高中数学中导数解题教学研究

2022-10-27徐斐

学周刊 2022年31期

徐斐

（甘肃省庄浪县紫荆中学，甘肃庄浪 744600）

导数是研究函数及其性质的有效工具，对于培养学生的理性思维具有重要作用。在实际教学中，有些学生一提到导数就感到头疼，不能熟练掌握导数的性质和内涵，在解题的时候总是找不到切入点，久而久之，就会产生厌学心理。现代教学观念对高中数学教学提出了严格的要求，学生需要从“学会”向“会学”转变，注重知能统一，培养积极探索的科学精神。近几年，高考对导数的考查越来越多，在各种不同的题型中都会遇到，这也给高中数学教师敲响了警钟，需要加强对导数解题的重视，注重实际应用题的教学，指导学生正确的解题思路，激发其无尽的活力，将导数的基础及精髓落到实处。学生不仅要掌握导数的概念、性质，还要学会运用导数解题的思想，具体问题具体分析，感到导数的优越性。

一、导数在高中数学中的地位

（一）有助于学生理解函数性质

函数在高中阶段的重要性不言而喻，学生不仅要掌握函数的定义域、解析式等基础信息，还要熟练操作单调性、奇偶性等特性。这些数学知识点可以通过函数图像进行表示，在解题时也可以利用描点法探索函数性质。但是，当遇到非基本初等函数时利用描点法作图就会遇到困难，此时则可以通过导数知识来解决问题。比如，学生可以利用一阶导数来判定某个函数的单调区间，这样就简化了解题步骤，还能够提高正确率；也可以利用极限思想找出函数的水平渐近线和垂直渐近线，降低函数学习的难度，有利于开发自身的潜力。

（二）有助于发散学生思维能力

以前，高中数学教师在教授导数知识时都是按照固定的模式，先讲解概念，再讲解用法，最后进行做题巩固，没有照顾到不同水平学生的感受，对于学生的监督和指导力度不足，容易造成学生思维发展缓慢。在新时期，高中数学教师要将导数放到实际问题中进行讲解，做好互动和点拨，让学生以动态的、开放的思想去研究数学，全面提高学生的思维能力。同时，数学教师还要帮助学生建立数学专题模块，让学生从掌握一道题的解法转换成掌握一类题的解法，在一定程度上提升了其逻辑推理的核心素养。

（三）有助于学生认识数学价值

绝大多数学生都认为数学难学，总是把学习数学当成一种任务和负担，没有认识到学习数学的真正目的，这将会影响学生的学习兴趣。当给学生讲述导数方面的知识时，高中数学教师可以向他们讲述导数的工具性和实用性，并且渗透其在国防、医药、工程、经济方面的作用，使学生从内心中注重导数的应用，从而全面认识数学的价值。这在一定程度上改变了学生的思维误区。高中数学教师要挑选典型的教学案例及数学文化教育，激发学生的学习热情，使其养成正确的数学观，受到“随风潜入夜，润物细无声”的熏陶。

二、高中数学中导数解题教学研究

（一）导数在函数解题中的应用

1.利用导数求解函数的单调性。导数是函数单调性的万能解法，特别是在求解复杂函数的单调性时常常会用到，要比运用函数的单调性定义更加便捷和高效。很多学生在学习导数的时候都会有一个误区，就是不知道何时应用导数求解，总是把导数局限在一个小范围内，这样会影响学生的学习效率。还有的学生在运用导数解题时总是对函数定义域的限制作用以及最终的单调区间端点的开和闭理解不清，导致出现各种各样的错误，这些都需要引起教师的关注。高中数学教师在日常教学中应该向学生讲述导数的作用以及应用场景，帮助学生提高理性思维能力，逐步渗透数形结合思想，引导学生养成自主学习的好习惯。

在解题过程中，学生首先要熟练掌握函数的单调性：（1）在区间（a，b）内，若f'（x）＞0，则f（x）为增函数；若f'（x）＜0，则f（x）为减函数；若f'（x）＝0，则f（x）为常函数。（2）在区间（a，b）内，若f（x）为增函数，则f'（x）≥0；若f（x）为减函数，则f'（x）≤0；若f（x）为常函数，则f'（x）＝0。然后数学教师再向学生讲述用导数求函数单调性的一般方法：（1）确定函数f（x）的定义域。（2）求出函数的导数f'（x）。（3）解不等式，如果f'（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；如果f'（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。在实际解题中还会遇到含有参数的函数单调区间的求法，有些学生会出现混淆，其实这种题型并不难，只要做好分析和总结，就能够清楚的得知。如对f'（x）＝0 的根的有无，根的大小，根是否在所给的区间内进行讨论是最常用的解题方法。

2.利用导数求函数的极值。纵观近几年高考试题，利用导数求函数的单调性与极值问题已经成为热点，不仅有计算题，还有解答题，更加侧重于对学生综合能力的考查。学生已经学习了对函数单调性的研究，因此在学习极值的时候就能够更加顺畅。高中数学教师需要帮助学生理解函数极值的概念。简单来说，极值是函数局部范围的最大或最小值，其中，极大值就是局部最大值，极小值就是局部最小值。函数极值在工农业生产、工程技术实验中有着广泛的应用，通常情况下会考查：怎样达到“成本最低”“效率最高”等等。对于这类问题都可以通过导数来转化为求某一函数的最大值或最小值问题。然后，数学教师要向学生讲解导数求函数极值的解题步骤，第一步先求函数f（x）的定义域和导函数f'（x），第二步求方程f'（x）=0 的根，第三步判断f'（x）在方程的根的左、右两侧值的符号，第四步根据符号画表格求极值。值得注意的是，极值是把导函数中的静态点x 值代入原函数。最后，高中数学教师要带领学生总结规律。在极值点左右，如果一阶导数符号从减号变到加号，那么该点为极小值点；如果一阶导数符号从加号变到减号，那么该点为极大值点；如果一阶导数不变号，那么该点不是极值点。为了加深学生对极值的掌握，数学教师可以设计一道没有极值的题目，让学生知道并不是任何函数都有极值，在实际问题中要灵活运用知识，从而达到最佳的学习效果。

3.利用导数求函数的最值。顾名思义，函数最值指的是函数最小值和最大值，其中最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。很多学生遇到求函数最值问题经常是花费了很多时间却不能准确得出答案，究其原因就是没有掌握正确的学习方法，对于函数最值的理解不透彻。学生解决函数最值问题的时候必须进行全方位的考虑，以函数的定义域为依托，对可能出现的每一个结果作出合理的分析，最终求出结果。很多时候函数最值的求解与函数极值有着密不可分的关系，函数最值要么在极值处取得，要么在区间端点处取得。所以，学生在用导数求函数最值的时候可以先求出函数的极值，如果是闭区间，那么求出端点值与极值进行比较；如果是开区间，那么函数最值可能不存在。高中数学教师可以给学生列举高考数学中求函数最值的真题，以此来深化学生的数学思维，使其能够将函数极值问题转化为不同的导函数根的分布问题，进而利用函数的性质和图像解决问题。这样不仅有利于增加学生学习数学的自信和动力，还促进了学生对数学真题难度的把握。

（二）导数在几何解题中的应用

导数是高中现行教材中新增加的内容，也是新课标的重点考查内容，在日常学习中经常会出现关于导数几何意义应用的题型，解决这类问题要用到函数、导数、不等式、方程等知识。高中数学教师需要从纷繁复杂的题目中提炼出一些常见的模型，帮助学生构建数学知识体系，以专题的形式向学生进行答疑，从而全面提升学生的数学综合能力。导数在几何解题中应用的主要数学思想是“数形结合”和“转化思想”，对于有些数学水平薄弱的学生理解起来存在一定的困难，这就需要数学教师做好分层教学，引导学生在学中做，在做中悟，不断积累数学知识和解题经验，使数学问题简单化。

导数的几何意义在高中数学教学中通常是用于求曲线的切线斜率或者方程，其关键点就在于求出切点P（x，y）。数学教师可以为学生总结如下四种类型：第一，已知切点，求曲线的切线方程。这个题型属于基础题，只需要求出曲线的导数f'（x），再将其带入到点斜式方程中求解即可。第二，已知斜率，求曲线的切线方程。这个题型难度适中，需先利用斜率求出切点，再利用点斜式方程求解。第三，已知过曲线上一点，求曲线的切线方程。这类题型相对复杂，需要用到待定切点法，先设切点，再求切点，因为切线过曲线上一点，该点未必是切点。第四，已知切线过曲线外一点，求曲线的切线方程。此题解法同第三点，先设切点，再求切点。

（三）导数在不等式解题中的应用

导数方面的知识点并不复杂，复杂的是综合应用到实际中。导数在不等式解题中的应用是一个重难点，不仅思维量大，还极易出错，需要学生提高重视，强化基础能力训练，达到融会贯通的效果。利用导数进行不等式解题主要考查的知识点时不等式与函数之间的联系，对此可结合不等式的结构特征，将不等式直接或间接进行等价转化，将不等式的证明问题转化为函数问题，发展学生的辩证思维能力，为其将来学好微积分打下基础。

利用导数知识解不等式是学生的必备能力，考查内容主要包括以下几点：分类讨论求函数的单调区间；借助函数的单调性确定不等式的解集；确定函数在某个单调区间上有无零点的方法；借助特殊值来判断单调区间端点处的函数值的符号。在实际教学中发现，很多学生不会利用导数解决不等式恒成立的问题，每次遇到这样的问题都不知道该如何解答。因此，高中数学教师可以制作一个小专题，帮助学生答疑解惑，降低数学知识的难度，促进学生全面认识数学的价值。一般情况下，不等式恒成立会涉及求参数范围，此时可以把变量分离，转化为m＞f（x）或m＜f（x）恒成立，这样就把不等式恒成立问题转化成了函数求最值问题，学生可以利用以前学过的知识顺利求解，不仅简便了算法，还实现了新旧知识的衔接。由此可见，不管是证明不等式，还是解不等式，只要涉及函数的单调性或最值，都可以利用导数来解决。

（四）导数在方程求根解题中的应用

在日常练习及高考试题中均以不同的形式出现过运用导数求方程根的问题，可见这是一个需要重点研究和学习的内容。在解决这类问题的时候，高中数学教师要善于指导学生利用导函数与X 轴的交点个数来判断方程根的个数，这会使学生发现数学问题被迎刃而解，从而更加热爱数学。教师可以利用微视频或者电子课件的方式给学生归纳学习方法，并且将其上传到共享平台上，使学生在课后也可以下载学习，打破了时空限制，更有利于全体学生的共同进步。将方程的问题转化成函数的零点或者函数图像交点问题，对于学生的抽象思维和空间能力要求较高，数学教师要做好日常训练工作，通过多种渠道加深学生对函数性质的理解，并且使其能够熟练绘制函数图像，发现更多有价值的信息，从而快速找到解题的方向。如今，导数已经从“配角”升级为“主角”，高中数学教师要将导数解题与传统解题结合起来，指导学生灵活分析问题和解决问题，养成良好的审题习惯和学习能力。

（五）导数在实际问题解题中的应用

高中数学新课程标准强调：提供多样课程，适应个性选择，引导学生会学数学，会用数学，形成数学应用意识，培养数学核心素养。因此，高中数学教师要加强导数在实际问题中应用的教学，发展学生的数学眼光，使其独立获取数学知识和能力。

在学习过程中，学生经常会遇到一些与生活相关的问题，其实这些问题可以通过导数来解决，对学生数学能力的发展大有裨益。生活中的数学问题通常会被称为最优化问题，解决这类问题并不是没有规律可循的，只要学生能够理清思路，学会分析实际问题中各变量之间的关系，列出数学模型，就能够根据函数的性质来提出优化方案。高中数学教师要做好数学与其他学科的融合，让学生有更大的发展空间。有时候导数可以应用到物理问题的解答中，例如求最小拉力、最大速度等问题，利用传统的解题方法不仅浪费时间，还容易出错，而通过导数建立一定的函数式，就可以很快找到已知量和未知量，简化了复杂的物理问题。导数知识的考查具有较强的综合性和灵活性，几乎涉及高中数学的每个分支，需要学生具备良好的数据分析和逻辑推理能力，因题而异地选择恰当的解题方法。