浅谈高中数学不等式应用及学习策略

◎方异平

(湖北省大冶市第一中学，湖北 大冶 435100)

高中学生的数学成绩差异非常明显，学生对提高数学成绩的意愿也相对较高，这也是课外辅导机构鼓吹数学成绩重要性的筹码从高考的角度分析，数学成绩占比相对较高，并且数学的计算或者解题思维也会渗透到物理、化学、地理及生物等科目，促使学生、家长对数学都非常重视不等式的解题过程可体现学生的计算能力，并且可作为学生计算能力高低的有效参考等式计算的模式相对固定，但不等式的应用或者解题过程需要学生灵活变化思维，以一种动态的思维考察题目中各类元素的变化趋势，将此类思维运用到基本初等函数的比较大小题目、函数与向量的最值问题以及圆锥曲线动点变化或者导数题目中参数范围的求解过程中

一、高中数学不等式考查特点及题型分析

(一)选填题型分析

高中数学不等式的选填题型较为常见，是高考的必考题型，但此类题目的灵活性比较强，可与各知识模块相结合，常见的结合方式包括集合求解范围、对数比较大小、函数不等式以及线性规划等此类题目的题干往往比较简单，类似以下例题1和例题2此种类型但此类题型的规律性较强，并且作为选填题目，对学生知识总结能力及灵活变通能力的考查也相对较高学生在解答此类题目时，可借助一些规律减少计算量，甚至直接通过答案的特点确定正确答案但正是由于此类题目的出题方式比较灵活，如果题目难度增加，也会作为选填题中的压轴题目出现，失分率往往较高学生在应用不等式时，应将不等式的解法和题目题干中的关键元素结合起来，通过知识定位以及题型模拟的方法确定解题思路但学生应清楚的是，此类题目的考查重点并非不等式，而是与题目所涉及的知识模块的性质、定义相关，有时也需要学生进行大量的计算，但从整体角度分析，此类题型对不等式的考查依旧比较明显，解题难度整体不高

1若2-2<3--3-，则( )

A.ln(-+1)>0 B.ln(-+1)<0

C.ln|-|>0 D.ln|-|<0

2若定义在的奇函数()在(-∞,0)单调递减，且(2)=0，则满足(-1)≥0的的取值范围是( )

A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]

C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]

(二)大题题型分析

不等式在大题中的应用更为关键，一些题型对不等式的应用呈显性特点，会在第二问直接给出不等关系，提问学生不等关系中包含的参数的取值范围有些题目虽然并未给出不等关系，但在学生解题时，则需要根据题设条件构造不等关系，利用不等关系确定题目中参数的范围，此类题目多在圆锥曲线以及导数部分出现，数列部分也有所涉及学生在应用不等式时，需要注意的是，为了确保不等式应用的准确性，不能思维定式由于不等式的具体形式和列式求解的办法需要根据题目的已知条件确定，而已知条件往往需要经过变形之后方可使用，为此，学生在应用不等式或者自行构造不等式时，应对题设条件进行处理，避免受到题设条件误导，出现思路上的问题另外，此类题目对学生解题经验的要求相对较高，学生需要经过大量的练习和总结之后，方可确定构造不等式的具体形式以及数列放缩的因子等此类题型的常见形式如例题3和例题4所示

3已知等差数列{}的前项和为，+1->0，=3，且，，12+成等比数列

(1)求和；

二、高中数学不等式应用及解题方法分析

(一)以分类讨论思想为基础，注重参数分析

分类讨论思想是高中数学解题中最常用的思想，此思想也会与转化和化归思想联合使用，对题设条件进行变形，突出不等式的计算和解题过程在应用分类讨论思想时，学生应重视分析不等式中包含的性质问题，包括函数单调性以及周期性等另外，由于此类题目需要分类讨论，相对的计算过程也比较复杂特别是在涉及函数的对称轴或者单调性时，学生一定要仔细画图，将函数图像的变化规律明确反映在草稿纸上，这样在涉及解集问题、函数零点个数问题时，可从图中直接看出最终的结果，这也是提高不等式解题速度的有效方法之一下面通过具体的例题进行说明

5已知,∈且≠0，若(-)(-)(-2-)≥0在≥0上恒成立，则( )

A.<0 B.>0 C.<0 D.>0

解题过程大致为：

(1)当<0时，在≥0上，-≥0恒成立，∴只需满足(-)(-2-)≥0恒成立，此时2+<，由二次函数的图像可知，只有<0时，满足(-)(-2-)≥0，>0不满足条件

(2)当<0时，在[0,+∞)上，-≥0恒成立，∴只需满足(-)(-2-)≥0恒成立，此时两根分别为=和=2+

①当+>0时，此时0<<2+，当≥0时，(-)(-2-)≥0不恒成立；

图1

②当+<0时，此时2+<，若满足(-)(-2-)≥0恒成立，只需满足<0；

图2

③当+=0时，此时2+=>0，满足(-)(-2-)≥0恒成立

图3

综上可知满足(-)(-)(-2-)≥0在≥0恒成立时，只有<0，故选C

在解决这个题目时，学生需要首先筛选题目中的有效信息，包括主要的不等式和恒成立区间；在明确此类问题的基础上，学生应思考题干中、、+对参数范围的影响，进而以此作为分类的标准，扩展分类讨论的计算过程由于此题分类讨论的情况相对较多，虽然计算不难，但作为选做题目，难度依旧较高，学生在解题时需要格外小心，按部就班地在草稿纸上画出不同情况之下对应的图像，选择符合题意的不等式范围如果题目涉及函数的性质，学生应以函数的增减区间作为分类讨论的分解标准，如上文中例题2所示，具体的解题过程不再赘述

(二)严格遵守不等式的应用条件，避免用错

这里所说的不等式应用条件特指基本不等式的应用条件基本不等式是最为常见的不等式，但正是因为此类不等式较为常见，在实际的应用中相应的约束条件也较多尤其是在利用基本不等式求解最值类问题时，其约束条件相对固定，学生应背记清楚，避免出错另外，在应用基本不等式时，有时也需要对不等式进行构造处理，目的是利用题设条件，但此类题目往往具有明显的标志性前提，如“均为正数”“相加为1”等下面借助具体的例题进行说明

6已知正数，满足2+=，则+2的最小值为( )

A.8 B.10 C.9 D.6

此类题目相对简单，考查的知识相对基础，但学生在应用基本不等式时，应明确不等式的应用条件，主要包括：①不等式各项均应为正数；②在求解题干中“和”的最小值时，学生需要将构成和的二项之积转化成定值；在求解题干中“积”的最大值时，则必须把构成积的因式的和转化成定值；③在应用基本不等式时需要注意应对取等号值进行验证，如果验证等号值时发现不等式不成立，则此时的最值不可取，最值也就不存在了但这并不意味着题目的最值就真的不存在，而是需要变化其他解题思路，避开等号值常见的方法有画图、求导等在计算例题7时，学生需要灵活应用“1”的作用，进而将题设条件应用到不等式的构造过程中，借助基本不等式求解最小值

(三)建立完善的函数构造体系，广泛刷题

导数与不等式题型是一类重要题型，题目难度较大，并且有时也会与数列知识、三角函数联合，题目的计算量相对较大，往往作为压轴题目出现，近些年考查的难度虽然有所下降，但整体计算量依旧不小，经验性非常强，需要大量刷题，总结经验在解答此类问题时，常常会用到构造函数的方法构造新函数，此类函数中的因子即为题目所求，不等式的变化目的也是突出所求参数的独特地位在构造函数时，学生需要先明确经典构造模型的具体形式，仿照经典构造模型进行函数的构造，这样可节省解题时间在构造了函数之后，往往需要对函数的单调性进行分析，分析的方法一般为求导，其间还需要联合具体的函数图像，对函数的单调性进行进一步的判断下面结合具体的例题进行说明

8已知函数()=e-sin-cos,()=e+sin+cos

(2)若()=2+，求

三、高中数学不等式学习策略

数学作为高中教育阶段的基础性学科，同样又体现在学生的日常生活中，具有明显的实践性特点其中，不等式的运算同样是数学知识中最为贴近日常生活的板块，并有着广阔的应用范围基于此，教师要掌握好不等式的应用方法，利用好不等式的优势

(一)利用不等式的相关性质解决问题

在高中数学教学的过程中，教师首先可以通过不等式的应用来解决相关的性质问题高中阶段的数学题中常常会出现某个特定不等式的范围问题因此，通过对不等式的应用，便能够借助其中的性质予以展开其中，包括同向、异向不等式两边相互加减进行多个不等式的结合，得到符合条件的数值但是，在这一过程中，需要把握好其中的细节应当明确的是，这样一种应用仅仅是对不等式的转化，而非针对不等式的等价变形因此，需要在过程中遵循不等式的规律，切实避免实际的取值范围无形中增大而导致计算结果出现偏差

(二)利用不等式的特性求最值

一般认为，在不等式应用的过程中，最值问题是十分常见的一类问题，也是十分重要的问题那么，从比较常见的利用不等式进行最值计算的方式来看，主要包括了和积转化方法、常数代换方法、函数单调性方法和配凑定值方法虽然在利用不等式进行最值计算时，看似简单，但实际操作的过程中，仍很容易出现错误例如，在应用和积转换方法的过程中，应当格外注意原等式同实际所求式子的关系，并同时做好整体性思维的运用虽然应用不等式进行最值计算是不等式十分广泛的一种方法，但是在实际计算和应用的过程中，要把握好各项细节，以避免出现计算结果的数值偏大

(三)利用不等式的推理过程，培养学生的抽象思维

在高中数学不等式教学的过程中，教师首先可以通过对不等式的推理过程的应用，针对学生的抽象思维进行培养因此，这需要教师进一步关注不等式的推理过程在课程教学的过程中，教师应当积极营造出不等式的推理氛围，启发和引导学生针对下一步的未知环境进行合理想象同时，在学生参与学习的过程中，不能简单地听和看，要学会思考，尤其是针对教师的思维方式进行思考，结合教师的思维方式尝试自己分析和推理，从而构建起抽象的思维，在不等式求解中针对抽象的规则加以充分利用

(四)利用初中与高中的连接，促进知识点的掌握

在高中数学不等式教学和应用的过程中，教师需要进一步把握好初中数学与高中数学的连接，进一步促进学生对相关知识点的掌握从很多学生的不等式认知情况来看，学生会将高中的不等式当作初中不等式的延伸和拓展由此可见，初中不等式同高中不等式之间往往也伴随着一定的连贯性，并在二者的连接中形成了一个有机的整体系统因此，高中阶段的不等式学习不仅仅是针对其中某一个具体章节的学习，更多的是通过高中阶段的不等式学习来回归整个初中阶段的不等式学习，并以初中阶段的不等式学习作为基础和线索，激发学生在思想方面的共鸣，从而实现高中阶段不等式学习能力的提升

(五)利用数学化归思想，有效解决常见问题

在高中数学不等式教学和应用的过程中，教师也需要进一步利用好数学化归思想在数学学科教学的过程中，数学思想的渗透是十分重要的数学思想的渗透和应用也不仅仅体现在某一个单一板块的知识中，而是完全贯穿数学教学的始终从不等式教学中的数学思想来看，主要体现的是不等式中的“化归思想”其中，“化归思想”的核心则主要表现为在面对数学问题时，针对数学问题的运算步骤进行简化因此，学生在学习的过程中，要切实学习好这一思想，并针对其进行熟练的应用，由此掌握面对数学问题时形成最为简单的思路的方法，不断减少数学问题解答的运算步骤和负担压力同时，通过数学思想的应用，也能够在缩短解题步骤的基础上，进一步降低学生的解题错误率，从而保证更为理想的解题准确率

(六)合理运用各知识点之间的联系解决问题

在应用和学习不等式的过程中，教师同样需要利用好各个知识点之间的联系来引导学生解决数学问题在高中数学教学中，各个板块的内容彼此之间并不是相互独立的，而是相互联系、相互依存的因此，在面对不等式问题进行解答的过程中，学生不能只结合本章节的知识来面对问题，而要对以往所学的数学知识做好整合，并把握好其中的本质和内涵，通过规律引入更好地面对不等式问题，从而掌握更准确、更轻松和更便捷的问题解答方式同时，通过各个数学知识、数学内容的结合，也能够进一步体现出数学学科的教育价值

四、结束语

总之，不等式问题如果作为单独题目出现，难度不会太高，但是当不等式与数列、函数及导数联合出题时，其计算量会大大增加，难度也会增大为了解决此类问题：首先，学生一定要大量刷题，“题海”练习是提升数学成绩的最有效方法；其次，学生在练习时，应注重对解题思路的分析和总结，勤看勤思考，将自己的解题思路与标准答案进行对比，学习标准答案的解题思路，逐渐积累解题经验；再次，在临近高考阶段，学生一定要反复练习高考真题，从真题的练习中总结不等式题目的出题方式，以出题人的角度分析题目的构造方式，知己知彼，明确知识的具体应用原则与应用方法；最后，需要从解题思维的角度总结做题经验，这样方可适应高中数学的学习节奏，获得理想的数学成绩