关注数学建模 发展数学思维

蒋顺良

四川省甘孜州民族干部学校 626700

虽然高中生已具备一定的模型意识和建模能力，然从总体来看其建模能力还是很薄弱，尤其在解决一些实际问题时容易出现思维障碍.究其原因，与教学习惯密切相关.教师为了追求教学效率很少组织学生参与数学建模活动，认为数学建模所需时间长、见效慢，高中数学学习时间有限，学生的主要精力应该集中在解题上.可见，传统教育模式并未真正地退出历史舞台.不可否认，从短期效益来看，传统教学模式有其得天独厚的优势，但学习的目的并不是为了“高分”，“学以致用”才是真正的目的，因此这要求教师在教学中不能拘泥于眼前利益，应该站在更高的角度来培养学生的综合能力.数学建模是对现实问题的抽象和简化，其更具现实意义，更有利于学生发现和提出问题，更有利于培养学生良好的学习习惯和思维能力，因此教师应关注学生数学建模能力的培养.

笔者认为，数学教学中教师要从实际需求出发，以提高学生数学思维为目的，创设合理的教学活动，进而培养学生数学建模能力，提升学生解决实际问题的能力.

关注学生的实际需求

实践证明，传统的教学模式单纯地从应试角度出发，未考虑学生的实际需求，在学生的潜意识里认为数学学习的目的就是考一个好成绩，成绩就是衡量一切的标准，这样使学生的学习过于单一、乏味，思维发展的空间较窄，不利于学生长远发展，故在培养学生的建模能力时需要从实际需求出发，多鼓励学生“做中学”，让学生了解自己在做什么，这样在目标的指引下学生的学习积极性才能真正地调动起来，进而有利于课堂生成.那么，如何引导学生“做中学”呢？教师设计和选取教学实例时要从学生的认知角度出发，切实符合学生的需求，只有这样学生才能自觉地参与数学建模活动，从而潜移默化地激发学生学习数学的兴趣.同时，实例的选择应该是有价值的，不能为了建模而选取伪科学的内容，要知道建模的目的是解决实际问题，若实例是伪科学的，有悖客观真理，那么就失去了建模原本的价值，得不偿失.

2018年高考江苏卷第17题以生活中较为常见的温室大棚为背景，突出考查学生解决实际问题的能力和数学建模能力，该题涉及的基础知识和数学思想方法较多，非常具有典型性.因此在一轮复习中，为了提高学生的实际解决问题的能力，培养学生的数学建模意识，教师以该题为例，采用多种方法进行了讲解，并总结了解决这类实际问题的处理方法，课堂反馈较好.但随后，在一次模拟考试中，也有一道解决实际问题的题目，学生的准确率并不高，而且又涌现出了许多新问题.可见，学生对该类型的题目并没有真正学懂吃透，因此有必要从学生的实际问题出发，重新进行评价，从而帮助学生扫清思维障碍，让学生真正学会.

例题如图1所示，以x轴为地平面，y轴垂直于地平面（单位长度为“千米”）建立直角坐标系xOy.某炮位于坐标原点O，已知炮弹的运行轨迹方程为y=kx－（1+k2）x2（k＞0），其中k与发射方向有关.

图1

（1）求炮的最大射程（即炮弹落地点的横坐标）；

（2）若在第一象限有一不明飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问不明飞行物的横坐标a在什么范围内，炮弹可以将其击中？

解题中发现，大多数学生的解题思路是正确的，但是应用模型策略时因选择不当而出现了错误，究其原因是学生没有真正地理解题意，解题时出现了盲目套用，产生了解题障碍.

教师讲解本题前先引入学生的原解作为教学情境，通过展示错解激发学生一探究竟的热情.从原解来看，很多学生遇到了计算问题，出现了思维定式，因此教师有必要带领学生找到问题的根源，进而进行合理的疏导.

顺应思维发展

数学是一门非常严谨的学科，要学好数学需要培养学生严谨的思维习惯，这样解题时才能做到有理有据，使问题朝着正方向进行迁移，因此教学中应关注学生思维的发展.

由学生的原解可以看出，造成第（1）问出错的原因是学生并没有真正理解k为隐含变量，错把变量k当成了常量.对于第（2）问，大多数学生并未搞清楚问题的本质，对题意理解错误，其实第（2）问与第（1）问在本质上是没有区别的，学生还没有搞清楚题目到底要求什么就进行了盲目模仿和套用，可见学生并没有形成良好的反思习惯，学习过于表面化.

解决以上问题时，学生更希望教师能够在错解的基础上进行修正，帮助他们完善解题过程，进而扫除思维误区，故教师可以带领学生按照原有的解题思路继续求解.

解法1思路简单，符合学生的思维特点，然从解题过程可以看出该方法运算量巨大，若解题过程中学生不善于应用换元法，不关注分母的有理化，很容易造成运算中断，可见该方法并不是最优的解决方案，至此学生自然想探究其他方法，进而激发学生的探究欲望.

关注解题能力

若要提升学生解决问题的能力，教师应引导学生关注问题的本质和规律，只有深入问题的本质去理解和把握，才能实现知识的融会贯通.

通过上面的分析已经知晓学生并没有注意k为隐性变量，因此解题时没有将问题转化为熟悉的模型，从而造成了求解困难.在解决第（2）问的命中问题时，可以等价转化为关于k的二元方程有正解，或者转化为不等式有解的问题，然学生没能理解题意也没有进行等价转化，最终导致解题失败.根据题意可知，k的取值影响曲线的特征，故k应为本题的主元.分析至此，可以引导学生将问题转化为熟悉的模型，利用方程有正解的思路进行转化.

显然，通过合理的转化，解题思路更加清晰，有效避免了烦琐的运算，可见，合理建模有利于提高解题效率.

关注多方位探究

思维是具有一定的差异性和广泛性的，探究同一问题时可以从多个角度，对同一对象有多种表达方式，因此解决问题时不要拘泥于一种解决方案.当思维受阻时，或运算过程复杂时要及时修改原来的解决策略，进而从问题的客观实际情况出发，多方位探究数学建模方向，助力思维发展.

学生还可以应用均值不等式等多种方法进行求解，通过“多解”来丰富解题经验.同时，通过对比观察让学生感受不同解法的魅力，从而在解题过程中善于从不同角度去思考问题，依据个人实际情况选择与之对应的数学模型进行灵活转化，从而使问题逐渐变得具体、熟悉，以便顺利求解.

值得注意的是，在解题过程中要引导学生从数学本质入手，善于从学生的认知结构出发，注意识别知识点间的联系和区别，进而培养学生批判性思维.同时，在教学设计时要有目的性，应关注学生的逻辑思维发展，避免就题论题式的分析而忽视认知体系的建构，那样不仅容易使思维产生惰性，而且不利于建立完善的认知体系，也会影响学生的数学建模能力的提升.

总之，教学中要关注思维的发展，重视思维品质的培养，让数学模型逐渐走进数学课堂，融于数学教学，这样可以使无聊的公式和定理变得生动起来，进而促进学生解决实际问题能力大幅度提升.