浅谈解决高中数学集合问题的思路

◎支文妍 （甘肃省临洮县第二中学，甘肃 定西 730500）

根据高中数学教材，集合是初学阶段的内容，有辅助后续学习的作用.在考核高中学生文化课学习水平的过程中，必然会考查集合知识，考卷中一定会出现集合问题.因此，对高中学生而言，全面掌握集合知识，并能够运用知识解决集合问题是非常关键的.然而，部分学生的学习基础较差，没有良好的学习习惯和科学的学习方式，所以当面对较难的集合知识的，会有所退缩，学习效果自然不理想，在解决数学集合问题方面，也存在不尽如人意的地方，对后续的学习造成负面效应.基于此，高中数学教师应当认识到学生的薄弱点，充分了解他们对学习集合知识的担忧，从实际层面入手，对学生实施教学工作，并且引导他们解决数学集合问题，从而缓解学生的畏难情绪，推动他们将所学知识应用于解决实际问题的过程中.

一、解决集合问题的重要性

作为数学知识体系的重要内容，集合的地位比较独特，其基本理论在数学的所有领域中都有所渗透.几何、数列、不等式、函数等都涉及了集合知识，而集合问题也是考卷中必然会出现的内容.因此，对于高中学生而言，要想学好数学，全面掌握集合知识并有效解决集合问题是前提.可见，集合问题在高中数学教学中的重要性，其对学生的未来学习之路会产生重要影响.所以，当前高中数学教师要仔细研究教材，理顺集合知识的教学思路，并融入集合问题，让学生逐渐形成数学思维，拥有良好的解题能力.

二、解决数学集合问题的有效途径

（一）主动探究集合问题

虽然集合知识属于高中数学的基础知识，但是学习起来，仍然具有一定难度.集合知识相对难以透彻理解，导致学生的学习兴趣严重不足，因此阻碍了集合问题的有效解决.对此，高中数学教师应当充分发挥教学动能，结合学生实际情况，采取趣味化的教学方式，重新激起学生的学习动力，使他们更加积极主动探究集合知识，并自主实践研究集合问题，寻找良好的解决思路.

（二）对教材合理使用

高中的数学教材是学生学习的重要参考，其中关于集合知识和例题的介绍，对学生学习具有重要影响.所以，高中数学教师应当认识到教材的重要性，并对其进行合理运用，使学生逐步形成良好的解决集合问题能力.

（三）借助多媒体设备

现如今，我国已经进入信息化时代，信息技术在更多的行业中被推广运用.在教育教学领域中，信息技术也逐渐深入课堂，其中最为典型的便是利用多媒体技术教学.高中数学教师对集合知识和相关问题予以传授、解答时，也要结合多媒体技术，创设教学情景，使学生准确掌握解答集合问题的方法.

（四）联系多种学科

高中数学教材中的集合知识和集合问题不是单一存在的，与其他学科具有一定联系.例如，语文学科中博大精深的语言文字，可以帮助学生更好地理解集合的概念以及定理，并且能够帮助学生读懂集合问题题干给出的已知条件；借助英语字母，集合中的某些字符可以被字母代替，显得更加清晰明了等.

（五）从多个角度理解题意

分析集合知识可知，其主要包括文字语言、符号语言、图形语言三种.其中，文字语言主要是指将数学知识内容用合理、易理解的语言进行描述，从而使学生能够更深入地探索这一知识.符号语言与主要集合知识有一定的内在联系，集合的数量关系可以用符号进行描述.图形语言与符号语言有着相同的作用，其主要作用是数学图形来描述集合知识内容，使抽象的内容变得简单、具体、直观，便于学生学习、理解.高中数学集合内容有着不同的语言表达方式，通过语言的转化，使学生的学习效率以及学习能力有所提升，有利于学习目的的实现.学生在审题的过程中，要学会灵活地运用不同语言，从多个角度进行分析，从而取得显著的学习效果.除此之外，多多练习也是强化理解、提高解题效率的有效途径.

三、集合中需要注意的问题

集合知识看起来通俗易懂，但许多知识点都与集合有着密不可分的关联，甚至其他学科中也多多少少会涉及数学集合问题，所以学生应学好集合知识.有些学生认为集合问题不难，因此，没有认真学习，忽略了很多问题，最终导致出现错误.为提高解题效率，在学习集合过程中应明确地掌握集合性质以及集合内涵.

（一）注意集合元素性质

集合作为高中数学重要知识内容之一，虽然知识点不多，但却是学习难点，很多集合题目不只是涉及集合知识，还涉及其他方面的内容.在解决集合问题时，要将“集合”看成一个整体，每个元素都有着不同的含义和性质，主要从以下三个方面分析：第一，确定性.集合的确定性主要是指其元素都是固定的，并非随意一个元素.第二，无序性.集合的各个元素是没有顺序的.第三，互异性.如果存在两个及以上相同的元素，那也只能看作一个元素，这充分地体现了集合的互异性.在解决集合问题的过程中，只有搞清楚集合元素的性质才能进行下一步解答，可以有效地降低出错率.

（二）注意集合内涵

集合蕴藏着丰富的数学内容，学生在学习集合的过程中能够培养自己的数学思维，利用数学思维进行实际问题的解决.等价转化、分类讨论、数形结合等都是解决集合问题的有效方式，可见集合的内容丰富，涉及广泛.只有不断深入挖掘集合知识的内涵，理清解题思路才能实现举一反三的学习效果，这对学生思维发展有很大的促进作用，同时也能培养学生自主学习意识，推动学生的全面发展.

四、理清集合定义，解决问题基础

通常情况下，学生刚进入高中学校，便会接触到集合知识.此时学生的军训生涯刚完结不久，较熟悉“集合”一词.在军训时期，教官每天都会吹口哨，并伴随着“集合”的声音，学生已经非常习惯“集合”.所以，高中数学教师可以结合学生军训经验，向他们讲授“集合”的概念和定理，为后续解决集合问题奠定良好基础.首先，教师在导入环节，可以借助军训经验，依托多媒体设备，播放学生的军训视频，并向学生提出自己已经设计好的问题：“教官在组织军训时，通知第一方阵的学生，要求他们立即集合，那么是否全部同学都要对该教官的指令完全听从，进而立即整队，集合完毕呢？”只见学生回答“不是所有同学都必须立即集合，只有那些处于第一方阵的同学，才需要听从教官的指挥”.随后，教师可以立即引出集合的概念“同学们，下面请听老师的讲解，刚刚你们也说过负责为第一方阵的同学进行军训的教官，发出集合指令，那么第一方阵的同学就必须听从指挥，而其他同学则不必立即列队，由此可见，在集合中，其拥有确定的对象.从数学的角度来看，集合指的是对象确定，并且有多个，它们相互集结，并且形成一个整体，其中用元素代指每一个对象”.

在对集合基本概念有一定认识之后，高中数学教师可以向学生提出问题，即判断以下案例中是否存在集合组成的可能：（1）、、等英文字母，共有26 个；（2）某个班级内，学生中个子较高的人；（3）自然数中，比5 小的部分；（4）我国已经放映的电影中，观影体验较好的电影.学生根据所学的集合概念，首先分析上述案例中是否具有确定的对象，即集合元素.据此可知，（2）、（4）中对象不确定，“高个子”“观影体验”等判断标准不明确，因此组成集合的可能性不存在.而（1）、（3）中可以找到确定的对象，英文字母的个数已经明确是26 个，不会是25 个，也不可能是27 个；而小于5 的自然数只有0，1，2，3，4，所以可以形成集合.这样，学生在脑海中对集合的概念形成了更加深刻的认识，有利于指导后续集合问题的解决.

五、尝试解决交集和并集的问题

关于交集、并集的知识，学生最初学习时，感到难以理解，对于相关的数学符号无法做出区分，更不用说解决交集、并集的实际问题.对此，高中数学教师应当充分发挥联想的能力，与其他学科衔接，简化交集、并集的概念难度，使它们变得浅显易懂.通常来说，在高中学生群体中，他们认为学校开设的学科中，最简单、最容易理解的学科便是语文.因为我国的母语是汉语，学生从小便已经接触语文学习，直到进入高中，他们已经拥有十几年的语文学习和实践经历，对于文字性内容的理解，难度不大.所以，高中数学教师可以联系语文学科，让学生对“交”和“并”形成大致理解之后，再向他们传授交集、并集的概念，并且引导学生完成练习题目.“交”指的是相交，各种事物、情感等虽然存在一定区别，但其中又有相通之处.在数学概念中，交集则是指在两个或多个集合中，存在相同的元素，这样会使学生容易理解集合的“交集”概念.而“并”在汉语中更多代指并行、合并、兼并等，其中合并是将多个完全不同的主体重新排列组合，形成全新的集合.所以，合并的过程是将多个单独的个体再次化为“一”.由此与高中数学教材中的“并集”相对应，可知，给定集合、集合等多个集合，把它们所有的元素合并在一起构成的集合，即为并集.借助语文学科的内容，对交集和并集进行解释之后，学生的理解更加深刻.

数学教师可以趁热打铁，提出问题，让学生解答.例如，现在有三个集合，＝｛1，2，3，4｝、＝｛2，3，4，5｝、＝｛4，5，6｝，请分别列举出上述集合中的交集和并集.此时，高中数学教师应当逐步引导学生，将该问题进行解答.首先，教师让学生回想所学的交集和并集的概念以及特征.之后仔细观察上述三个集合，能够很快发现，集合与集合中存在2、3、4 三个相同的元素，而集合与集合中存在4、5 两个相同的元素，所以可以得出∩＝｛2，3，4｝；∩＝｛4，5｝；集合与集合中存在一个相同元素4，则∩＝｛4｝；三个集合都有的元素是4，所以∩∩＝｛4｝.而集合、集合、集合的并集：∪＝｛1，2，3，4，5｝；∪＝｛2，3，4，5，6｝；∪＝｛1，2，3，4，5，6｝；∪∪＝｛1，2，3，4，5，6｝.教师要提醒学生注意：求集合的并集时，同时属于两个集合的公共元素，在并集中只列一次（让学生思考为什么？）.通过这种方式，使学生对基础的交集、并集问题都能够理解并解决.

六、区分不同的解题条件

对高中学生来说，想要有效解决数学集合问题，首先应当能够读懂其中给出的条件，做出正确的分析.在教学过程中，高中数学教师需要对学生逐步引导，让他们能够区分出集合问题中比较容易混淆的条件.例如，数与数对在相关问题中，就存在很多相似的地方，学生理解起来存在一定困难，需要教师进行辅助，将其中的异同点为学生讲解清楚，并引导他们能够举一反三，有效区分不同的解题条件.下面以例题进行详细阐述.

有两个不同的集合，｛｜＝＋1｝与｛（，） ｜＝＋1｝，对二者的关系进行判断.许多学生初见时，认为它们具有相等的关系，便草草写下自己的答案.但实际上，通过仔细观察，便可以发现二者之间的不同.这就需要数学教学教师具备良好的教学能力，引导学生逐步思考，准确定位两个集合的不同之处，从而获得准确的答案.首先，教师向学生提问：“同学们，你们再认真看看，这两个集合的区别在哪里？”学生运用所学知识对比分析之后，纷纷踊跃回答：“前面的集合属于数集，而后面的集合属于数对集.它们并不是像之前所说的，具有平等关系，而是不平等的.”然后，数学教师向学生强调，解题时要注意集合的描述法中表示元素的形式.

七、结束语

综上所述，学生步入高中学校之后，在数学学习方面，首先接触的便是集合知识.学生学好集合的相关内容，不论是解决集合问题，还是推动后续学习，均能够起到良好的作用.但是现实中，由于集合内容比较抽象，他们在理论知识的掌握方面已经存在短板，更不用说解决集合问题了.鉴于此，在实际教学过程中，高中数学教师应当从学生实际着手，找寻学生在集合知识板块上的薄弱点以及切实需求，从而展开有针对性地教学.在引导学生掌握理论知识的基础上，以良好的数学思维，高超的解题能力，深入探究集合问题的答案，为后续的学习奠定坚实基础.