求解q- 分数阶微分方程边值问题的差分方法

杨秋琳

（东北大学 理学院，辽宁 沈阳 110004）

q-分数阶微分方程最早由Al-Salam[1]等人提出。Abdeljawad[2]使用了逐次逼近法得到了Caputo 型q-分数阶微分方程的近似解。Zhang 等人[3]提出了Lq,b差分公式，建立了求解q-分数阶微分方程初值问题的差分方法。然而目前几乎没有用差分法对于解q-分数阶微分方程边值问题进行理论分析。

本研究研究如下具有Caputo 型q-分数阶微分方程边值问题

本研究基于差分法求解q-分数阶微分方程边值问题(1)，利用Lq,b差分公式离散分数阶q-导数，运用对角占优矩阵理论证明了问题(1)差分解的存在唯一性和稳定性，并给出了误差估计。

1 预备知识

定义1[3]q-转置因子定义为

定义2[3]设实数q∈R，集合A 是复集合C 的一个子集。对于任意t∈A，若qt∈A，则称集合A 是q-几何集。设f(t)定义在q-几何集A 上，f(t)的q-导数定义为

定义3[3]在[a,b]区间上的q-积分的定义如下：

其中

定义5[5]设 α ＞ 0,为大于等于α 的最小整数,则x(t)的Caputo 型q-分数阶微分定义为

2 差分方法

考虑如下边值问题(1)∶

令y（t） =Dq x（t），则由定义2 可推得

其中

所以

和边值条件得到如下方程组(4)

定理1 假设a（t） ＞ 0,0 ＜t＜b,t∈Tq,b, 则差分方程(3)的解唯一。

证明：设A=（aij）N×N为方程组(4)的系数矩阵，有

由引理1，0 ＜c1＜c2＜ …＜ck-1＜ck。从而有

故矩阵A 是对角占优矩阵。又由于

因此差分方程(3)存在唯一解。

定理2 假设a（t） ≥a0＞ 0,0 ＜t＜b,t∈Tq,b,差分方程(3)的解满足稳定性估计

所以有

类似稳定性证明，可以得到

3 结论

（1） 通过利用Lq,b差分公式在时间测度集Tq上离散q-导数，建立了差分方程，再由边值条件得到了线性方程组，该方程组的解便是该分数阶微分方程的差分解。

（2） 对方程组的系数矩阵进行分析，证明系数矩阵是对角占优且不可约矩阵，即系数矩阵可逆，从而确定差分方程解的存在唯一性。同样利用矩阵的对角占优性质，得到了方程的稳定性估计和阶的误差估计。