深度体验，让数学素养自然生长——小课题研究“树叶中的比”的实践与思考

江苏省南京师范大学附属中学新城小学北校区 李洁涵

综合与实践活动是教师借助问题引领学生实际参与的探究学习活动，学生用学过的数学概念、原理和方法来解释现象、解决问题。这类活动为学生提供了实践研究的机会，有利于学生从现实情境出发，积累活动经验，发展数学认知，培养综合能力。但在实际教学中，这部分内容的教学往往流于形式，活动效果并不如人意，缺少实践性，学生切身经历的时间和空间不足；缺少关联性，知识的呈现内容或形式较为单一等。

那么，如何发挥综合与实践的价值呢？小课题研究恰好弥补了这一不足，它旨在培养学生的应用意识和操作能力，帮助学生更好地将知识应用于生活，从而逐步提高数学核心素养。为此，本文以综合与实践中“树叶中的比”这节课为例，对小课题研究进行了探索与思考。

一、研究目标

（1）通过观察、测量、计算、比较、分析等活动，探索并初步发现树叶的大小各不相同，但同一种树叶长和宽的比值都接近某个确定的数值。

（2）在收集数据、计算分析、交流合作的过程中，体会数据的随机性，积累数学活动经验，发展数据分析观念。

（3）进一步感受数学与生活的紧密联系，增强用数学眼光观察生活的意识和能力，提高研究学习的积极性。

二、研究过程

（一）课前：明确内容，合理分工

1.提出问题

师：同学们，当树叶在空中飞舞或被你们踩在脚下时，你们是否仔细观察过它们？让我们一起来欣赏各小组收集的有关树叶的资料吧。（微视频展示）

师：在收集资料和观看视频的过程中，你们有什么发现？

生：树的种类不同，树叶的形状也不同。相同的种类，树叶的形状相似，但大小各不相同。

师：如果用数学的眼光来研究树叶，你认为可以研究什么呢？

生1：一年级时，我们研究过树叶的分类。

生2：三年级时，我们研究过树叶的周长，树叶的周长无法直接测量，可以转化为绳子的长度。

生3：我们还研究过树叶的对称性。

生4：五年级时，我们研究过不规则图形面积的计算，树叶的面积就可以用小方格来测量。

师：想知道树叶的形状和什么有关，应该研究什么呢？你们认为在数学里可以用什么来描述树叶的形状呢？

生1：树叶的面积或者周长。

生2：树叶的长和宽。

师：没错，从数学的角度来看，一片树叶的形状可以用它的长和宽来描述。树叶的形状与它的长和宽究竟有什么关系呢？

生：上一单元刚学过“比”的有关知识，我们可以研究长和宽的比。

2.探索方法

师：你们认为进行一项研究，需要做哪些前期工作呢？

生：制定研究方案，明确研究内容、方法、步骤。

师：在研究“树叶中的比”之前，我们要做什么？

学生应明确以下方法：收集树叶、测量树叶的长和宽、计算比值、比较树叶的形状、发现形状与比之间的关系。

3.合作分工

（1）确定长、宽。

师：既然要测量树叶的长和宽，我们首先要明确长和宽的测量方法。你们能试着指一指下面树叶的长和宽吗？（逐个出示桑树叶和银杏叶）

银杏叶

桑树叶

师：沿着桑树叶的主叶脉进行测量，最长距离（不含叶柄）是长；沿着与主叶脉垂直的方向进行测量，叶片中最宽的部分是宽。

（学生上台介绍银杏叶的长和宽）

（2）确定单位。

师：在测量的时候有什么要注意的地方呢？

生1：想清楚长和宽。

生2：叶柄不量。

生3：记录数据的时候要注意单位。

师：测量时，选择什么长度单位比较合适呢？

学生应明确：用厘米做单位不太合适，一般情况下树叶的长和宽只有几厘米，如果不满整厘米数，就要用小数计算或者取近似值，比较麻烦。用毫米做单位可以取近似值，计算较容易，误差也不会很大。

（3）制作研究单。

师：只研究一片树叶够吗？为什么？

生：数据较少可能存在偶然性，需要多个数据。

师：每片树叶的数值都不一样，怎么办？

生：用平均数来代表这种树叶长和宽的比值。

教师要学生明白测量出长、宽以及比值之后，还要求比值的平均数。师生共同制作研究单（见表1），并讨论交流完善。

表1 小课题研究单

要求：

①每个小组收集一种树叶（10片）。

②测量并计算，将数据填入表格。

③观察数据，记录你的发现。

我们发现：

（二）课中：观察比较，发现规律

1.多维比较

（1）同一种树叶比较，多个小组上台汇报，全班交流。（如表2、表3、表4）

表2 小组1小课题研究单

表3 小组2小课题研究单

表4 小组3小课题研究单

我们发现：同一种树叶子的长与宽的比值都相近，叶子形状差不多。

我们发现：同一种树叶，长与宽的比值都比较接近。

我们发现：树叶长宽不一，但比值却大致一样。

比较小结：同一种树叶，不仅形状相似，长和宽的比值也接近。

（2）不同种树叶比较。

师：我们发现了同种树叶的特点，那么不同种类的树叶呢？你们能把它们按照一定的顺序排一排吗？

（学生按照比值的大小排树叶）

师：把各小组的信息汇总到一张图中（见表5）。观察树叶的形状以及它们的比值，你们有什么新的发现？

表5 几种树叶对比

生1：不同种类的树叶，长和宽的比值不同。

生2：形状差距较大的，比值也相差很大；比值接近的，形状也比较像。

生3：长和宽的比值越大，越狭长；比值越小，则相反。

师：想象一下，如果银杏叶的下方再放一片树叶，你会选择什么样的？

生1：长和宽的比值要小于0.82。

2.拓展延伸

（1）完善认知。

师：如果把这些树叶看成一个个长方形，随着比值的增加，形状会怎么变？

生：越来越细长。

（出示马尾松的图片，介绍松针）

师：长和宽的比值逐渐变小呢？（课件演示）

（2）深入体验。

师：你们能根据一个大号的树叶的比值，猜一猜小号树叶的比值吗？

3.回顾反思

师：通过本次研究，你们有哪些收获？你们是怎么研究出这些规律的？

从课前的收集、计算、观察、发现，到课堂上的汇报、整理、比较，再到最后的数据分析，师生一起用数学的方法认识了生活中随处可见的树叶，揭开了影响树叶形状的神秘面纱，这其实就是研究数学、做数学的过程。

三、思考

（一）关注前期准备，唤醒原始动力

小课题研究是学生探究学习的过程，教师的引领作用主要体现在情境的创设、学生积极性的激发、给予适当的鼓励等方面。开展小课题研究之前，学生要先确定研究内容、方法和步骤，这就需要教师走近小组成员，提供适时的指导与帮助。六年级的学生有能力在课余时间采集树叶、收集信息，所以收集数据等前期工作被安排在课前完成，也为课堂研究节约了时间。上课伊始，整理的信息以视频的形式呈现，便于学生观察、发现和提出问题，促使学生产生研究的兴趣。好的研究内容不一定是教师精心设计的，学生真实的生活经验就是产生数学问题的土壤，学生基于已有经验和实际观察提出的数学问题更能激发他们的探究兴趣。

之后，教师通过一系列有层次的提问，引导学生从观察树叶的特征，逐步过渡到描述影响树叶形状的内在原因，为下面的研究打下坚实的基础。小组成员若不清楚测量的对象和方法，在具体实施时肯定无从下手，所以就需要教师的提前指导。在本研究之前，学生刚学完“比”的相关知识，教师再加以引导，学生就会想到用长、宽或者长和宽的比值来进行描述，从而确定了研究方法。

（二）经历数学抽象，培养成长潜力

小课题研究还要设计探究性问题，以激发学生的热情。回顾研究过程，教师提出了“你们认为在数学课程中，可以用什么来描述树叶的形状” “如果把这些树叶想象成同长同宽的长方形。随着比值的变化，长方形的形状会怎么变”这两个问题，引导学生经历了两次抽象：第一次抽象，剥离了树叶的具象特征，学生的观察点集中在树叶长和宽的比上；第二次抽象，用规则的长方形代替了原本的不规则图形，借助几何图形让学生对比和比值有了更加深刻的认识，培养了学生的想象力，有利于数学核心素养的提升。

在探究过程中，学生对“同一种树叶的长与宽的比值比较接近”没有深刻的体会。所以，教师重叠大小不同的树叶，设计“以大猜小”的活动，引导学生将“形”的表象和“数”的理解进行有机结合，不仅体现了对“数形结合”思想的重视，还渗透了图形的放大与缩小，为后续的学习做了铺垫。

由此可见，在小课题研究中，学生活动经验的积累和应用能力的发展落到了实处。教师设计的探究性问题能引导学生有质量地思考，围绕共同的目标相互交流、合作，从而完成研究，进一步培养了学生可持续发展的潜力。

（三）着眼数据分析，打造活力课堂

学生在测量计算、收集整理、分析交流和探索规律的过程中，尝试运用数学眼光去观察世界，用数学思维去解决问题，进一步促进了数据分析观念的形成和数学思维的发展。

学生在分析数据时经历了两次对比。第一次是组内对比，学生认识到同一种树叶，长和宽的比值较为接近，感受到数据的随机性和规律性；第二次是组间对比，学生经历了由个别到整体的分析过程，掌握了基本的数据分析的方法，并认识到树叶长和宽的比值越大，树叶就越狭长；比值越小，树叶就越宽。这样学生就能够充分认识到树叶的形状与长和宽的比值之间的关系，同时也感受到只要有足够的数据就能从中发现和总结规律，感受到数据分析的价值。

总之，小课题研究既能引导学生了解事物的表象，更能引导学生考虑事物背后隐藏的数学道理，促使学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言表达世界。另外，宽松的研究空间能激发学生更多的创造性思维。教学应让研究性、互动性的探究性学习成为常态，让教育有温度、有实感，从而促进学生全面而有个性的发展。