提高初中生利用“一元二次方程”解决实际问题能力的教学研究

广西北流市沙垌镇初级中学 岑平海

在初中数学中，“一元二次方程”是一个非常重要的学习内容，特别是用它来解决实际生活当中的问题，非常有效，而且只要熟练掌握，可以为我们的生活带来极大的方便。然而，“一元二次方程”对初中学生而言又是一个比较难学的数学内容，因此老师需要通过故事引导激发学生学习兴趣、举一反三提高学生应变能力、挖掘现实引导学生学以致用这三个步骤，来培养和提高初中生运用“一元二次方程”解决实际问题的能力。

本文以人教版九年级上学期的数学课本为参考，分析如何提高初中生利用“一元二次方程”解决实际问题的能力。

一、故事引导，激发学生学习兴趣

爱听故事是每个人的天性，对初三的学生而言，随着他们学习压力进一步增大，像数学中“一元二次方程”这样比较难学且枯燥的内容，他们的学习兴趣往往会受到压制，因此我们可以通过形式各样的数学故事，来引起他们对“一元二次方程”的关注，激发他们的学习兴趣。故事教学法有利于为学生创设趣味的学习情境，使学生产生强烈的求知欲，从而提高学生自主探索、创造、思考的能力。

如在讲解“一元二次方程”时，我们可以为学生讲解关于“一元二次方程”由来的故事：方程这个名词最早见于中国古代数学著作《九章算术》，它成书于东汉末年，书中记录了246个实际应用问题的计算解决方法。《九章算术》一共分为九章，“方程”是其中的一部分，对于“方程”的解释，中国古代数学家刘徽作了经典注释：“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”这里所说的“如物数程之”意思是指“有几个未知数，就需要列出几个等式”。对于一次方程组而言，因为它每个未知数的系数如果用“算筹”（一根根同样长短和粗细的小棍子）来表示，就如同方阵，因此被称作是“方程”。

在《九章算术》勾股章中的第20题，有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十回步，折而西行一千七百七十五步见木。问邑方几何。”用今天的话说，大意是：如图1，DEFG是一座正方形小城，北门H位于DG的中点，南门K位于EF的中点，出北门20步到A处有一树木，出南门14步到C，再向西行1775步到B处，正好看到A处的树木（即点D在直线AB上），小城的边长为 步。

图1

提示：因为△AHD、△ACB它们都是直角三角形，所以它们是相似三角形，这里我们可以用到初中八年级所学到的知识“相似三角形比例关系公式”，即如果两个三角形是相似三角形，其中一个三角形的三边分别为A、B、C，另一个三角形的三边为M、N、X，那么我们可以得到A:M=B:N=C:X。然后再结合我们学习到的一元二次方程的知识，这道题是不是很容易求解呢？

总结：这道题看起来很难，但是经过分析我们发现，只要我们充分利用好“相似三角形比例关系公式”和“一元二次方程”的相关知识，这道题就会迎刃而解。通过这道题，既可以让学生从故事中感受到我国古人的高度智慧和才华，感受到中华民族的伟大，也锻炼了他们运用“一元二次方程”知识解决实际问题的能力。

图2

总之，通过关于“一元二次方程”故事的引入，可以让学生知道“一元二次方程”的起源、发展、衍变过程，认识到历代数学家曾经在对这个问题上进行了无数努力，付出了辛勤的汗水，激励学生们树立一种锲而不舍的数学探究精神，并引发他们对数学科学的浓厚兴趣，提高他们对“一元二次方程”的应用能力。

二、举一反三，提高学生应变能力

在学习初中数学时，举一反三、灵活变通是学生必备的一种数学思维和解题能力，这对于提高学生的数学素养、巩固他们的数学基础，有着十分重要的作用。那么，在初中数学课堂教学过程中，该怎样培养学生应用“一元二次方程”解决实际问题的“举一反三”能力呢？这就要求老师善于对问题进行归类，让他们在解决实际问题过程中，既能够掌握基本的理论知识，做到“知其然”，又掌握到类似问题的解题思路和方法，做到“知其所以然”，让他们跳出原来的思维束缚，对同类问题能够举一反三，提高解题效率和准确度。

对于一元二次方程应用题而言，主要有四个类别：增长率问题、行程问题、经济问题、工程问题，不同类别的题目都有相应固定的解题思路和方法，但解题的步骤万变不离其宗，都有六个步骤：（1）仔细审题，明确题意；（2）找出已知量和未知量以及相等关系；（3）设未知数；（4）用所设未知数表示相关的量；（5）列等式；（6）解方程；（7）检验所得的根是否符合题意和实际要求。

如这样一个题目：某商店购进一种商品，进价30元，试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？

分析：很明显这是一个关于“一元二次方程”的经济问题求解，题目中已经给出了一个等量关系：P=100-2X，因此我们可以围绕这个关系来找到解决问题的突破口。已知量：进价30为元，每天的利润为200元，未知量：每件的售价，每天售出的件数。

提示：利润=售价-进价，总利润=单件商品利润×所售商品件数

解题思路和过程：我们可以设每件的售价为x元，那么每天的销售量则为(100-2x)件，单件的利润为(x-30)，所以总的利润为(x-300)(100-2x)元，因此我们可以得到一元二次方程：(x-300)(100-2x)=200，经过整理得到：x-350x-15000=0，解这个方程即可得到答案。需要注意的是100-2x≥0，x≥0，所以x的取值范围是0≤x≤50。

当老师引导学生把上述题目解决后，可以再出一道同类型的题目，让学生经过独立思考进行解答，从而培养他们举一反三的数学解题能力。

如：某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？

分析：这也是一个关于“一元二次方程”的经济问题，已知量：进价8元，提高售价前的售价为10元，销售件数为200件，总利润为640元，并且还知道每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，未知量：提高售价后每件商品的定价。

同样的，关于“一元二次方程”的增长率问题、行程问题、工程问题，我们也可以通过同类题型的归纳总结，训练学生“举一反三”用数学解决实际问题的能力。

三、挖掘现实，引导学生学以致用

培养和提高初中生利用“一元二次方程”解决实际问题的能力，实际上是锻炼初中生对数学科学知识“学以致用”的能力。学以致用，对初中生而言是一个十分重要的学习应用技能。初中生在生理上正处于青春发育期，这一时期他们的最大特点是：生理上蓬勃成长、急骤变化，智力迅速发展，情绪和情感的内容十分丰富，心理的稳定性也在逐步提高。因此，培养和提高他们“学以致用”的能力，可以为他们今后的学习和生活，乃至人生发展奠定非常重要的基础。

数学作为一门基础性的学科，和我们的日常生活息息相关，“学以致用”的需求性更强，因此老师在讲解“一元二次方程”问题时，要特别注意从现实生活中挖掘有意思的数学问题，和“一元二次方程”挂钩，从而提高初中生利用“一元二次方程”解决实际问题的能力。

如有这样一个问题：微信红包是沟通人们之间感情的一种方式，已知小明在2016年“元旦节”收到微信红包为300元，2018年为675元，若这两年小明收到的微信红包的年平均增长率为x，根据题意可列方程为________。

分析：很明显这是一个关于“一元二次方程”增长率的数学应用问题，同时和我们日常生活紧密相关。已知量：2016年和2018年元旦收到的红包钱数分别为300元、675元，并且题目已经设出了未知数x(增长率)，因此这个问题很好解决。

提示：增长率=增量/原总量*100%

解题思路和过程：增长率为x，2016年元旦节的红包为300元，那么2017年元旦节的红包为300（1+x）元，2018年元旦节的红包为300（1+x）元，因此我们可以列出等式：300（1+x）=675。

除了微信红包问题，新冠肺炎更是当今社会关注的热点话题，我们可以将其和“一元二次方程”数学问题紧密结合起来。如：有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了____个人。

分析：这是一个关于“一元二次方程”的传播问题，已知量：两轮传染后新冠肺炎的感染人数，未知量：平均一个人传染的人数。

提示：一元二次方程传播问题公式 为：a（1±χ）=b，a为 基 准 量，也就是变化之前的量；b为变更量，即：变化之后的量；χ为增长率（也可以为降低率，此时χ前面是负号）。

解题思路和过程：设平均一个人传染的人数为x人，那么第一轮传染后的总人数为（1+x）人，第二轮传染后的总人数为（1+x）人，因此可以得到等式：（1+x）=169，解得x=12（取正值），因此每轮传染中平均一个人传染了12个人。

四、结语

总之，利用“一元二次方程”解决实际问题是初中生必须要掌握的重要技能之一，只要我们通过故事引导、举一反三、紧密联系现实这几种常用的数学教学方法，就能够提高初中生对于“一元二次方程”问题的学习兴趣，提高他们举一反三、学以致用的数学应用思维和能力，为他们今后的学习和生活打下坚实的基础。希望通过我们全体数学老师的共同努力，继续探索更多、更好、更加创新的利用“一元二次方程”解决数学实际问题的数学教学方案，从而提高初中数学的教学水平和质量。