/kg 和 1.08×10－8(m·s)/kg。

孔眼磨蚀模型为两个常微分方程，构造高精度的单步法可满足计算需求，应用最广泛的一类高精度单步法是Runge—Kutta方法，其基本思想是利用区间上的平均斜率来提高数值公式的精度。本文采取经典的四阶R—K方法计算D和Cd。

在注入支撑剂以后，根据上一时间步的各簇流量分配，显示计算出当前时间步的孔眼直径和流量系数，再根据式（7）求得孔眼摩阻大小，并带入井筒流体流动的控制方程组中求得当前时间步的各簇流量分配，进而求解流固耦合方程组。数值模型的流程如图1所示。

图1 数值模型求解流程图

2 基于射孔成像数据校正数值模拟模型

孔眼动态磨蚀模型中的两个附加参数α和β是在特定实验条件下拟合得到的，其值决定了数值模拟过程中孔眼直径和流量系数变化速度。由于孔眼磨蚀作用复杂，受控因素多，要兼顾到数值模型的准确性和适用性，需要对α和β进行针对性修正。井下射孔成像监测结果表明，孔眼磨蚀面积与支撑剂进入量呈正相关，基于统计分析可回归出两者的比例系数[37]。本文以准噶尔盆地玛湖凹陷致密砾岩储层的井下射孔成像数据为基础，通过调整α和β校正数值模型。该区块实际施工过程中孔眼磨蚀面积与支撑剂进入量之比为19.857，表示注入1 m3支撑剂会磨蚀19.857 mm2的孔眼面积[38]。在模型校正前，以该区块实际井的储层参数和压裂参数模拟得到了各簇孔眼的磨蚀面积与支撑剂进入量，并回归出两者的比例系数为14.575。随后多次调整附加参数，在α为1.49×10－13(m2·s)/kg和β为1.08×10－8(m·s)/kg时，孔眼磨蚀面积与支撑剂进入量的比例系数为19.846，与该区块实际的统计结果差别不大（图2）。

图2 各簇孔眼磨蚀面积与支撑剂进入量关系图

针对玛湖凹陷砾岩储层开发，本文采用修正后的α和β模拟研究孔眼磨蚀作用下的多裂缝扩展以及限流射孔参数优化。

3 孔眼磨蚀对多裂缝扩展影响分析

基于上述的数值模拟模型，以实际的玛湖致密油气储层参数和施工参数为例，模拟研究水平井单段6簇多裂缝同步扩展时，孔眼磨蚀作用对孔眼摩阻、孔眼直径、流量系数、流量分配以及裂缝扩展均匀程度的影响。压裂段趾端簇到跟端簇裂缝依次编号HF1～HF6。模型输入的基本参数如表1所示。

表1 数值模型的基本参数表

在携砂液注入前，各簇孔眼的流量系数和孔眼直径恒定不变，而孔眼磨阻和流量分配各不相同（图3）。其中靠近跟端的第5、6簇较其他簇具有更大的孔眼摩阻和流量分配占比。在携砂液注入后，孔眼磨蚀作用使得各簇孔眼摩阻均明显降低，并且其变化过程可主要分为两个阶段（图3-c）。在第一阶段中表现为急剧降低的趋势（15～20 min），这是由于各簇孔眼的流量系数从初始值0.6迅速上升到设定的最大值0.9（图3-a），使得各簇孔眼摩阻迅速降低约1 MPa；在第二阶段中呈缓慢降低趋势（20～45 min），这是由于流量系数趋于稳定不变，孔眼直径以相对缓慢的速度逐渐增加（图3-b），使得各簇孔眼摩阻继续缓慢地降低。

图3 流量系数、孔眼直径、射孔摩阻和流量分配随时间变化关系图

这也符合室内实验结果：第一个阶段，支撑剂进入量较少时，孔眼边缘逐渐光滑，但孔眼直径并未显著增加，此时流量系数（Cd）对孔眼摩阻降低起主导作用；第二阶段，支撑剂进入量较多时，Cd逐渐平缓，射孔直径（D）缓慢增大，导致孔眼摩阻进一步降低[22]。此外，在泵注结束后，从趾端到跟端所有簇的流量系数均达到了设定的最大值，但所需的时间为8.2～27 min。泵注入结束后，从跟端到趾端的各簇孔眼直径改变量为0.049～0.170 mm，这说明各簇裂缝的孔眼磨蚀速度和磨蚀程度并不相同，靠近两侧的射孔簇孔眼磨蚀作用更强。这是因为外侧裂缝比内侧裂缝受到的应力干扰挤压作用更小，流量分配更多，孔眼摩阻更大，孔眼磨蚀作用也更强，其流量系数和孔眼直径增加更快。并且由于井筒摩阻影响，靠近跟端射孔簇比趾端射孔簇损失的压力更少，分配的流量更多，孔眼磨蚀作用最强。

在二维多裂缝扩展模型中，裂缝高度是固定的，各簇孔眼的流量分配与各裂缝横向扩展程度直接相关，而流量分配受井筒摩阻、孔眼摩阻、近井弯曲摩阻和缝内摩阻影响，并且当极限限流时（如较小的孔眼直径或者较少的孔眼数目）或者排量较大时，孔眼摩阻较大，对各簇流量分配起主导作用。注入携砂液后产生孔眼磨蚀作用，增大了流量系数和孔眼直径，降低了各簇孔眼摩阻及限流能力，这必然会使各簇孔眼的流量分配以及多裂缝扩展形态受到一定程度影响。携砂液注入后，各簇裂缝的流量分配发生明显变化。靠近外侧的优势簇裂缝（第1、5和6簇）的流量分配进一步增加，尤其是跟端外侧第6簇裂缝的流量分配增加的最显著，而内侧的劣势簇裂缝（第2、3和4簇）的流量分配进一步受到遏制（图3-d）。这是因为在磨蚀作用开始前，优势簇裂缝分配的流量更多，流体通过孔眼的速度更快，携砂液注入时分配的支撑剂也更多，使得磨蚀速度以及最终磨蚀程度都会大于劣势簇裂缝。此外，流量分配曲线的变化趋势与射孔摩阻变化密切相关，射孔摩阻迅速降低时，各簇流量分配变化最为明显，而射孔摩阻趋于稳定时，各簇流量分配也趋于稳定，说明孔眼摩阻对各簇流量分配具有重要影响。

泵注结束后，不考虑孔眼磨蚀作用的各簇进液量差异系数是13.1%，而考虑孔眼磨蚀作用是21.3%，说明孔眼磨蚀作用加剧了流量分配的不均衡程度。并且从多裂缝扩展形态上看，考虑孔眼磨蚀作用后，跟端簇裂缝长度更长，内侧多条裂缝长度更短，裂缝长度差异系数由7.7%增加到了11%，说明多裂缝扩展的均匀程度降低（图4）。

图4 流量分配占比以及多裂缝扩展形态图

4 孔眼磨蚀作用下的限流射孔参数优化

限流压裂技术通常采用限制孔眼数目、孔眼直径或者提高排量来增大孔眼摩阻，促进各簇裂缝均匀进液，该方法简单高效，成为了现场应用最为广泛的技术。矿场监测和数值模拟研究表明，多裂缝起裂和扩展受地应力分布影响较大，高地应力簇的孔眼更难起裂[5,13]。因此，分别模拟研究不同段内应力分布条件下的孔眼磨蚀作用以及限流参数优化。

4.1 段内应力均匀分布下的限流参数优化

对于比较理想的段内应力均匀分布情况，各簇裂缝非均匀进液以及扩展主要受应力干扰和孔眼磨蚀作用影响。以表1的基本参数开展数值模拟，分别研究不同孔眼数目、孔眼直径和排量下的孔眼磨蚀规律以及限流压裂参数优化。

模拟结果表明，当孔眼数目由单簇12孔降低到4孔，或者初始孔眼直径由12 mm降低到8 mm时，流量系数和孔眼直径的变化趋势更陡。泵注结束后，各簇孔眼直径改变量的平均值增加了3倍以上，说明孔眼磨蚀作用显著增强。当泵注排量从18 m3/min降低到10 m3/min时，流量系数和孔眼直径的变化趋势减缓。泵注结束后，各簇孔眼直径改变量的平均值约减小了2倍（图5、6）。这是因为当孔眼数目、孔眼直径减小或者排量增大时，孔眼磨阻增加，限流作用更强，增加了携砂液通过孔眼的速度，使孔眼磨蚀作用增强，导致流量系数和孔眼直径增加更快。这说明限流作用越强，孔眼磨蚀作用也越强。

图5 不同限流参数条件下的流量系数变化图

图6 不同限流参数条件下的孔眼直径变化图

通过开展多组不同孔眼数目、孔眼直径以及排量下的数值模拟，绘制了不同情况下的各簇流量分配差异系数图，可以看出限流作用是起“正作用”，即促进各簇流量均匀分配，如降低孔眼数目、孔眼直径和增大排量时，增加了限流能力，各簇孔眼的流量分配差异系数均降低（图7）：而孔眼磨蚀是起“负作用”，如第3节所述，即加剧各簇裂缝流量分配的非均匀程度。同时限流压裂的“正作用”越强，孔眼磨蚀的“负作用”也越强，两种作用均会影响各簇孔眼的流量分配。

图7 不同限流参数条件下的各簇流量分配差异系数图

图7可知，当限流作用增强时，无论是否考虑孔眼磨蚀作用，各簇孔眼的流量分配差异系数均呈降低趋势，即限流有效，各簇孔眼的流量分配更加均匀。尽管限流作用会增加孔眼磨蚀速度，但是从整体上看，限流的“正作用”还是大于孔眼磨蚀的“负作用”。虽然孔眼磨蚀的“负作用”并没有改变限流“正作用”的整体趋势，但是同等条件下，考虑孔眼磨蚀比不考虑孔眼磨蚀的流量分配差异系数显著增加。说明在限流压裂中，孔眼磨蚀作用会降低限流能力，对各簇孔眼的流量分配以及多裂缝扩展具有不可忽略的影响。由于储层非均质性、应力干扰作用以及孔眼磨蚀作用的存在，实际施工过程中不可能达到完全的均衡进液。为了通过数值模拟来优化设计合理的限流压裂参数，设置流量分配差异系数的标准线来判断流量分配是否均衡。本文设置流量分配差异系数标准线为10%，当流量分配差异系数小于标准线时，可认为流量分配已经较为均衡，该标准线可根据具体储层或者期望达到的流量分配以及多裂缝扩展均衡程度进行调整。模拟结果表明，通过减小孔眼数目限流压裂时，不考虑孔眼磨蚀作用在每簇10孔就能够实现流量均匀分配，而考虑孔眼磨蚀作用需要降低到每簇7孔。通过减小孔眼直径限流压裂时，不考虑孔眼磨蚀作用在11 mm孔眼直径就能够实现流量均匀分配，而考虑孔眼磨蚀作用需要降低到9 mm的孔眼直径。通过提升排量增大限流能力时，无论是否考虑孔眼磨蚀作用，在模拟的排量范围内均未达到均衡的流量分配。从流量分配差异系数曲线的变化趋势来看，限制孔眼数目和孔眼直径比增大排量的效果更加明显，更容易实现流量均匀分配。

4.2 段内应力非均匀分布下的限流参数优化

为了研究段内应力非均匀分布时的情况，设置了3种应力分布状态，即趾端簇高应力（第1、2簇）、中间簇高应力（第3、4簇）和跟端簇高应力（第5、6簇）分布。其中每一种应力状态分布的簇间应力差异均为1 MPa，比如趾端簇高应力分布时，第1和2簇的最小水平主应力比第3～6簇高1 MPa。

对于高应力分布于趾端簇的情况，在携砂液注入前，趾端簇裂缝能够进液，但流量分配占比明显少于其他簇，甚至低于中间簇裂缝，说明趾端簇裂缝能够进液，但是裂缝起裂及扩展受到了高地应力的抑制。携砂液注入后，受孔眼磨蚀作用的影响，中间簇和跟端簇的流量系数迅速增加，并且孔眼直径也逐渐增大，流量分配占比进一步增加。而趾端簇裂缝在携砂液注入不久之后就停止进液，因此流量系数在缓慢增加后就不再改变，孔眼直径也没有增加（图8-a～c）。泵注结束后，趾端簇裂缝并未充分扩展，其长度和宽度都明显低于其他簇裂缝（图9-a）。

图8 流量系数、孔眼直径以及流量分配随时间变化曲线图

图9 段内应力非均匀分布裂缝形态图

对于高应力分布于中间簇的情况，在携砂液注入前，中间簇裂缝在高地应力和应力干扰作用下，其流量分配占比较低，第3簇裂缝甚至不能进液。携砂液注入之后，趾端簇和跟端簇裂缝的流量分配占比继续增加，孔眼磨蚀程度也逐渐变大，而中间簇裂缝流量分配占比降低至零，孔眼未被继续磨蚀，流量系数和孔眼直径基本不变（图8-d～f）。泵注结束后，中间簇裂缝未能充分扩展（图9-b）。

高应力分布于跟端簇的情况，在携砂液注入前，各簇裂缝的流量分配比例较为均匀，这是因为跟端簇裂缝受到的应力干扰作用以及井筒摩阻较小，高应力分布并未能完全抑制跟端簇裂缝进液。携砂液注入之后，在孔眼磨蚀作用下各簇裂缝的流量分配差异增加，值得注意的是跟端簇两条裂缝流量变化呈现出截然不同的表现，其中第5簇裂缝流量分配占比降低，流量系数呈缓慢增加趋势，孔眼直径发生了轻微改变，而第6簇裂缝的流量分配占比增加，孔眼磨蚀速度以及磨蚀程度与其他低应力簇相当，说明该簇裂缝并未受到高地应力的抑制作用。这是因为第6簇比第5簇受到的应力干扰作用和井筒摩阻更小，更不容易受到高地应力的抑制作用（图8-g～i）。泵注结束后，跟端簇裂缝扩展较为充分，多裂缝扩展均匀程度与段内地应力均匀分布时相当（图4-c和9-c）。

通过上述模拟发现，在段内应力非均匀分布时，尤其是趾端簇和中间簇高应力分布，高应力簇的流量分配容易受到抑制，注入携砂液后的孔眼磨蚀作用使得各簇流量分配的非均衡程度更加严重，甚至导致高应力簇裂缝停止进液，裂缝不能充分扩展，需要优化限流射孔参数促进多裂缝均匀改造。相比于增大排量的限流效果并不明显，以及准确限制孔眼直径具有一定的工艺难度，限制孔眼数目能够更加容易满足限流能力。因此，以限制孔眼数目的方式模拟研究多组段内应力非均匀分布情况下的流量分配情况。在孔眼磨蚀作用的影响下，趾端簇、中间簇以及跟端簇高应力分布的情况下，要满足各簇裂缝均衡进液需要的孔眼数目分别为4孔/簇、4孔/簇和6孔/簇。同等孔眼数目条件下，跟端簇高应力分布明显比其他两种非均匀应力分布情况具有更低的进液差异系数，说明跟端簇高应力分布对流量均衡分配的影响更小（图10）。此外，所有情况中考虑孔眼磨蚀作用的流量分配差异系数明显更大，再次说明孔眼磨蚀作用的影响不可忽略。

图10 段内应力非均匀分布下的各簇裂缝流量分配差异系数图

5 结论

1）针对准噶尔盆地玛湖凹陷砾岩储层，以井下射孔成像监测数据校正了孔眼动态磨蚀模型的附加参数，校正后的α和β分别为 1.49×10－13(m2·s)/kg和 1.08×10－8(m·s)/kg。携砂液注入后，孔眼磨蚀作用将增加流量系数和孔眼直径，迅速降低孔眼磨阻，加剧各簇流量分配以及多裂缝扩展的不均匀程度。

2）段内应力均匀分布时，随着孔眼数目、孔眼直径降低或者排量增加，限流作用增强，孔眼磨蚀作用也随之增强。虽然孔眼动态磨蚀没有改变限流作用的整体趋势，但一定程度上增加了流量分配的不均匀性，降低了限流能力。限制孔眼数目和孔眼直径比增大排量的限流效果更加明显，更容易实现流量均匀分配。

3）段内应力非均匀分布时，尤其是趾端簇和中间簇高应力分布，高应力簇的裂缝扩展受到明显的抑制作用，并且考虑孔眼磨蚀作用后将进一步加剧各簇流量分配的非均衡程度，甚至导致高应力簇裂缝停止进液，裂缝不能充分扩展，需要优化限流射孔参数促进多裂缝均匀改造。