地方高校本科几何课程教学探究

◎毛 井 陈小丽 侯兰宝

(1.湖北大学数学与统计学学院，湖北 武汉 430062 2.荆楚理工学院数理学院，湖北 荆门 448000)

一、引 言

随着科技的高速发展，各行各业对大学毕业生的职业素质和职业技能的要求越来越高.一名优秀的大学生除了具备体系化的专业理论知识，还应拥有良好的职业技能与创新意识.众所周知，我国的高校自从1999年首次扩招后，历经二十余年的“超常规、跨越式发展”，实现了数量上的迅速扩张，从而在第一人口大国里完成了高等教育从精英化向大众化的转变.地方高校主要包括省属重点大学、省属或市属普通本科院校、民办本科、独立学院等，其中很大一部分是扩招后经专科升本科、中专升高职上来的，其在办学理念、师资、设施等方面与相应的要求有不小差距.另外，由于入学门槛比较低，学生生源质量与部属院校有比较大的差距，地方高校的大众化教学与985、211等高校的精英化教学有所区别.

近几年，几何的理论知识在艺术几何造型、工程技术、图像处理及机器人项目等各种技术方面的应用越来越广泛.本文就地方高校数学本科专业的两门重要几何课程——解析几何和微分几何，谈谈教学体会和感悟.

二、课程内容和课程特点

解析几何作为本科数学专业的必修课程，教学一般安排在第一学年的第一学期，通过引入、介绍坐标系的概念，实现向量和有序数对之间的一一对应关系，从而将空间几何问题转化为代数问题、数学分析问题，建立起几何课程同代数课程、数学分析课程之间的深层联系.

微分几何作为本科数学专业的选修课程，教学一般安排在二年级下学期或者三年级上学期.课程从曲线曲面的几何出发，自然地引入移动标架，借助于移动标架法导出曲线或曲面的基本方程，教学内容集中在三维欧氏空间中的曲线论和曲面论，包括空间曲线的基本定理和空间曲面的基本形式、曲面论基本定理以及外微分和活动标架，其核心是曲面论、活动标架法和曲面论基本定理.该课程难度较大，注重培养学生理论联系实际、分析问题和解决问题的能力，并为进一步的专业深造做准备，为后续研究生相关专业学习奠定一定的基础.

三、地方高校对几何课程的定位

地方高校应当以“为本区域社会、经济建设和地方社会事务发展服务，以培养地方性、本土化应用型人才为己任，以教学为主、科学研究为辅的教学科研型大学”为办学方向.地方高校数学专业的学生毕业后多半是从事中小学教师职业，所以地方高校培养的学生必须具有扎实的专业基础理论知识、良好的数学素养、较强的数学逻辑思维能力和岗位实践应用能力.而解析几何作为专业基础必修课程，是面向数学专业全体新生进行讲授的，是以中学阶段的平面几何和立体几何为基础的，是中学数学老师必备的知识，也是培养学生数学逻辑思维能力和空间想象能力的重要课程.

微分几何作为选修课程，是为进行几何方向的研究生学习做准备的课程.学生首先需要在学习中熟练运用之前所学习的基础课程的思想和方法(这些课程包括解析几何、线性代数、微积分、常微分方程等)，然后能运用这些知识对微分几何的基本概念和理论等进行良好的剖析.与此同时，这样的课程还能够再次促进学生对基础知识的认识和巩固，并且对学生的空间思维、逻辑分析、几何语言表达和推理能力有着重要的提升作用，还能促进学生利用理论知识解决现实问题，将相关几何知识联系到生活实际中来，并为进一步的专业学习做准备.

四、对几何课程教学方法的探索与感悟

招生规模的急剧扩大，导致地方院校在教师、学生及教学管理方面面临着诸多问题.

(一)学生学习积极性不是很高，自学意识薄弱

地方本科高校的生源质量不高，大部分学生依赖性强，自主学习的意识和能力较弱，学习基本上依靠老师课堂上的45分钟的讲解.另外，解析几何和微分几何对学生的空间思维能力要求较高，特别是微分几何，还需要学生对数学分析、高等代数、微分方程等先学课程掌握得较好.因此，部分学生对此产生了一定的畏惧心理和厌学情绪，以至失去了学习的积极性，这导致了几何课程教学质量不高.

(二)课程课时设置较短

目前大多数地方高校的办学目标是为地方经济服务，培养应用型人才，因此它们开设了很多专业应用型课程，如数学专业开设了数学建模、软件介绍、数学专业英语、数学应用等应用性课程.这个想法很好，但是由于学生总的课时有限，学校只能减少原来基础课程的课时，这就给几何基础课程的教学和学习带来了很大的问题.一方面，学生本来指望着上课时间学习知识，结果课时减少了，出现了学习“吃不饱”“不够吃”的情况；另一方面，由于课时减少，老师只能降低教学要求，精简教学内容，降低教学难度，减少教学实践，这就出现了教师教学“喂不够”“没法喂”的情况，让很多重要内容无法讲授与实践.数学作为基础学科，本来就不多的实践课时目前几乎已经没有了，致使学习的理论知识不能得到应用，这导致学生在实践中应用知识的能力有限，也大大削弱了学生学习的积极性和热情.这种现象在解析几何和微分几何这种需要空间想象和严格逻辑推理的课程中尤为突出.

(三)教师教学观念陈旧

大学几何课程所涉及的知识点，从结构上可以概括为两条线：一条是“明线”，它是由各章节的知识点构成的，是易于被大家看见和感受到的，它是构成数学教材的外在“肌肤”.另一条是“暗线”，它由数学思想方法和逻辑思维构成，是具有潜在价值的，是数学的“灵魂”和“血脉”.几何有了灵魂和血脉，具体的几何知识点就不再是孤立、零散的东西了.可见，数学老师对知识的讲授只是教学的一部分，更重要的是教授学生数学的精髓——数学思想、数学思维.学生只有掌握了数学的精髓，才能自由、快乐地翱翔在数学的知识海洋里.而很多资料显示，部分地方高校的几何教师仍然秉持着“读书百遍，其义自见；做题千道，其理自明”的陈旧教学观念，所以他们在讲授几何课程时只注重了知识的传播，只重视学生做题的数量和能力，而忽略了数学思想的传播，忽略了学生创新能力的培养，这对于几何课程，特别是微分几何这门用来解决实际问题的应用课程的学习来说，作用实在有限.

(四)授课模式和方式单一

在授课模式和方式上，许多地方高校的教师在几何课程教学上仍坚持着传统的以教师为中心的“满堂灌”的教学模式，再配以简单的PPT，充分使用讲授法的方式授课.虽然他们在相关定理的证明、推导和计算上收到了不错的教学效果，但这些对几何课程的教学来说远远不够，比如对于复杂的几何图形，我们需要从不同角度观察，甚至需要观察其随着某些参数变化而变化的情况，而仅仅使用PPT做出静态几何图形，会存在讲不清、画不清、学生想象不到的情况，即使部分简单图像能够画好，也会存在费时费力的情况.例如，在解析几何课程中，教师很难将曲线运动生成曲面的过程讲清楚(特殊曲面除外)，学生只能通过教师的讲述进行自我想象，这样很容易让学生对图形的性质不清不楚，掌握不牢固，同时学生也会丧失一定的学习积极性.这也是传统的只用PPT作为上课唯一的辅助手段的教学模式的一个不足之处，因此有时候我们不妨借助他山之石，如丰富的网络资源中的“动态图形”来进行教学.

(五)学生的创新意识较弱

由于地理位置偏远、经费不足、重视程度不高等原因，有些地方高校的大学生在创新和解决实际问题方面的能力不强.比如，数学建模比赛中经常出现利用几何、方程建立数学模型的问题，但是地方高校大部分学生很难利用所学知识建立相关模型，并取得良好的成绩.

(六)同质化教学，教学方法单一

不同的几何课程，知识内容偏向不同；不同专业的学生，需要的数学能力不同；不同学校的学生，数学基础不同，所以教学的内容和难度应该不同，教学方法也应该不同.但是目前地方高校对几何课程的教学几乎千篇一律，都是“满堂灌”的填鸭式教学，教学内容完全相同，教学方法完全相同，教学难度完全相同，教学目的完全一致，不管学生有没有兴趣听，有没有听懂，反正教学任务是完成了.这样同质化的教学，结果就是学生不愿意学，越学越难，老师越教越累、越教越难，教学效果可想而知.

五、对几何课程教学改革的建议

我们针对上述问题，结合自身的教学实际，拟提出以下建议：

(一)适当地增加课程内容的趣味性，以激发学生的学习兴趣和探索欲.教师可以把相关的数学史料及与生活相关的例子带入课堂教学中.例如：在《微分几何》的教学中，教师可以将数学家的轶事、原始问题的由来等在课前分享，这样可以有效地增加学生学习的积极性，活跃学生的思维，提升学生的学习效率，增强学生接受知识的能力.这方面部分985和211高校的老师做得不错.例如：李体耀、罗毅在参考文献[2]中提到在《解析几何》的教学中有必要给学生讲清楚欧氏几何学的意义和几何学为什么要“解析化”这两个问题.

(二)顺应“互联网+”的时代发展潮流，适时采用线上线下混合教学.线上线下混合式教学模式一改往常以教师为主在课堂上讲解，而学生只被动接受的状态，能充分体现“以学生为中心”的教育理念.学生可以根据自己的兴趣爱好以及学习基础，自行调节预习的程度，预习的时间长短和次数.这种教学模式更尊重学生的个性需求，可以使学生最大限度地发挥其主观能动性，也能利用网络就某一难题进行即时性的探讨，这有助于提高学生的学习效率.另外，线上线下混合式教学能实现教育资源的共享和优化教育资源的目标.

(三)数学的思想方法和逻辑思维能力能使学生终身受益，日本大数学教育家米山国藏就曾深刻地指出，“学生在初中、高中等接受的数学知识，因毕业进入社会后，几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以通常是出校门后不到一两年，很快就忘掉了.然而，不管他们从事什么业务工作，唯有深深地刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点，却随时随地发生作用，使他们受益终生” “纵然把数学知识忘了，但数学的精神、思想、方法也会深深地刻在头脑里，长久地活跃于日常的业务中”.因此将传授数学思想方法和逻辑思维能力作为授课的一个主要目标，应该是数学(包括几何)教学及改革的一个大方向，即“授人以鱼，不如授人以渔”.当然这就需要数学老师们从内心深处对数学思想的重要性有所认同，当然，光有认同还不够，还需要实施，这就要有很好的切入点.目前在湖北省，数学教学改革走在前面的是华中师范大学和湖北大学，我们地方高校不妨采取“请进来，走出去”的方式，采取多请教学名师上门授课和登门培训学习的形式，快速转变地方高校教师的思想，探索适合本校学生的教学模式和方法.

(四)近年来的全国数学建模比赛中就有多处涉及应用几何的知识，比如2000年的C题：设地球为旋转椭球体，中美航线可飞越北极，则北京至底特律可节省4小时(节选)；2002年的A题：设计汽车头部车灯为旋转抛物面(节选)等.这些题目既来源于生活，又与课堂讲授知识紧密相关.教师可在课堂上对学生提出这些问题，指导学生思考并尝试解决，这将很好地锻炼学生“学以致用”的能力.所以地方高校可以依托数学建模大赛、大学生数学竞赛、几何知识应用比赛等比赛项目，举行相应的选拔赛和校内外比赛，实现 “以赛促学” 和“以赛代练”，也就是以比赛为抓手，激发学生学习几何知识的兴趣，促进学生学习几何知识，提高学生应用几何知识解决现实生活问题的能力.

(五)根据不同几何课程的特点采取差异的教学方法.比如：《解析几何》是以高中几何知识为基础的，难度不大，内容不多，又安排在大一的第一学期，学生刚来，学习欲望很强，这时高校老师可以多采取启发式和探究式教学，教学难度适当加大点，部分章节可以根据需要采用讨论的方式，引导学生自主学习.这样既能激发学生的学习兴趣，又能锻炼学生的自学能力，也能逐渐培养这些“准老师”的教学能力.《微分几何》的内容多，难度大，课时少，所以不适宜采用讨论式和启发式的教学方法，但该门课程是为几何方向研究生课程打基础的，适合多采用传统的讲授式教学，在适当的章节教师也可以考虑采用研究生阶段常用的讨论班式的教学模式，让有志于进一步深造的学生提前进入角色，这有助于发现人才和选拔人才.

六、总结

教师应结合几何课程的特点和学生的差异性，充分利用现有条件，克服课程设置所存在的缺陷，进行课堂创新，充分发挥新教学模式下的教学特色，将“数”与“形”相结合，“理论”与“应用”相结合，使得学生的直觉思维能力与逻辑思维能力得到全面发展.