基于分类服务机制的可预约排队系统设计和服务定价研究

姜 涛, 路兴政, 刘 露, 黄 甫

(1.山东科技大学 经济管理学院,山东 青岛 266590; 2.惠州学院 经济管理学院,广东 惠州 516007)

0 引言

近年来，随着社会的不断进步，经济的不断发展，现代服务业越来越适应现代城市发展的需求趋势。在现代服务业快速发展的背景下，现代生活中的排队更加重要，排队机制也更加合理，其中的服务可预约的排队模型在服务业中广泛应用，例如医疗专家门诊服务预约、咨询服务预约以及银行业务预约等。这种可提供预约的排队方式虽然给人们的生活带来了极大的便捷，但同时也给服务的优化设计带来了新的挑战。不同于传统的排队模型，服务可预约的本质是改变了不同顾客的服务优先等级，即顾客通过预约可以优先获得服务。然而在服务市场中，仍然会有部分比例的顾客由于各种原因不采用提前预约的方式，而是自发地进入队列。为未预约顾客提供服务虽然可以使服务机构在很多方面受益，比如增加收入，扩大顾客群，树立企业形象和口碑等，但是选择服务未预约顾客可能会打乱服务机构的服务安排，特别是影响预约顾客的服务时间进而影响预约顾客的排队决策。因此，当市场中存在未预约顾客时，服务机构如何进行服务决策以确保服务收益是本文需要解决的关键问题。

本文的研究内容主要与可预约服务和顾客分类两个方面的研究相关。接下来，针对可预约服务和顾客分类(优先权排队设置)两个方面的文献做简要介绍。首先，对于预约服务，Cayirli，Yang和Quek[1]针对不同类型患者设计了不同的服务机制，例如，对未预约且非急诊患者赋予最低优先级，对未按时到达的预约患者降低其优先级。Ahmadi-Javid，Jalali和Klassen[2]对近期医疗服务中门诊预约服务优化设计的研究做了全面综述。受越来越多的在线预约平台的推动，Liu，van de Ven和Zhang[3]从顾客行为选择角度出发，通过建立非顺序服务和顺序服务两类模型，探究预约时段总数最大化目标下的服务设计。Wang，Liu和Wan[4]采用数据分析的方法，利用含有未预约患者的基本预约调度模型，研究服务机构的最优预约策略。更多有关预约服务的文献，有兴趣的读者可以参考Jiang，Shen和Zhang[5]，Liu[6]，Zacharia和Pinedo[7,8]以及文中所涉及的参考文献。

在顾客分类方面，服务系统主要是设置优先权服务机制来对顾客进行分类。例如，Ward和Armony[9]提出了根据分类顾客的不同延时成本分配优先级来减少总体延时成本的目标。Nazerzadeh和Randhawa[10]研究了M/M/1队列中异质性顾客(延时成本和服务感知价值不同)分类服务定价问题。Gurvich，Lariviere和Ozkan[11]从服务顾客数、服务种类数和优先权分级数三个维度研究优先队列中社会效率的决定因素，研究表明，当存在两级优先权的情况下，无论是从企业管理者还是从社会规划者角度，两者均可以实现收益最优。Zhou，Lian和Wu[12]利用优先权排队模型解决带有免费体验服务机制的服务决策问题。Afèche和Mendelson[13]讨论了抢占式和非抢占式优先权拍卖条件下的企业收益和社会福利最优均衡问题。Gavirneni和Kulkarn[14]考虑了M/M/1优先权排队模型，在队列不可见情形下基于顾客等待成本服从Burr分布族，研究顾客高、中、低三种等待成本下顾客的均衡策略以及系统优化问题。Cao，Wang和Xie[15]从顾客延时敏感异质出发，研究M/G/1排队系统的优先权定价问题，研究发现顾客选择策略存在多个均衡点，均衡点的数目以及优先权定价策略与顾客等待时间成本的分布有。Talak，Manjunath和Proutiere[16]考虑多类服务优先权水平的策略性顾客行为以及系统的服务定价问题。刘健等[17]以非抢占型M/M/1服务系统顾客分类为背景，研究顾客不公平规避心理对其服务机制和服务定价的影响。最近，刘健等[18]考虑顾客等待时间成本为均匀分布来区分顾客等待成本的差异，研究垄断型和非垄断型服务系统的服务机制设计与顾客分类服务定价的问题。

不同于上述文献的研究，本文的创新之处是以服务可预约的排队系统为背景，按照对研究问题建模、求解、分析的逻辑主线，通过两种服务策略下顾客之间的平均等待时间的对比和顾客等待厌恶心理参数构成全新的顾客效用模型，进而探究服务提供商的分类服务的优化决策问题，具体内容包括以下几个方面：(1)在何种情况下，服务提供商选择分类服务机制来服务未预约顾客？(2)如果服务提供商不采取分类服务机制，那么在什么情况下可以服务所有的预约顾客，又在什么情况下仅能服务部分预约顾客？(3)面对预约顾客的不同市场规模，服务提供商又该如何选择服务策略以使收益最大化？

本文的主要贡献包括：(1)从模型上，本文针对服务可预约的排队问题建立M/M/1非抢占型优先权排队模型，该模型可以有效地适用于现代服务体系中体现顾客分类服务特点的可预约服务系统；(2)从方法上，本文利用两种服务策略下顾客之间的平均等待时间的对比和顾客等待厌恶心理参数构成新的服务效用模型，结合顾客行为特点利用排队经济学的思想和方法，来解决服务可预约排队系统的优化设计问题，研究内容可以有效地扩展排队经济学领域的分析方法在实际问题的应用；(3)从数值算例上，通过参数的敏感性分析，提供了一些定性的信息和直观的解释，并得到一些新的管理启示。

1 模型描述与服务效用模型构建

1.1 模型描述与假设

考虑服务能力有限的垄断型服务可预约排队系统。由于系统是允许顾客通过预约的形式提前进行排队，因此，系统中的顾客可以分为两类：预约顾客和未预约顾客。相比于一般排队系统的到达过程，服务可预约的排队系统相对复杂。在不考虑预约顾客到达时间问题的情况下，预约顾客可以按照优先服务的规则进行服务，未预约顾客按照到达时间顺序进行服务，即先到先服务的原则。为便于分析，本文不考虑预约顾客出现爽约和不按时到达的情况。根据可预约排队系统的运行机制和规律，本文将研究问题建构为M/M/1非抢占型优先权排队模型，其中，预约顾客比未预约顾客具有高优先权，且不会中断正在服务的未预约顾客的服务，但是未预约顾客的服务会影响预约顾客的等待时间。假定顾客通过服务可以获得相同的服务感知价值R>0，服务提供商设置的服务价格p≥0，预约顾客的单位延时成本c>0，进一步，将预约顾客和未预约顾客看作是两组不同的到达队列，两类顾客的到达时间间隔分别服从参数为Λs和Λw的指数分布。由于预约顾客和未预约顾客需要的服务时间具有不确定性，其服务时间可假设服从参数为μs和μw的指数分布。需要说明的是，在现实生活中的一些场景中，可能会出现顾客需要的随机服务时间与“预约”还是“不预约”关系不大。但是，在很多情况下，也会出现对于预约顾客和未预约顾客的服务率是不同的现象。例如，顾客选择预约服务时，可以通过手机号、APP、微信等方式预约，在接受服务时，顾客只需要提供预约信息便可以接受服务，这样可以简化服务流程，继而缩短其服务时间。以酒店的预定为例，预约顾客到达酒店可以通过身份证等信息验证后直接接受服务，而不用在接受服务时再进行信息的沟通，这样显然节省了服务时间。

不同于先前文献的研究，本文考虑了分类服务对预约顾客从心理上产生的不满意感。当服务提供商采取分类服务机制即选择服务未预约顾客时，自发加入的未预约顾客可能会延长预约顾客的等待时间，由此引起的预约顾客等待时间差异会导致其产生等待厌恶的心理。本文将用参数α来表示预约顾客等待厌恶，其中α≥0，然后利用采取分类服务机制和不采取分类服务机制时预约顾客的平均等待时间之差Ws(λs,λw)-Ws(λs,0)与预约顾客的等待厌恶参数α，将预约顾客等待厌恶心理引起的负效用表示为α[Ws(λs,λw)-Ws(λs,0)]，其中Ws(λs,λw)表示的是当预约顾客和未预约顾客的实际(有效)到达率(服务提供商单位时间内允许进入系统的预约顾客数和未预约顾客数)分别为λs,λw时,服务提供商采取分类服务机制时任一预约顾客的平均等待时间。此外，为保证预约顾客能够接受服务，假设R>c/μs+p，即不需要等待的预约顾客服务结束后可以获得正效用。需要说明的是，本文设定顾客等待厌恶心理参数是一个外生参数而非内生参数，事实上，在服务过程中，顾客的等待厌恶心理程度确实与顾客的等待时间、服务感知价值和服务的延时敏感度等多种因素有关，然而量化等待厌恶与这些因素的关系是需要结合现实数据来分析的。根据确定的函数关系，我们可以分析这些相关因素对等待厌恶心理的变化以及对服务提供商收益的影响。但是，本文的研究重点是结合顾客等待厌恶心理，分析服务提供商的服务策略选择问题，并没有考虑这些影响因素的改变所引起的顾客等待厌恶心理变化对服务策略带来的影响，因此探究这些因素对等待厌恶心理的影响将是未来的研究目标。

1.2 服务效用模型

在服务系统中，顾客对时效性非常敏感，因此，顾客在接受服务时，除了考虑价格因素，排队过程中等待时间的长短也会影响顾客的服务效用。接下来，定义U为预约顾客接受服务后获得的期望效用，那么根据服务提供商的策略选择(是否采取分类服务机制服务自发到达的未预约顾客)，U具有如下表达式:

(1)

根据以上表达式，服务提供商的决策行为如下：

服务提供商首先决定是否采取分类服务机制即是否服务未预约顾客。如果不采取分类服务机制，也即不服务未预约顾客，那么服务提供商需要根据预约顾客的实际到达率合理调整服务定价，即

p=R-c/(μs-λs)

(2)

相反地，如果服务提供商决定采取分类服务机制，那么服务提供商需要控制未预约顾客的实际到达率λw来保证所有的预约顾客能够得到优先权服务。此时服务定价需要结合预约顾客的服务效用并根据如下表达式进行动态调整:

p=R-cWs(Λs,λw)-α[Ws(Λs,λw)-Ws(Λs,0)]

(3)

2 服务提供商的最优服务决策

根据顾客的服务效用模型，为便于分析，定义Πw(Λs,λw)为采取分类服务机制时的平均收益，Πs(λs)为服务提供商不采取分类服务机制时的平均收益，那么有如下表达式:

(4)

表达式Πs(λs)说明当服务提供商不采取分类服务机制时，受限于服务能力大小，其要么安排部分预约顾客接受服务，要么允许全部预约顾客接受服务；表达式Πw(Λs,λw)说明当服务提供商采取分类服务同时服务预约顾客和未预约顾客时，那么将会有两部分顾客接受服务，一部分是全部的预约顾客，另一部分是服务提供商允许进入系统的未预约顾客。下面给出服务提供商两种决策选择的最优结果。

定理1当服务提供商有两种决策选择时，那么有如下结果：

(5)

策略2服务提供商采取分类服务机制，即服务提供商选择同时服务预约顾客和未预约顾客,那么当λw∈[0,μw(μs-Λs)/μs]时，Πw(Λs,λw)是关于λw的严格凹函数，此时未预约顾客最优的实际到达率(服务提供商单位时间内能够提供服务的最优未预约顾客数)以及对应的最优服务定价分别为

(6)

定理1给出了服务提供商两种服务机制选择下顾客的最优到达率以及最优服务定价。当服务提供商不采取分类服务机制即仅服务预约顾客时，预约顾客不会产生等待厌恶的心理，此时服务提供商需要根据预约顾客的服务感知价值、单位延时成本以及设置的服务速率来控制预约顾客的有效达到率，进而设定最优的服务价格以使服务收益最大化；当服务提供商采取分类服务机制即同时服务预约顾客和未预约顾客时，预约顾客等待时间的增加会引发预约顾客等待厌恶的心理，此时为保证全部预约顾客能够得到服务，服务提供商需要根据预约顾客的市场规模、服务感知价值、等待厌恶程度以及设置的两类顾客的服务速率等多个参数来控制未预约服务顾客的有效达到率(单位时间的到达人数)，进而设定服务定价以使服务收益最大化。

结合以上引理，下面给出服务提供商在不同情形下的最优服务策略。

(1)Λs<λu。这种情况下，服务提供商的最优服务策略是采取分类服务机制，此时未预约顾客的最优到达率以及最优的服务定价分别为

3 数值算例

5 结语

本文以服务可预约的排队系统为背景，基于顾客的异质性将其分为两类，进而研究服务提供商的服务机制选择和最优定价策略。本文首先结合顾客的等待厌恶心理建构全新的顾客服务效用模型，继而分析服务提供商在采取分类服务机制和不采取分类服务机制两种服务策略下的最优服务决策，并探讨服务提供商如何根据预约顾客市场规模合理制定服务策略。最后通过数值算例对建立的模型及得到的结论进行验证和分析。研究结果表明，当预约顾客的市场规模比较小时，服务提供商可以采取分类服务机制来提高收益，但是需要控制服务未预约顾客数，以确保所有的预约顾客能得到服务。当预约顾客的市场规模比较大时，此时服务提供商的服务策略是选择放弃分类服务机制，并根据自身的服务能力，服务全部的预约顾客(部分比例的预约顾客)。此外，数值结果显示，当预约顾客的市场规模小于某个阈值时，其等待厌恶程度可以显著增大服务提供商的服务定价，当等待厌恶心理程度较大时，服务提供商需要适当提高服务定价来控制服务的未预约顾客数量，进而减少预约顾客等待时间的差异，以确保服务全部的预约顾客。服务提供商的服务能力也是影响顾客服务机制选择和服务定价的关键因素，服务能力的变化会引起顾客的平均等待时间的改变以及顾客等待厌恶心理的变化，进而影响服务提供商的服务决策，因此，在进行服务设计时，应根据预约顾客的市场规模并在服务成本一定的前提下合理确定服务能力，进而实现服务收益最大化的目标。本文的研究结果对服务提供商制定合适的服务策略具有一定指导意义和应用价值，研究结论也可以提醒读者注意如何有效利用顾客等待厌恶心理的考虑因素对服务可预约的排队系统进行建模，并设计完善有效的服务机制。

研究过程中，为了得到解析结果，我们仅考虑了单服务员的排队模型，因此接下来的研究可以考虑多服务员排队模型以及顾客到达率和服务率对顾客平均等待时间的改变对顾客等待厌恶心理的变化，进而研究服务系统的服务机制设计、服务能力规划以及服务定价研究。此外，在本文的研究中，我们假设两类顾客的定价策略是一致的，即以预约顾客的服务定价为标准，而在有些应用场景下，预约机制的引入可以使预约顾客用较低的价格获得与不预约顾客同质的服务，因此讨论“预约”与“不预约”两种不同价格策略这将是我们未来进一步研究的问题。最后，我们也可以在本文的基础上考虑顾客有限理性行为对服务提供商服务决策的影响，这也是我们未来进一步研究的工作。