基于分形维数的表面粗糙度实时监测

洪晟祺，李郝林

（200093 上海市 上海理工大学 机械工程学院）

0 引言

在零件加工质量检测方面，目前大多数企业采取的是抽检制度，这种方法能在成本较低的情况下保证零件的加工质量，但由于抽样而非全检的原因，会出现存在质量问题的零件被遗漏的可能性。而对于检测零件表面粗糙度方面，目前多数企业通常采用触针式检测设备测量表面粗糙度后再进行质量分析。该方法作为一种离线检测方法，只能在一批零件加工完毕后，配合抽检模式对该批次零件进行检验，并不能做到在数控机床加工零件的同时，对其进行表面粗糙度的实时监测。本文将介绍一种方法，其能够在零件加工时对表面粗糙度进行实时监测，以降低出现质量问题零件的可能性。

目前部分研究者研究了分形维数与零件表面粗糙度间的关联，如李成贵[1]等人研究了分形维数D和表面粗糙度评定参数Ra，λa之间的关系，发现分形维数数值越大代表零件表面微观细节越丰富，分形维数数值越小则代表零件表面微观细节越平缓。部分研究者则通过采集机床加工时的振动信号，并对其计算分形维数，以此研究其和表面粗糙度之间的关系。如李丽娜[2]等人发现盒维数对振动信号高频成分反应明显，且关联维数法和计盒维数法皆可在一定程度上反映表面粗糙度。还有部分研究者通过轮廓仪，先直接测得零件的表面粗糙度，再通过采集机床的振动信号，研究其与表面粗糙度之间的关系。如李浩[3]等人通过对轮廓仪测得的表面粗糙度，以及压电式振动传感器测得的振动信号进行处理，得到了其与表面粗糙度的对应关系。

本文将根据现有的研究进展，研究一种通过在线计算振动信号的分形维数，对零件表面粗糙度进行实时监测的方法。

1 理论方法

1.1 分形维数

分形几何理论具有自相关性以及无标度性，对复杂轮廓形状能够给出精确的描述，而分形维数则是作为定量地刻画复杂轮廓特点的特征值存在[2]。在不同的放大倍率下，零件加工表面的粗糙度轮廓表现出一种自相似的性质，类似于统计学中的自相关性[4]，其中分形维数则是表征表面粗糙度的轮廓占据空间的程度[5]，其数值越大说明零件表面的轮廓细节越丰富[6]。研究发现，分形维数与表面粗糙度在1.1～1.4 之间通常存在非线性关系，在1.4～1.9之间则存在近似线性关系[7]，因此本文选择分形维数作为表征表面粗糙度的特征参数。

1.2 振动信号

在实际切削过程中，机床各部件会产生振动，如主轴振动带动刀具与工件间振动，最后会使切削深度产生变化，并在工件上切出不同的轮廓，而其中的高频振动部分就形成了零件的表面粗糙度[3]。研究发现，刀具即主轴的振动位移信号能够较好地反映零件的表面粗糙度。而通过传感器测得主轴的振动数据是较为容易的，故本文将通过计算机床主轴的振动位移数据，得到分形维数并以此来表征零件的表面粗糙度。

对于采集到的数据，通常为振动加速度数据，其中含有反映波纹度和表面几何形状的中低频信号以及高频噪声，并不能直接用于计算分形维数。因此需要先对高频噪声进行滤除，再通过频域积分将振动加速度转换为振动位移，以满足分形维数的计算要求。

1.3 计盒维数法

分形维数存在多种方法，例如关联维数法、计盒维数法等，其中计盒维数法具有应用范围广、计算精度高、计算数量小等特点[8]，研究发现，通过机床主轴振动信号计算出的计盒维数与表面粗糙度存在较好的关联关系，因此本文选择计盒维数法进行分形维数的计算。

计盒维数法的定义为取一个边长为r的小盒，假设时间序列信号x（j）X，X为n维欧式空间Rn上的闭集，用这个小盒将待分形的信号覆盖，则有的盒内包含曲线的一部分，有的为空盒。接着统计有多少盒为非空盒，将其记为N（r），再缩小盒的边长，依次求得N（r）。最后用最小二乘法在双对数坐标中拟合直线，所得直线的斜率的相反数即为盒维数，具体公式如式（1）[2]：

在实际计算中，由于时间序列x（j）的最高分辨率为采样间隔r，公式极限无法按照r→0 求出，故采用近似法逐步放大边长r至kr，kZ+，令Nkr为边长是kr的盒子的计数，具体公式如式（2）—式（4）[2]：

则信号x（j）的盒子计数为：

对于计算出的kr和Nkr，在双对数坐标logkr～logNkr中满足线性回归模型[9]：

最后用最小二乘法对直线进行拟合并计算出其斜率[10]：

最小二乘法拟合直线的斜率值相反数即为待求的计盒维数[11]，如图1 所示。

图1 最小二乘拟合直线Fig.1 Least square fitting line

2 实验结果

2.1 数据处理

本文研究了一种能对零件表面粗糙度进行实时监测的方法，为了验证其可行性，在某公司的生产车间中选用了一台数控加工中心开展研究。通过对采集到的信号进行预处理，并使用五点三次平滑法滤除高频噪声，再进行频域积分后得到了可用于计算分形维数的振动位移信号，图2、图3 所示为同取0.5 s 的原始振动加速度信号及经过处理的振动位移信号。

图2 原始振动加速度信号Fig.2 Original vibration acceleration signal

图3 经过频域积分转换的振动位移信号Fig.3 Vibration displacement signal transformed by frequency domain integral

2.2 数据计算

对同批次零件采集到的信号以1 s 分段，本次实验采样频率为1 000 Hz，故每段信号的总点数为1 000 个。分别对其计算分形维数，为科学地反映零件加工时粗糙度的变化程度，引入3σ准则的概念，即服从正态分布的随机误差不会超过标准误差的3 倍。

因此需要训练基准数据模型，本文以10 个零件学习出的分形维数上下限为例，计算得出的分形维数上下限如图4 所示。

图4 分形维数上下限Fig.4 Upper and lower limits of fractal dimension

2.3 结果分析

在获得分形维数的基准数据后，通过每秒将所监测零件计算出的分形维数与基准数据上下限进行对比，由于服从正态分布的随机信号，其随机误差不会超过3σ，若被监测信号的随机误差超过基准值则说明其作为小概率事件出现，表明随机信号发生了偏离。

本文选取分形维数作为表征表面粗糙度的特征参数，若被监测零件每秒的分形维数超过基准区间则报警，说明其在此处可能出现表面粗糙度异常，从而达到实时监测零件表面粗糙度的目的。本文截取了零件监测的部分结果，以监测20 s 为例，如表1 所示。

表1 零件部分监测结果Tab.1 Part monitoring results

从监测结果看，零件4 在抽取的监测结果中的第1 秒计算出的分形维数低于基准值区间，则程序报警，提示企业该零件在此刻可能出现粗糙度问题。而其他零件加工时每秒计算得到的分形维数基本处于基准值区间内，表明零件1，2，3，5 的表面粗糙度在该监测范围内正常，没有明显的质量问题。

3 结论

本文研究了一种基于分形维数对数控机床加工零件进行表面粗糙度实时监测的方法，并通过实验验证了其可行性。从实验结果上能够看出，通过对采集到的主轴振动信号进行分形维数的计算，并引入随机误差判别方法3σ准则，可发现零件加工时每秒计算得出的分形维数基本不变，显然同种零件其表面粗糙度在各个面也应基本保持一致，而对于其中偏离基准区间的数据，则说明为异常数据，可能存在粗糙度问题。分形维数作为本文选取的能够表征零件表面粗糙度的一种特征参数，在实验结果上很好地证明了该方法能够作为一种表面粗糙度在线监测方法，在实际生产中为企业减少废品率，降低成本。