数学思想在教学中的渗透

◇毛银鹤（甘肃：临洮县北街小学）

毫无疑问，数学的本质在于数学思想。当前，大部分小学老师只注重知识的传授和培养，而忽略学生对数学思想的理解和把握，导致老师教得很辛苦，学生学得很累。如何更新教学观念，加深对数学思想的理解？怎样才能使数学思想的渗透更有效？有什么战略方法、要把握什么原则？从什么角度来看？本文对此进行了研究，以期为相关人员提供借鉴。

一、数学思想概述

关于数学思想的认识尚无定论，学者的观点不尽相同，关于数学思想的界定也存在着分歧，主要从两个方面进行论述。

（一）从数学教学的观点出发

郑毓信指出，数学思想的最初含义，是在与具体的数学知识内容，尤其是其最终的严格表达方式的矛盾中被证实的。数学思想的含义是一种思想方式或原理，它脱离了特定的数学内容，并具有更广泛的普遍性。臧雷认为，对数学的认识要分两个角度。一种是狭义的，它是指通过对特定数学知识的认知过程而产生的认知结果或看法，并在后续的认知活动中不断地被应用和证明。广义的数学思想，除了以上几个方面之外，还应该包含数学的概念、理论、方法和形态的形成和发展的规律。张国栋、李建华等人都认为，在数学教育中，数学思想往往被用来解释，而非从认识数学思想的本质出发。

（二）从哲学的知识论视角出发

丁石孙认为，数学思想是指人们如何看待数学。其中包括：数学在人的认识系统中所占据的位置、与生产实践和其他学科的联系、数学发展的规律、数学研究方法的特征等。蔡上鹤指出，数学思想是把真实世界的空间形态、数量关系，通过思维活动，在人的意识中呈现出来。张奠宙、过伯祥等人认为，数学思想通常被用来概括一些具有重要意义、内容丰富、系统完整的数学成果。

二、在数学教学中渗透数学思想的意义

（一）有利于推动数学应用理论的发展

其实，数学思想是数学的精髓，是人类思想和解决问题的基本原则。实践已经证明，数学思想和方法已经被广泛地运用于现代技术，经济学、心理学、社会学，甚至是最常见的科学技术，如工业和胚胎学，都是由新的数学思想和新的算法所决定的。

（二）有利于推动数学学科的发展

学科的教育因子对人的成长起到了循序渐进的、深远的作用。每一门学科都能以其自身的内在魅力、多方面的力量来滋养和培养学生的学习素质，使他们形成科学的、独立的、有意义的学习能力。因此，学科教育的本质就是培养人，将人的全面发展与学科教学活动相结合，使其从各方面，或对其进行影响，或直接传授，从而使个人的综合素质得到提升。从长远来看，数学对学生的综合素质有很大的促进作用，对现代社会的发展有更深的认识。数学是一种科学的工具和语言，就像语言、宗教、艺术，都是人类文化的一部分。

（三）有利于老师建立现代数学教育观

从数学的角度来看，其思想具有条理性、简练、严密、可扩展性等特征，是一种广泛应用的教学方法。数学的学习不仅仅是一种态度，更是一种文化。只有了解了数学的本质，了解了它的内在价值，才能从数学的角度来看待问题。近几年，随着新一轮课程改革的逐步深化，新的课程观念不断强化，要求一线老师提高自己的数学素养、专业素质、数学知识，从而使自己的数学思想得到充分的发挥。

三、数学思想的教学原则

（一）意识性原则

所谓意识，就是要让老师认识到数学的各种思想方法，认识到数学思想的重要性。一是要树立学生的主观意识，培养学生的数学思想方法。与传统的数学知识相比，数学的思想方法是以不同的形式和不同的表象呈现的，在小学数学的许多知识点中，它们常常伴随着传统知识的产生，逐渐地表现出来，较难被发现，也较难解释。在实际教学中，由于老师对教材内容的疏忽，常常导致教材内容的缺失。所以，数学老师除了要强化传统的数学知识和教学内容，还要重视学生对数学的认识和敏感度的培养，积极主动地把数学的各种类型、内容、形式的教学与数学思想相结合。二是要重视从教学内容中发掘学生的数学思想方法。在教学内容、教学流程的设计中，要善于从数学思想的视角出发，对教材内容进行细致分析，探索其渗透点、结合点、蕴含点，从而厘清教材中的思想方法，再通过设置情境、讨论例题、组织练习等方法，使其成为可能。三是要把学生能理解和接受的数学思想方法融入教学中。首先，老师要从课本中精心挑选具有鲜明特色和具体内容的重点内容，或明或暗或详或简地向学生展示，引导他们理解这些知识和思想方法的关系，让学生亲身体验这些知识中蕴藏的数学思想方法。其次，要在保证教学效果的基础上，进行教学方法的设计。小学数学老师要以学生现有知识和学习能力为出发点，培养学生学习兴趣，启发学生独立思考，杜绝生搬硬套。

（二）渗透性原则

渗透性原则，就是在课堂上，老师自觉地将数学思想相对独立、抽象的方式，融入课本的具体知识点中，而不是一针见血。在教学中，学生的思想方法与学生学习具体的数学知识是有区别的。比如，一些数学方面的东西，很多人都是一学就会，而且还能用来解决一些数学问题。然而，在数学思想的教学中，许多学生在解决同类问题时却常常遇到困难。所以，许多老师都会感慨，数学思想的渗透实在是太难了。而产生这种迷茫的主要原因是思想方法与知识技巧上的巨大差异。学习知识和技巧，大部分都是靠模仿。当数学思想达到一定程度的时候，学生的思维和理解能力就会得到很大的提升，从而取得更好的教学效果。例如，在教学中，关于“王阿姨购买15 块糖，10 块饼干，支付的金额和李大叔买10块糖和15 块饼干的价格是一样的”一题，鼓励学生自己找出相似的例子，或者用算法来表达。学生通过例子，逐渐地找到了“加法交换律”。然后老师鼓励他们用不同的方式来表达这种规则，并讨论哪一种最好。最后，学生一致同意用“a+b=b+a”来表达。在这个例子里，老师为学生设计了一个非常平常的生活场景，让学生做一些简单的事情，并且乐意尝试。因为他们喜欢用最好的方式来表达自己对规则的理解。不可否认的是，这种思想方法是一种象征思想的浸润。

四、数学思想在数学教学中的渗透

（一）在基础知识教学中的渗透

现代认知心理学把知识分成两类：陈述性知识和程序性知识。陈述性知识是一种可以用清晰语言表达的，对“是什么”“为什么”这样的基础问题进行解释的方法，而程序性知识则是一种方法，是“怎么想”“怎么做”。小学数学思想是一种认知策略，它包括收集、处理各种资料，推理、运算方法的简便选择。小学数学思想既有概念原则的陈述性知识，又有程序性知识的具体运作过程。在数与代数课程中，小学生将学到不同种类的数及相应的算术，在此基础上，逐步体验、掌握数与代数的含义，提高其数感，并初步了解负数、方程等知识。其中包括分类、转化、集合、函数、数形结合、极限、符号化等数学思想。在图形与几何课程中，小学生将会学习一些简单的几何图形，并且能够理解和认识其基本特性，体会旋转、平移、对称，对图形转换有初步的理解与认识，也会学习如何描述、确定和测量对象的方位，逐步培养和发展空间概念。同时也包含了极限、转化等主要数学思想。在统计与概率课程中，学生将初步了解统计的基本流程，并围绕如何搜集、整理及描述资料，根据先前搜集、整理的结果，解答较简单的问题或对某些现象做出简单的判断。要对某些事件的可能和不确定因素有一个初步的认识，然后对其进行简单的计算和分析。这些内容贯穿于小学的整个教学过程，尽管所占比例较低，但对于提高小学生的数学运用意识非常重要，而且还包含了统计、分类、概率等典型的数学思想。在实践与综合应用课程中，通过实际的教学活动，使学生认识和体会数学与生活的紧密关系，并能有效地运用数学知识和思想方法，解决日常生活中常见的一些问题。在小学的各个年级都有这样的认识，对于提高小学生的数学综合能力起到了很大的推动作用。

（二）在探求公式中的渗透

公式是用数学符号表达各种关系的一种数学表达式。它是由变量构成的，具有普遍性，对同类问题和关系都是有效的。它所蕴含的数学逻辑含义，能够用来表达对问题的认识和解决方法，取决于它所包含的自由变量和特殊的逻辑关系。对于小学生来说，想要理解公式，并不是一件容易的事情。在教学中，老师可以把数学思想渗透到学生的头脑里，使他们对公式的意义和价值有一个直观的认识。在数学课上，通过插图来说明分配法则。照片上的画面，是一群学生在种树，他们被分成了25 个小队，每个小队都有4 个人在挖坑，4 个人在种树，2 个人给树浇水。问：参与植树的学生一共有多少？在教学中，首先要让学生得到两种不同的方法，再将两种方法的结果进行比较，由学生推导出相应的分配规律，并给出相应的符号表示。可以看出，这种方法片面地强调了对结果的直接分析，学生只看到了简单、抽象的分析，而“分配”这个重要的思想过程，老师没有涉及，学生也没有经验，很难在脑海中形成意义上的连接。所以，学生只能死记硬背。为使学生更好地了解分配的实质，老师可以在课堂一开始就运用数形组合来创造情境，使学生能更好地认识和接受图形的特点。通过计算矩形区域，让学生直观、形象地学会分配法则，使学生对矩形区域的学习和掌握更加深刻。数形结合是一种教学方法，它是一种与数字形状相结合的有效方法，更符合学生的认知发展，从而使形象思维向抽象思维转变。

（三）在知识生成过程中的渗透

在小学数学教学中，知识产生的过程其实就是数学思想的产生过程。比如，让学生在脑海中构建相应的数学概念，从而得出相应的结论，并通过这种方式来解决问题，让学生能够更好地理解数学。例如，在“小数乘整数”的教学中，老师可以通过求四边形、五边形、六边形的内角之和，由此导出其内角之和的公式。所以，数学定理、公式、法则等结论的本质就是一条知识链条，将数学知识压缩成一条知识链条，在实际的数学教学中，要适当地延长这些知识链条。老师指导学生进行探究、发现和推理，阐明每一结论之间的因果关系，探究其与已有知识的联系，理解其思想方法。

总之，在老师的指导下，学生可以选择和筛选有用的信息，使自己的学习情绪更加活跃，对自己和别人的认同感也更强，更愿意参与团队活动。这就是数学思想对学生的最大益处。通过对数学思想的研究，在数学思想的渗透下，对学生的认识结构、解决问题都有很大的促进作用。