混凝土损伤变量及评价标准在抗震性能化设计中的应用

2022-11-10龚敏锋

建筑结构 2022年21期

张谨，龚敏锋

(1 东南大学土木工程学院，南京 210096；2 中衡设计集团股份有限公司，苏州 215123)

0 引言

建筑结构的抗震设计通常按“规范方法”进行，而随着建筑形式的日益丰富，以及建筑结构在地震作用下安全性能需求的不断提升，基于性能的抗震设计方法(简称抗震性能化设计)开始逐步发展并得到越来越广泛的应用[1]。而以弹塑性分析，尤其是动力弹塑性分析验证结构性能表现，包括屈服机制、损伤和变形程度等，通常是抗震性能化设计中的必要工作。因此针对分析结果建立一套科学评价结构抗震性能的指标体系至关重要，同时相关评价指标应方便从分析结果中获取。

1 现有评价方法

目前，国内规范包括《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010)(2016年版)[2](简称抗规)和《高层建筑混凝土结构技术规程》(JCJ 3—2010)[3](简称高规)，均针对混凝土结构的性能目标设定与评价给出了相关条文。以高规为例，其将结构整体性能目标划分为A～D四个等级，结构抗震性能划分为1～5五个水准，每个性能目标对应不同地震水准下的性能水准(表1)，定性地列出了不同抗震性能水准下结构和不同构件对应的性能表现(表2)。高规中明确定义了如层间位移角等作为结构整体性能的评价指标，但并未针对构件的损坏等级给出定量的评价方法，即对于构件塑性发展的验收标准尚不明确。

表1 结构抗震性能目标性能水准(高规表3.11.1)

美国规范ASCE/SEI 41-17[4](简称美规41-17)将构件按破坏行为分为变形控制和力控制，变形控制构件的广义力-广义变形非线性关系曲线如图 1所示，其中AB段代表正常设计弹性阶段，BC段代表屈服延性阶段，C代表屈服后极限强度，DE段代表构件严重破坏后的残余强度阶段。美规41-17中按主次要构件，将构件性能基于变形大小划分为立即入住(IO)、生命安全(LS)和防止倒塌(CP)等三个基本性能水准，并同时给出了包括钢筋混凝土梁、柱、墙和连梁等构件的塑性弦转角在不同性能状态的限值。

广东省《建筑工程混凝土结构抗震性能设计规程》(DBJ/T 15-151—2019)[5](简称广东省规)为我国首部性能化设计专项规程，其将构件性能状态划分为无损坏、轻微损坏、轻度损坏、中度损坏、比较严重损坏和严重损坏等(图2)，以弹塑性位移角为变量，给出了钢筋混凝土梁、柱和墙等构件在弯曲控制和弯剪控制破坏下不同性能状态的限值。

《建筑结构抗倒塌设计标准》(CECS 392—2021)[6](简称抗倒塌标准)中，将压弯破坏的钢筋混凝土结构构件损坏等级划分为1～6级，依次对应无损坏、轻微损坏、轻度损坏、中度损坏、比较严重损坏和严重损坏6个损坏等级，以钢筋、混凝土应变的材料性能指标和构件最大转角的构件变形指标，分别给出了不同损坏等级的判别标准(图3)。

综合现有中美各规范标准，主要采用塑性弦转角、弹塑性位移角等构件变形指标(部分采用材料应变指标)作为构件性能水准的判别依据。根据各自骨架曲线和相关定义，各规范标准间性能水准的大致对应关系如表 3所示。

表3 不同规范标准性能水准对应关系

在实际应用中，由于所使用的弹塑性分析软件不同，模型假定、本构类型和输出结果也不尽相同。以构件的恢复力模型为例，在受弯为主的构件中，如采用基于截面的塑性铰模型，可在计算效率和结果直观性上更具优势；而对于压弯构件，当采用基于材料的纤维模型时，则可更全面和便利地考虑轴力与弯矩的耦合关系。目前常用软件的构件建模方式和输出结果类型如表 4所示。

表4 常用软件建模方式和输出结果类型对比

由表4可知，构件损伤程度的判别方式主要分为基于构件变形指标和基于材料性能指标两类。其中构件变形评价标准是基于大量的试验现象描述和变形测量形成的综合结果，而构件的变形监测通常建立在混凝土裂缝开展和纵筋屈服等基于材料性能的试验同步监测基础之上，两者在本质上趋同。在应用中，基于转角等构件变形的评价标准，构件采用塑性铰建模的适用性和易用性较好；而当构件采用纤维梁和分层壳建模时，更适合采用基于材料的应变和损伤变量等指标进行损坏等级的评价。

ABAQUS和SAUSAGE等软件提供了混凝土损伤本构模型，可直接在后处理中输出损伤变量(因子)结果，以此作为构件的评价指标，较直观和便利。但目前国内外相关规范较少提供统一的损伤变量(因子)定义和损坏等级的判别标准，实际应用中也由于不同软件或不同设计人员采用的方法不一，导致结果存在差异，难以进行对比。

本文拟从损伤力学基本概念出发，结合现有混凝土规范和相关文献，梳理损伤变量的定义。基于具有明确力学意义的损伤变量提出计算方法和相应的损伤等级评价标准，可有效应用于弹塑性分析及性能评估，对规范和完善现有的结构性能化设计与评价方法有一定的参考意义。

2 损伤力学与损伤变量

2.1 损伤力学的基本概念

损伤力学与弹性力学、塑性力学一样，为固体力学的一个分支学科，自俄罗斯学者Kachanov于1958年首次提出损伤的概念以来，已逐步发展成为追踪材料从变形、损伤到失稳或破坏全过程的重要研究学科，并处于不断发展完善中。

损伤力学不同于传统材料力学将研究对象假设为均匀、连续的理想材料，而是认为工程中的材料、构件和结构，不可避免地存在诸如微空洞、微裂纹和微空隙等各种各样的微缺陷，其在荷载、温度变化或腐蚀等外部因素作用下将不断发展，从而造成构件或结构的强度、刚度、韧性下降或剩余寿命降低，这类现象即称为损伤。

损伤按加载过程可分为延性损伤、塑性损伤、蠕变损伤、疲劳损伤和动态损伤等，对于混凝土材料，由于其不均匀性、多相性，以及多样的工作环境，通常会同时发生上述多类损伤。尽管不同材料和不同工况下，构件损伤表现形式多样，但从热力学角度来看，其本质都是需要耗散能量的不可逆过程，宏观上可以损伤场描述[7]。

2.2 损伤变量

损伤变量是对损伤场的表征变量，最早由Kachanov提出，用来描述材料受损的连续性能变化状态。之后俄罗斯学者Rabotnov对其进行了推广，使损伤变量D的物理意义更加清楚，即：

(1)

3 损伤力学的分析方法

目前损伤力学的主要研究方法采用基于宏观的“唯象学”方法，通过在材料本构关系中掺入损伤场变量，以真实描述受损材料的宏观力学行为。其理论基础包括连续介质力学(质量守恒定律、动量守恒方程、能量守恒定律)、等效性假定和不可逆热力学(热力学第二定律，即熵增原理)。

等效性假定通常包括应变等效或能量等效两类，实际应用中，由于物理意义明确，表达形式简单，多采用应变等效假定。

3.1 应变等效原理

假设损伤为各向同性的单标量，则有效应力可采用损伤变量D和名义应力σ表示为：

(2)

应变等效原理示意图如图 4所示，基于应变等效原理可推导出：

(3)

由式(3)可得：

(4)

(5)

式(5)将微观定义的损伤变量与宏观可测的弹性模量建立了关系，即可用不断卸载的方法来测量材料损伤后的卸载模量，从而反算当前的损伤变量。图 5为采用该方法，对室温下铜材损伤变量的测量结果[9]。由图可得，当弹性模量由1×105MPa下降为2×104MPa时，损伤变量由0上升为0.8。

3.2 基于热力学框架的研究方法

如前所述，损伤为一个不可逆的热力学过程，而静载下发生的损伤过程非常缓慢，可认为每个时刻都是平衡态(准静态过程)。损伤问题可以通过考虑耗散的热力学函数来开展研究，其中能量的耗散主要由外部状态和内部状态的变化引起。

外部状态变化是指发生变形耗散的能量，单位时间内所耗散的功可表达为：

σV:ε+σp:εp

(6)

式中：σV为非弹性应力张量；ε为应变张量；σp为引起黏塑性应变的应力张量；εp为黏塑性应变。

内部状态变化是由各类因素引起的物理或化学变化，内部状态变化耗能率可表达为Aiαi(αi为内部状态变量，Ai为αi变化单位值的耗能，又称为与αi对偶的广义力)，其中损伤变量属于内部状态变化的一种，与其对偶的广义力为损伤耗能率，以Y表示。

外部和内部状态变化耗散的能量将全部转变为热，除了流失的能量▽·q，其余被微团吸收引起熵值增加，可表示为：

(7)

式中：▽为散度符号；q为热流密度；▽·q为单位体积输出热量；ρ为密度；T为温度；s为单位质量获得的熵。

在热力学框架中，结合热力学第一定律(能量守恒方程)和第二定律(熵增原理)，可以建立以势函数的偏导表示的状态变量方程，包括自由能密度函数和耗散势函数。理论上可得到一般损伤演化模型如下式所示(忽略微塑性应变)：

(8)

结合相关试验数据等约束条件，即可以此确定不同类型损伤变量的模型参数和演化方程。

3.3 损伤力学的应用过程

根据上述损伤力学概念及研究方法，在实际结构损伤分析中的应用过程可归结如下：

(1)选择合适的损伤变量，需具有明确的力学意义，可表征研究对象的内部变化，并便于分析计算、间接测量与试验(反演)。

(2)确定含损伤变量的本构关系及损伤变量演化方程，包括基于应变等效原理，根据试验结果拟合；基于连续介质不可逆热力学框架，得到损伤本构、演化的表达式和约束条件，并结合试验确定模型参数。

(3)结合结构的平衡方程、几何方程和物理条件，得到一组封闭的偏微分方程组，即构成损伤力学的定解问题。

(4)用有限元法离散结构，求解结构的应力、应变场和损伤场。

(5)根据损伤的临界条件和评价标准，判断结构的损坏等级和工作性能状态。

4 混凝土损伤本构及演化方程

钢筋混凝土结构为土木工程中应用最为广泛的结构形式，而混凝土材料本身复杂的物理特性决定了其力学性能的复杂性，因此确定混凝土损伤本构及演化方程对钢筋混凝土损伤分析以及性能化设计至关重要，目前相关的损伤力学研究成果也较为丰富[10-11]。

4.1 基于规范的损伤本构方程

以混凝土受压为例，基于近年来关于混凝土损伤的研究[12]，《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)(2015年版)[13](简称混规)附录C.2.4中，给出了混凝土单轴受压本构模型表达式，式中参数含义见混规：

σ=(1-de)Ecε

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

可认为式(9)为混凝土的损伤本构表达式，式(10)为其演化方程。

图 6为混规中混凝土单轴受压本构关系曲线，结合式(9)的表达式可见，方程中 (1-de)Ec实为割线模量，而非混凝土卸载模量。

结合损伤力学概念，并对比图 5可知，式(9)～(13)在本质上属于等效弹性损伤本构模型，未考虑塑性应变对于单调加载应力-应变曲线和损伤演化的影响，因此无法完备地表示材料卸载与再加载过程中的塑性变形与滞回性能。

根据文献[14]可知，为弥补现有方程未体现混凝土弹塑性损伤影响的缺陷，混规附录C.2.5引入残余应变表达式，即在单轴受压条件下，卸载之后的残余应变为：

(14)

(15)

式中：εz为混凝土卸载至零应力点的残余应变；εun和σun分别为卸载时的应变和应力；εca为附加应变。

当加载到(εun,σun)并开始卸载时，卸载段的方程见下式，混凝土在重复荷载作用下的应力-应变曲线见图 7：

σ=Er(ε-εz)

(16)

(17)

式中Er为混凝土卸载/再加载的变形模量。

混规中并未明确给出考虑塑性应变的混凝土弹塑性本构表达式。因此为了得到混凝土弹塑性损伤本构，可根据混凝土受力特点和损伤本构定义，引入弹塑性受压损伤变量dep，混凝土单轴受压弹塑性本构关系曲线如图 8所示，其弹塑性损伤本构表达式如下：

σ=(1-dep)Ec(ε-εp)

(18)

式中(1-dep)Ec为混凝土卸载模量，即弹塑性受压损伤变量dep数值相当于卸载模量对比初始模量的减小比例。

参考文献[14]，一般认为塑性应变εp与残余应变相等，即：

εp=εz

(19)

对于单调加载过程，卸载点(εun,σun)即认为是加载过程中的当前点(ε,σ)，联立前述式(9)、(14)和上述式(18)、(19)，即可得：

(1-de)Ecε=(1-dep)Ec(ε-εp)

(20)

进而求解得混凝土弹塑性受压损伤变量为：

(21)

其中塑性应变为：

(22)

(23)

为避免损伤值出现递减，对εca取值进行修正[14]：

(24)

最终得到混凝土弹塑性损伤本构(式(18))及演化方程(式(21)、(22))，其中dep的演化方程用de表达，因此等效弹性受压损伤变量de的演化方程(式(10))即可表达弹塑性受压损伤变量dep随总应变ε的演化关系。

4.2 不同损伤变量计算结果对比

目前基于混凝土材料的弹塑性损伤变量计算方法较多，包括面积法[15]、能量等效假定法[16]、基于试验的公式法[17]和Mander法[18]等，在不同高校、研究院和设计院中得到了广泛的应用。

面积法基于Najar损伤理论，定义为无损材料与损伤材料应变能密度之差和无损材料应变能密度的比值；能量等效假定法基于Sidiroff原理，认为应力作用在受损材料和无损材料产生的弹性余能在形式上是相同的；公式法通过设置塑性应变和非弹性应变的比例，计算得到损伤变量；Mander法基于广泛应用的Mander混凝土模型提出，计算中需结合残余应变的表达式，本文4.1节中介绍的基于混规的损伤本构方程与此理论一致，以下简称规范修正法。

图 9所示为不同方法计算的混凝土应变-损伤变量曲线。由图可见，除混规中的损伤演化参数外，其他损伤变量的计算结果较为一致，该损伤演化参数如前所述，本质为等效弹性损伤变量，在弹塑性分析中需加以区分。鉴于规范修正法符合损伤力学基本概念，且为便于统一执行和使用，本文推荐采用4.1节介绍的规范修正法计算非约束混凝土的弹塑性受压损伤变量dep。

在确定了损伤变量的计算方法后，将其演化方程与本构方程、平衡方程和几何方程，以及初始条件和边界条件联立，即可采用有限元方法求解得到结构的应力应变场和损伤场[10]。从图 10所示的考虑损伤发展的有限元分析流程可见，损伤变量是每个时间步的计算过程中对刚度矩阵修正的主要参数，直接参与了应力-应变场的计算过程，可见损伤变量，尤其是混凝土弹塑性受压损伤变量与弹塑性分析结果中的刚度退化和变形结果密切相关，用于表征构件损坏等级可体现其本质意义[19]。

5 评价标准的建立

5.1 混凝土材料评价标准的确定

参考文献[20]，可将混凝土受压变形与破坏过程总结为如图 11所示的六个阶段：1)初始阶段(OA段，其中A点对应应力0.4fc,r处，fc,r为峰值应力)，试件保持近似弹性变形；2)应变发展至峰值应变(B点，对应峰值应变εc,r处)，试件内部出现微裂缝并逐步发展；3)应力-应变曲线进入下降段(BC段，其中C点对应应变1～1.3倍εc,r处)，试件表面出现可见裂缝；4)试件表面形成宏观斜裂缝；5)裂缝逐渐贯通全截面(CD段，其中D点对应应变2～3倍εc,r处)；6)裂缝继续发展加宽，成为一破损带，直至试件完全破坏。

以上述六个阶段的试验结果为基础，综合参考高规、抗倒塌标准等文献，同时考虑数据使用习惯，可将混凝土损伤分为无损坏、轻微损坏、轻度损坏、中度损坏、比较严重损坏和严重损坏6个损坏等级，并建立混规中C30～C80不同强度等级混凝土材料的应力-应变曲线和损伤-应变曲线与不同损坏等级的对应关系，见图 12。由图可见，当以损伤变量作为评价指标时，不同等级混凝土的数值分布，特别在进入中度损坏后，可保持较好的一致性。

综合以上结果，提出了图 13和表 5的评价指标建议，即以混凝土弹塑性受压损伤变量和相应压应变作为指标的混凝土材料评价标准。如损伤变量0.3即代表卸载模量较初始弹性模量减小30%，属于轻度损坏，对应受压应变在1.0～1.5倍峰值应变区间，此时混凝土表面出现可见裂缝。

表5 混凝土受压应变与损坏等级对应关系

表 6为不同文献中基于混凝土损伤变量的评价标准对比，由数值分布可见不同文献间存在不同程度的差异。本文建议方法与文献[21]和文献[22]较为一致，本文建议方法及评价指标基于损伤力学基本概念及业内研究成果，与现行规范衔接，在实际应用，工程人员较易达成共识。

表6 不同方法的混凝土损伤变量对比

5.2 混凝土构件评价标准的确定

结构构件通常可按破坏形态划分为变形控制的延性破坏和力控制的脆性破坏。

表7为混凝土构件损伤等级与应变的对应关系。在混凝土评价标准的基础上，结合钢筋/钢材的评价方法，以变形控制的钢筋或型钢混凝土构件即可按照表 7，根据混凝土弹塑性受压损伤变量和钢筋/钢材的拉应变，并结合损伤变量分布情况以最不利情况确定构件损坏等级。

对于纤维梁单元模拟的梁柱构件，判断的损伤值和塑性应变值宜按构件内单元的最大值确定。值得注意的是，本文提出的是对分析结果的评价指标，而所有分析结果都基于一定的力学模型假定。纤维梁单元方法是基于平截面假定，在截面方向将单元离散为多个纤维束，通过沿单元长度方向和截面方向的数值积分来求解构件的力学行为[24]。因此以纤维单元中数值求解得到的包括应变和损伤等变量的最大值作为指标，可全面表现构件的整体性能，这与在试验中不能仅以局部一点的试验现象代表整个构件性能的概念不同。

对于壳单元模拟的剪力墙和楼板等构件，判断的损伤值和塑性应变值宜以构件截面高度1/5范围内(通常在厚度方向取5个截面点)的主要受力区域为主，按单元的面积加权平均值确定，当同一单元内存在较加权平均值更大的损伤等级且占有面积大于构件面积50%时，宜从严考虑。

表7 混凝土构件损坏等级与应变的对应关系

剪跨比、轴压比及端部配箍率对于混凝土构件的破坏形态有重要的影响。剪跨比较大，且纵筋与箍筋搭配较为合适时，构件破坏形态表现为弯曲破坏，构件延性较好。但对于剪跨比较小的构件，如混凝土短柱，箍筋配置过多则易发生剪切斜压破坏，过少则易发生剪切斜拉破坏，其延性均较差，即受剪行为满足“力控制”原则，弹塑性分析中应对构件的剪力进行监测，其数值不应大于构件的抗剪承载力。

5.3 不同混凝土本构的应用

上述评价标准建立在混规中非约束混凝土本构模型的基础上，当采用其他混凝土本构模型，包括因计算需要进行不同简化和假设的模型，以及各类约束混凝土本构模型(包括箍筋约束和钢管约束等)时，应基于选用的本构按上述方法建立对应的评价标准。

在需充分考虑构件延性储备，计入箍筋约束影响时，如进行抗倒塌分析[25]，通常需要采用箍筋约束混凝土本构。箍筋约束混凝土本构与非约束混凝土相比，两者的力学性能存在较大差别，尤其在峰值点后的延性表现差异明显。如在文献[26]的示例中，对于非约束混凝土，定义峰值应变为0.002，极限应变为0.003(对应下降段50%应力处)；而对于箍筋约束混凝土，定义峰值应变为0.008，极限压应变为0.015(对应下降段80%应力处)。

目前已有多位学者针对箍筋约束混凝土提供了多个本构模型，包括常用的Mander模型，过镇海模型[27]，广东省规[5]采用的Kent模型和SAUSAGE软件采用的钱稼茹模型[28]，图 14为针对某一工况(配箍率1%，C40混凝土)计算得到的不同箍筋约束混凝土本构模型的骨架曲线，由图可见各模型骨架曲线存在较大的差异。因此在实际应用中需根据实际项目特点，选用合适的本构模型，并结合试验数据或相关文献等依据来确定评价标准，即如同美规41-17中指出的：“约束混凝土的应变限值应有试验数据作为依据”。在数值仿真分析中针对所采用材料本构标定评价指标的过程，可以理解为类似于在结构试验前对材料力学性能进行测定。

而当采用损伤变量进行构件损伤评价时，其力学意义仍为混凝土受损后的力学性能劣化程度，数值上等于卸载模量较初始模量的下降比例，因此理论上仍可应用前文表 5中基于损伤变量的评价标准，损伤变量的数值可根据选用本构模型对应的加卸载方式计算得到。