现代音乐中的数理逻辑思维特征现象

田 园

所谓“一千个读者有一千个哈姆雷特”，每个人的思考角度不尽相同，在了解音乐与数学的关系以及数理逻辑的本质与音乐的联系后，笔者欲从数理逻辑本体出发，探求其结构思维与20世纪重要音乐理论的关联，通过演绎推算等数学研究手法,深层挖掘数理逻辑结构思维特征在当代音乐结构中的内涵。

一、数理逻辑(mathematical logic)的形成与发展

(一)数理逻辑的基本内容

数学(Mathematics)是研究数量、结构、变化以及空间等概念的一级学科,是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的通用手段；数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，它既是数学的分支，也是逻辑学的范畴；它是用数学方法对证明和计算这两个直观概念问题进行符号化处理的形式系统。[1]总之，数理逻辑是精确化、数学化的形式逻辑。

数理逻辑的分支由逻辑演算、公理集合论(set theory)、模型论(model theory)、证明论(proof theory)和递归论(recursion theory)构成。

(二)数理逻辑的发展

数理逻辑的产生过程早在17世纪就有人提出，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日-1716年11月14日)，德国著名哲学家、数学家，被誉为17世纪的亚里士多德。他曾经想创造一种“通用的科学语言”，即把推理过程利用数学公式进行计算从而得出结论，由于条件受限，他的想法并没有实现，但是他的思想奠定了数理逻辑的发展基础，从某种程度上讲，可以说莱布尼茨是数理逻辑的先驱；[2]1847年，英国数学家布尔发表了《逻辑的数学分析》，建立了“布尔代数”，利用符号和代数的方法表示逻辑的各种概念并研究关于逻辑的问题，奠定了数理逻辑的基础；19世纪末20世纪初，美国人皮尔斯在著作中引入了逻辑符号，逐步形成现代数理逻辑最基本的理论基础，[3]成为一门独立的学科。

二、现代音乐数理逻辑结构思维特征

莱布尼茨认为音乐是数学的;爱因斯坦则认为世界可以由音符构成，也可以由数学公式组成。[4]20世纪初期，美国现代作曲家巴比特(1916—2011)喜欢用数学方式从事音乐创作，他较早用序列的各种形式，如对称、互补、倒影、不变性关系等预制音乐的结构；传统大小调音阶体系也可以被视作现代十二音自由组合后的两类音阶材料的形式。

在科技飞速发展的时代背景下，20世纪的音乐逐渐向高度逻辑化的方向演进，音乐的不同要素作为新的表现形式成为主导音乐结构的逻辑基础，具有典型的数理逻辑结构思维的特征。除此之外，对音乐数理逻辑结构思维的研究是目前学术理论学科重要研究领域之一，它在20世纪音乐语言中占据着重要的地位，成为我们理性认识现代音乐的突破口。

因此，为了更深刻的理解数理逻辑结构思维与现代音乐的关联，有必要建立正确的理论研究方向，笔者试图以集合、数列、函数、证明、计算等数学概念为基础，结合数学方法从数理逻辑结构思维的新视角对其在二十世纪音乐理论中的具体运用情况从本质上做出高度的概括并进行系统性归纳与研究，探求音乐作品中数理逻辑结构思维存在的诸多可能性。

(一)阿伦·福特音级集合理论—集合论(set theory)

音级集合理论(Pitch-class sets theory)最初由美国音乐理论家巴比特提出，随后美国音乐理论家阿伦·福特(Allen Forte,1926年12月23日—2014年10月16日)在巴比特的基础上于20世纪60年代做了系统化的诠释，提出了一套严密的对现代音高组织分类的标准和科学的分析方法，以数学的集合、排列组合、对称性原理为基础作为音乐分析音高材料的基础，对无调性音乐做出了定量定性的理性分析，被中外音乐理论家广泛运用。集合论是由德国数学家康托尔(Cantor,1845—1918)在19世纪70年代提出，于20世纪20年代确立了集合论在现代数学理论体系中的基础地位，可以说，现代数学各个分支近乎所有成果都构筑在严格的集合理论上。[5]

集合(set)(简称集)是对具有某种确定性质对象全体的统称，集合里的各个对象称为该集合的元素(element)，而音级集合理论作为现代分析无调性音乐的理论基础，阿伦.福特以数学集合为原型，将十二音的音高用数字标记为0-11，六类基本音程标记为ic1-6,以无间隔的六位数表示音程涵量(Interval Class Vector)特征，从英文字母里也可以看出它暗含了数学向量(有大小和方向)的概念，最终将音高组织材料按照“集合名称”“集合原型”“音程涵量”以及对应的互补集合制成三至九音的音级集合表。其音高关系具有相等性、包含性、互补性、相似性等特点，与数学集合里的互异性、无序性等特点相对应。

无序音集(unordered collection)可以作为原集合元素来统一整部音乐作品的动机材料，作曲家也通过改变集合元素的数量或内含创作多样化的音乐作品。因此，采用数学方法对音高材料的理性分析显得尤为重要，不难看出数理逻辑结构思维对于现代音乐的分析具有较高的参考价值。

(二)序列音乐(serialism)—数列逻辑与矩阵(Matrix)

20世纪20年代，勋伯格(Arnold Schoenberg,1874-1951)作为20世纪表现主义时期新维也纳乐派的美籍奥地利作曲家、音乐理论家，他创立了序列音乐理论体系，又称十二音音乐(twelve-tone music)体系,开创了音高组织形式的新纪元。序列音乐在根本上否定了传统音乐的调性功能，体现出音乐具有的数列逻辑和矩阵等数理逻辑结构思维特征。

序列音乐具体内容为了避免出现重复音，主要将预制的一个有序十二音集(ordered sets)在原型、倒影、逆行以及逆行倒影四种顺序变换的基础上，通过12次移位构成的48个序列形式从表层到深层最终完成整部作品的创作过程。

序列音乐的代表人物有布列兹(Pierre Poulez,1925-)、巴比特(Milton Babbitt, 1916-)等。其中勋伯格于1923年创作的《钢琴曲五首》运用序列化音乐的作曲技法。贝尔格创作的歌剧《沃采克》(1923)延续了序列音乐时期的特征。1945年之后更多作曲家试图将序列音乐的手法体现在其他音乐要素上，如节奏、力度、音色等，由此进入整体序列主义音乐时期(total serialism),韦伯恩的《管弦乐变奏曲》(1940)已尝试将节奏进行部分序列化的写作，梅西安《时值与力度的模式》(1949)成为整体序列主义音乐的起点。[6]

(三)大卫·勒温转换网络理论(Transformation Network Theory) —集合论、群论

美国音乐理论家大卫·勒温(David Lewin,1933—2003)以数学中的集合论(Set Theory)、群论(Group Theory)为基础，于20世纪80年代末创立了转换网络理论(Transformation Network Theory)，其经典著作《广义音程与转换(Generalized Musical Interval and Transformation)》[7]出版于1987年,并于2003年再版。勒温在传统“调性功能理论(Theory of Tonal Functions)”基础上，将现代音高组织视作一个转换图表和网络(transformation graphs and networks)组成的系统，通过寻找内部逻辑的递进关系，观察动机在结构中的位移轨迹。在《剑桥西方音乐理论史》第10章“音乐理论与教学”也提及了转换理论的观点。[8]勒温在理论陈述与分析过程中使用了大量的数学工具，笔者通过研习转换理论中音高组织的思路，尝试从音高标记、音程距离、网络转换三方面分析证明其具有的数理逻辑结构思维特征。

1.音高体系的标记

以《新格罗夫音乐与音乐家辞典》对无调性音乐分析的标记方式为主：[9]x,y,z标记音高或音级、x-y-z标记有序音高或音级、【xyz】标记同一集合、{x,y,z}表示一个音组[10]，它是数学集合论中集合标记的基本内容，也作为后调性音乐动机发展的基本材料。

[11]

2.音高空间(pitch space)与音级空间(pitch-class space)的距离计算

勒温在广义音程体系中提到两音在音高或音级空间(《后调性音乐导论》[12]一书中提及)内的距离计算，暗含了数学平面向量中矢量与标量的特征。其中函数关系(简称int)是计算距离的基本公式，s到t的距离i用函数表示为int(s,t)=i。对于有序音程距离的计算而言，i具有着矢量性，即数值代表大小、正负代表方向，而无序音程距离的i具有标量性，只需代表大小，即取音程距离的绝对值即可。

音高音程(pitch intervals)是在不同八度下音高空间内所有音高之间的距离，它的有序性强调音乐旋律的轮廓特征，距离计算结果的正负代表了旋律上行或下行的走向性，因此计算有序音高音程距离如：int(C3,E3)=4,int(D4,B2)=-(12*2-9)=-15。无序音高距离只需取绝对值即可。

音级(pitch class)作为等同音高的统称，音级音程(pitch-class intervals)是音级空间内所有音级之间的距离，同时涉及八度等同(octave equivalent)、12模(mol12,任何音级都可以用0-11之间的数字表示)等概念性术语。[13]因此，在计算相隔N个八度内的音级空间(十二音内)的有序音程距离时，结果必定在正负12以内，如：int(F,G)=2, int(C,B)=-11。无序音级的音程距离则取最短距离的绝对值即可(i=0-6,“0”=12、“1”=11、“2”=10、“3”=9、“4”=8、“5”=7、“6”=6)。

3.转换网络

宏观的转换网络是在微观上集合的发展基础上，通过移位、倒影的形式在距离中形成的网络体系。勒温通过微观与宏观结合的层面实现音乐的转换，也体现了在数理逻辑结构思维下的音乐在空间、时间双重维度中的结构关系。

(四)新里曼主义理论(Neo-Riemannian theory)—函数，几何图表原理

新里曼理论由美国音乐理论家大卫·列文(David Lewin)于20世纪80年代提出，以大卫·列文转换网络理论、里曼功能理论为基础，后经Richard Cohn等人进一步完善而最终形成的音高组织理论,用于无调性音乐作品分析中。它运用三和弦及其三度关系转换，采用代数、函数等数学方法诠释音乐的数理逻辑结构思维特征。

(五)巴托克轴心体系-几何对称性

贝拉·巴托克(Bela Bartok,1881—1945)是20世纪新民族主义时期伟大的匈牙利作曲家，他坚持个人主义，在传统调性基础上引申出具有数学几何对称性的“轴心体系”理论，为音乐理论与分析学科创造了宝贵的财富。前苏联著名理论家尤·霍洛波夫致力于轴心体系的研究并对其进行了高度概括[14]：在五度循环圈上建立以主、属、下属音为基础，分别在相隔小三度音程上以相同方式再次循环形成的S(下属音轴)、T(主音轴)、D(属音轴)共三个功能轴，最终得到完整的十二音列，以C为基音的轴心体系图如下[15]：

图2 巴托克以C为基音的轴心体系图

巴托克在《第二小提琴协奏曲》中运用了“轴心体系”对调性进行了整体布局并完成写作。整曲以B调开始，在此基础上建立的三个调性功能为E(下属调, E-bB、G-bD)、#F(属调，#F-C、A-bE)、B(主调，B-F、D-bA)，结构及调性布局如下：

表1 《第二小提琴协奏曲》整体调性布局

不难看出，巴托克在此变奏曲中调性布局也是呈对称的关系，也为轴心体系理论做出了最好的诠释。

利用数学几何图形更加直观看出巴托克对和声功能体系及调性关系的抽象理解，将音轴上具有对称性的三全音视作不同于传统调性意义上的最近的调关系，等同于传统大小调体系中的平行大小调关系(C=#F=a)。不仅如此，通过从各功能轴的四个音中任意挑选其中一个(正负音级均可)作为三大功能的代表连接构成完满终止，如C 大调的“F-G-C” 也同时代表了“S-D-T”的完满终止。

结 语

通过上述对现代音乐数理逻辑结构思维特征的阐述，可以看出20世纪音乐所体现的理论分析方法与数理逻辑结构思维紧密相连，以理性的视角重新看待现代音乐不仅有助于解决音乐中偏抽象的理论难题，还可以帮助我们更为直观定量的分析音乐语言，进而促使音乐分析领域自身的进步和发展，恰如朱利安·霍顿所言：“音乐分析，用理性的理论体系来解释作品本身的技术结构，它不仅与现代主义及其权力结构相结合，还与以理性为中心的主体性相结合，这种主观批判性是进入后现代主义的决定性特征。”

数理逻辑正在走向更为科学的道路，在当代音乐理论分析中占有无比重要的地位，现代音乐与数理逻辑的融合将会抵达一个新的高峰。

注释:

[1]王宜荣.巧用“相似论”让学生感悟解决数学问题的魅力[J].数理化学习,2013(04):95.

[2]崔文芊,王绍源.论莱布尼茨的数理逻辑成就及成因[J].江西社会科学,2013,33(06):32—36.

[3]汪 超.节奏中的数列现象与音乐听觉的数理逻辑思维中[D].中国音乐学院,2012.

[4]杨 鹏.浅谈如何提高学生对初中数学的认识[J].学周刊,2013(27):120—121.

[5]王立冬,齐淑华,奉黎静,林屏峰,刘延涛,刘 满.高等数学基础教程[M].北京:北京科学出版社,2016:9.

[6]崔 莹.后现代音乐及其美学问题研究[D].上海音乐学院,2010.

[7]甘芳萌.大卫·勒温“转换网络”理论研究[D].上海音乐学院,2013.

[8]托马斯·克里斯坦森.剑桥西方音乐理论发展史[M].任达敏译.上海:上海音乐出版社,2011:259.

[9]同[7].

[10]Dave Headlam:Atonality,4, The New Grove Dictionary of Music and Musicians,2001.

[11]王艺播.至繁至简——论《后调性音乐导论》(第三版)[J].当代音乐,2017(15):16—18.

[12][13][美]约瑟夫·内森·施特劳斯.后调性理论导论(第三版)[M].齐 妍译.北京:人民音乐出版社,2014.

[14][15]朱 楣.“轴心体系”与“斐波拉契数列与黄金分割”理论实践在巴托克《双钢琴与打击乐奏鸣曲》第一乐章的深层控制作用[J].音乐艺术(上海音乐学院学报),2015(03):132—138.